数的认识与数的计算.doc

数的认识
一、整数部分
1、自然数：表示物体个数的1，2，3，4……都叫自然数。一个物体也没有，用0表示。
注：0也是自然数。最小的自然数是0，而不是1。没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。
2、整数：自然数和负整数统称为整数。
3、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每读完一级要读出级名，每一级末尾的0都不读，其他数位连续有几个0都只读一个0。
4、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一位上一单位也没有，就在那一位上写0。
5、整除：自然数a除以自然数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。那么a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
注：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是的本身。没有最大的倍数。
一个数的约数的个数是有限的，最小的约数是1，最大的约数是它本身。
6、公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大一个叫做最大公因数。
注：几个数的公因数的个数是有限的，最小的是1。
7、公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最大一个叫做最大公倍数。
注：几个数公倍数的个数是无限的，没有最大公倍数。
8、能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
9、能被5整除的特征：个位上是0或5的数。
10、能被3整除的特征：一个数各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。
11、同时能被2和5整除的特征：个位上是0。
12、同时能被2、3、5整除的特征：个位上是0；各个数位上的数字之和能被3整除。
13、奇数和偶数：能被2整除的叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数。（0也是偶数）
14、质数和合数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数就叫做质数（或素数）；
一个数除1和它本身还有其他因数，这个数就叫合数。
注：1既不是质数也不是合数。
15、质因数：每个合数都可写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。（也就是说必须是这个合数的因数并且是质数，并不是每个合数的因数都是它的质因数）
16、互质数：公因数只1有的两个数叫做互质数。

课堂练习
一、填空题
1、5060086540 读作（ ）。
2、二百零四亿零六十万零二十写作（ ）。
3、24 和 8，（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）的倍数。
4、在 1、2、3、9、24、41 和 51 中，奇数是（ ），偶数是（ ）， 质数是（ ），合数是（ ），（ ）是奇数但不是质数，（ ）是偶数但不是合数。
5、一个数的最小倍数是 12，这个数有（ ）个因数。
6、21 的所有因数是（ ），21 的全部质因数有（ ）
7、一个合数的质因数是 10 以内所有的质数，这个合数是（ ）。
8、a=2×2×5 ,b=2×3×3,a、b 两数的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
9、a 与 b 是互质数，它们的最大公因数是（ ），它们的最小公倍数是（ ）。
10、把 171 分解质因数是（ ）。

二、判断题
1、任何自然数都有两个因数。 （ ）
2、互质的两个数没有公因数。 （ )
3、所有的质数都是奇数。 （ ）
4、一个自然数不是奇数就是偶数。 （ ）
5、质数可能是奇数也可能是偶数。 （ ）
6、因为 60＝3×4×5，所以 3、4、5 都是 60 的质因数。（ ）
7、8 能被 0.4 整除。 （ ）
8、18 既是 18 的因数，又是 18 的倍数。 ( ）
9、有公因数 1 的两个数，叫做互质数。 （ ）
10、因为 8 和 13 的公因数只有 1，所以 8 和 13 是互质数。（ ）
11、所有偶数的公因数是 2。 （ ）
12、0 表示没有，所以 0 不是一个数。 （ ）
13、比 3 小的整数只有两个。 （ ）

三、选择题
1、一个数由三个 6 和三个 0 组成，如果这个数只读出两个零，那么这个数是（ ）
A. 606060 B. 660006 C. 600606 D. 6606

2、最大的三位数比最小的三位数大（ ）。
A.899 B.900 C.100 D.999

3、一个数，它的最高位是是十亿位，这个数是（ ）位数。
A .八 B .九 C .十 D. 十一

4、下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（ ）
A .0.2 和 2.4 B.35 和 5 C. 5 和 25 D.2.4和0.2

