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专题2-导数的综合应用含详细答案专题2 导数的综合应用