5、下面各组数，一定不能成为互质数的一组是（ ）
A .质数与合数 B .奇数与偶数 C. 质数与质数 D .偶数与偶数

6、把 210 分解质因数是（ ）
A.210＝2×7×3×5×1 B.210＝2×5×21 C.210＝3×5×2×7

7、两个奇数的和（ ）
A. 是奇数 B 是偶数 C. 可能是奇数，也可能是偶数

8、如果 a、b 都是自然数，并且 a÷b=4,那么数 a 和数 b 的最大公因数是（ ）
A .4 B .a C. b

9、一个合数至少有（ ）个因数。
A .1 B .2 C .3

10、6 是 36 和 48 的（ ）
A. 因数 B. 公因数 C. 最大公因数

11、有 4、5、7、8 这四个数，能组成（ ）组互质数。
A. 3 B. 4 C. 5

12、一个正方形的边长是一个奇数，这个正方形的周长一定是（ ）
A. 质数 B. 奇数 C. 偶数

13、下面各数中能被 3 整除的数是（ ）
A 84 B 8.4 C 0.6

14、下列各数中，同时能被 2、3 和 5 整除的最小数是（ ）
A 100 B 120 C 300

15、8 和 5 是（ ）。
A 互质数 B 质数 C 质因数

16、已知 a 能整除 23，那么 a 是（ ）
A 46 B 23 C 1 或 23

17、如果用 a 表示自然数，那么偶数可以表示为（ ）
A a+2 B 2a C a-1 D 2a-1

18、一个能被 9、12、15 整除的最小数是（ ）
A 3 B 90 C 180

二、小数部分
1、小数：小数，是实数的一种特殊的表现形式。所有分数都可以表示成小数，小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号。其中整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数。。
2、有限小数：小数部分的位数是有限的叫有限小数；
3、无限小数：小数部分位数是无限的叫无限小数；
4、循环小数：一个无限小数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。
5、纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数。
6、混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。
7、小数的基本性质：小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。
三、分数部分
1、分数：把“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数叫做分数。分子在上，分母在下，其中表示一份的数就是分数单位。
2、真分数：分子比分母小的分数。（真分数小于1）
3、假分数：分子比分母大或分子与分母相等的分数。（假分数大于或等于1）
4、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

四、百分数部分
1、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几叫做百分数，也叫百分率。
2、合格率=×100% 出勤率=×100%
发芽率=×100% 达标率=×100%
出油率=×100% 命中率=×100%
及格率=×100% 优秀率=×100%
出粉率=×100% 含盐率=×100%
含糖率=×100% 含药率=×100%
3、比：表示两个数相除；
4、比的基本性质：比的前项和后项同时除以相同的数（0除外），比值不变。
5、比例：表示两个比相等的式子。
6、比例的基本性质：两内项等于两外项之积。
7、比例尺=图上距离：实际距离
8、现价=原价×折扣 原价=现价÷折扣 营业税=收入×税率
9、应得利息=本金×利率×时间 利息税=应得利息×5%
实得利息=应得利息— 利息税 本息=本金+利息

课堂练习
一、填空题
1、把、 和 从小到大排列起来是（ ）。
2、分数的单位是 的最大真分数是（ ）它至少再添上（ ）个这样的分数单位就成了假分数。
3、0.045 里面有 45 个（ ）。
4、把一根 5 米长的铁丝平均分成 8 段，每一段的长度是这根铁丝的（ ），每段长（ ）米。
5、的分数单位是（ ），它里面有（ ）个这样的单位。
6、（ ）个 是；8 个（ ）是 0.08。
7、把 12.5 先缩小 10 倍后，小数点再向右移动两位，结果是（ ）。
8、分数单位是的最大真分数和最小假分数的和是（ ）。

二、判断（对的打“√”，错的打“×”）
1、所有的小数都小于整数。 （ ）
2、比 小而比 5/9 大的分数，只有 一个数。 （ ）
3、不能化成有限小数。 （ ）
4、1 米的与 4 米的同样长。 （ ）
5、合格率和出勤率都不会超过 100％。 （ ）
6、0.475 保留两位小数约等于 0.48。 （ ）
7、因为比 小，所以的分数单位比的分数单位小。 （ ）
8、4 和 0.25 互为倒数。 （ ）
9、假分数的倒数都小于 1。 （ ）
10、去掉小数点后面的 0，小数的大小不变。 （ ）
11、5.095 保留一位小数约是 5.0。 （ ）

三、选择（将正确答案的序号填在括号里）
1、1.26 里面有（ )个百分之一 。
A 26 B 10 C 126 D 6

2、不改变 0.7 的值，改写成以千分之一为单位的数是（ ）。
A0.007 B0.70 C7.00 (D) 0.700

3、把 0.001 的小数点先向右移动三位后，再向左移动两位，原来的数就（ ）。
A 扩大 10 倍 B 缩小 100 倍 C 扩大 100 倍 D缩小10倍

4、3.3 时是（ ） 。
A 3 小时 30 分 B 3 小时 18 分 C 3 小时 3 分

5、在 9.9 的末尾添上一个 0，原数的计数单位就（ ）。
A 扩大 10 倍 B 不变 C 缩小 10 倍 D扩大100倍

6、一个数的 是 15，这个数是（ ）。
A10 B22.5 C30 D

7、甲数的等于乙数的，那么甲数（ ）乙数。
A 大于 B 等于 C 小于

8、某班男生人数是女生人数的5/6，男生人数是全班人数的（   ） 
A     B    C    D

9、一本书降价25%的售价是36元，原价是（     ）元。   
  A、9          B、27         C、45         D、48 
四、应用题
1.  一个小数去掉小数部分时得到一个整数，这个整数加上原来的小数与4的乘积，的27.6，原来这个小数是多少？     

2.  一个分数若加上它的一个分数单位和是1，若减去一个分数单位差是7/8这个分数是多少？  

3.  一家小店一周内的经营情况如下： 
 周一 盈利95元  周二亏损4元 周三 盈利84元  周四盈利92元 周五亏损16元  周六 盈利102元 周日 亏损32元 
（1）按照盈利为正，亏损为负的记录方法，把小店一周的经营情况填在表格中  
星期一

星期二

星期三

星期四

星期五

星期六

星期七

（2）你能算出这个小店这一周内实际盈利多少吗？     

4.  甲乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，已知甲数是6，乙数是多少？

五、正数与负数
1、正数：比0大的数叫做正数（包括正整数、正分数、正小数）
2、负数：比0小的数叫做负数（包括负整数、负分数、负小数）
3、0既不是正数也不是负数；所有正数都在0的右边，所有负数都在0的左边；所有正数大于所有负数；正数大于0，负数小于0。

六、数的改写
1、整数的改写：
（1）改写成以“亿”或“万”做单位：只要在“亿”位或“万”位数字的后面添上小数点，再在这个数的末尾添上“亿”或“万”字。（末尾的0要去掉）
（2）改写成近似数（四舍五入到“亿”或“万”位）：找到“千万位”或“千位”上的数字，如果“千万位“或”万位“上的数字比“5”小，直接舍掉“千万位”或“万位”后面所有的数字，添上“亿”字或“万”字；如果“千万位”或“万位”上数字比“5”大，要向前进一，再舍掉“千万位”或“万位”后面所有的数字，添上“亿”字或“万”字。
2、小数化成百分数：将小数扩大100倍，添上百分号；
3、百分数化成小数：去掉百分号，缩小100倍。
4、小数化成分数：先将小数写成分母为10(一位小数)、100(两位小数)、1000(三位小数)….的小数，能约分的要约分。
5、分数化成小数：先将分数写除乘法算式，算出算式的结果。（除不尽的一般保留三位小数）
6、分数化成百分数：先将分数化成小数，再将小数化成百分数。
7、百分数化成分数：先将百分数化成分母为100的分数，能约分的要约分。
8、化简最简整数比：
（1）90：60=（90÷30）：（30÷30）
（2）0.25：0.4=（0.25×100）：（0.4×100）=25：40=5：8
（3）两边都是分数：两边同时乘以这两个分数分母的最小公倍数。
例：：=（×20）：（×20）=8：15
（4）一边分数一边是小数：先将小数化成分数，再两边同时乘以这两个分数分母的最小公倍数。
例：0.4：=：=（×20）：（×20）=8：15
（5）一边是整数一边是分数：两边同时乘这个分数的分母。
例：：7=（×4）：（7×4）=3：28
9、常用的分数化小数：
=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8 =0.125 =0.375 =0.625 =0.875 =0.1 =0.05 =0.04 =0.025 =0.02
七、数的大小比较：
1、整数比较：先看位数，位数多的数大；如果位数相同，从最高位比起，相同数位上数大的那个数就大。
2、小数比较：先比较整数部分，整数部分大的，那个数就大；整数部分相同，再看它们的小数部分，十分位大的那个数就的；如果十分位相同，就比较百分位，依次类推。
3、分数大小的比较：分母相同的分数，分子大的分数就大；分子相同的分数，分母小的分数就大；分子和分母都不相同的分数，先通分化成分母相同的分数再比较。
数的计算
四则运算的意义和法则
教学要求：
通过要求，使学生进一步理解四则运算的意义、四则运算的法则，进一步理解它们的联系，能正确、熟练地进行四则计算。

一、四则运算的意义
小学阶段我们学过的运算包括加法、减法、乘法、除法。
●    加法 
意义：把两个数合并成一个数的运算叫做加法 
关系式：加数+加数=和  和－一个加数=另一个加数   
●    减法 
意义：已知两个加数的和与其中一个加数求另一个加数的运算，叫做减法。 
关系式：被减数－减数=差         被减数－差=减数 差＋减数=被减数   
●    乘法 
意义：求几个相同加数和的简便运算，叫做乘法 
关系式：因数×因数=积    积÷一个因数=另一个因数   
●    除法 
意义：已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数的运算，叫做除法。 
关系式：被除数÷除数= 商         被除数÷商=除数         商×除数=被除数   

二、四则混合运算顺序 
同级运算：按照顺序，从左向右，依次计算 
异级运算：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号内的 

三、运算法则 
1. 整数加法计算法则： 
  相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。   
2. 整数减法计算法则： 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。   
3. 整数乘法计算法则：  先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。   
4. 整数除法计算法则： 先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。   
5. 小数乘法法则： 先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。   
6. 除数是整数的小数除法计算法则：  先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。   
7. 除数是小数的除法计算法则： 先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。   
8. 同分母分数加减法计算方法:  同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。   
9. 异分母分数加减法计算方法:  先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。  
10. 带分数加减法的计算方法:  整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。  
 11. 分数乘法的计算法则: 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。   
12. 分数除法的计算法则:   甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。   

四、运算定律 
  1. 加法交换律： 
  两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。   
练习：31+56=56+（ ） 28+17+23 = 2354+7546=（ ）+（ ）
2. 加法结合律： 
  三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。  
练习：(84+68)+32 (45+36)+64 75+(48+25)
3. 乘法交换律： 
  两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。  
练习： ÷×7 25×37×0.4 125×39×16
 4. 乘法结合律： 
  三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，
即(a×b)×c=a×(b×c) 。   
练习：25×÷× ×[÷(×)] 9×÷9×
5. 乘法分配律： 
  两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。   
练习： ×8+×2 (+)×9+ 15×+15×
6. 减法的性质： 
  从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。
  练习：5–– –（+） ––
补充：在简便计算时多加要减，多减要加。 
7、字母公式整理： 
a+b=b+a  （a+b)+c=a+(b+c)    a×b=b×a    (a×b)×c=a×(b×c)   (a+b)×c=a×c+b×c  
a-b-c=a-(b+c)  a-b+c=a-(b-c)    a-b-c-d=a-(b+c+d)   a÷b÷c=a÷(b×c)   a-b+c= a+c-b 

五、练习
一、请直接写出答案
12×５=　     35×2=      125×8=     15×4=    45×2=       25×4= 555×13－111×15=  
16×5 =     24×5=       25×8= 12×12=     20×55=       24×205= 10－3.25＋9÷0.3= 
11×11= 125×4= 2.4÷0.125=       43.2÷0.125= 25×37×0.4=  25×0.32×0.25= 
999×15=            125－25+75=                   
二． 用竖式计算
（1）2.5×3.6 =          （2）0.875×45 =          (3)  0.065×0.45=    （4）3.14×25=            (5)3.14×36= 

（1）5.98÷0.23=     （2）19.76÷5.2=       （3）  10.8÷4.5 =      （4）1.256÷3.14=    （5）78.5÷3.14= 

三、脱式计算（能简算的要简算）
[1–(+)]÷ –×÷3 （1–×）÷

×– 25÷(–) (–)÷(+)

[1–(+)]÷3.5 [(1–)×]÷4 ++

×[÷(+)] 12÷(1–) [(1–×)÷

97× (+–)×72 72×(–+)

30×(–+) 12×（–+） +×+

4–÷– 48×（–+） ÷9+×

24×(+) (+)×60–27 43×126－86×13

×（9+）– ÷+× +÷+

2–×– 30×（+–） +÷+

10÷10＋24÷12 ×＋5.2×＋1÷ 0.25×12.5÷

×9999 974×74+974+974×25 6.8×6.8＋4×6.8－6.8

1.25×67.875+125×6.7875+1250×0.053375 [＋（2－0.5）÷]÷100.2

101×99－897 102×5.6－5.6×2 136×4.06＋4.06×64   

7.02×123＋877×7.02         471×0.25－0.25×71  ×＋×＋

分数的简便计算（一）巧用运算定律和性质简算
例一． － 9 ＋（8 －2）

练. 7－2＋（2－1） 13－（4＋3）-0.75

例二．×37 练。 ×8 43×

例三． 75× 练。 27× 35×

例四． 73× 练。64× 22×

例五． ×＋×＋×

练 ×39＋×25＋× ×79＋50×＋×

例六．1×（2－）＋17÷ 练。24×（39＋60）÷25÷4

例七．166÷41 练。 54÷17 48÷23

例八．1993÷1993
方法一： 方法二：

练. 2000÷2000
方法一： 方法二:

例九． 练。

课后练习
＋＋＋＋＋＋ 2. ×1999

75×17 41×＋51× 97×＋99×

238÷238 176÷176 163÷41

18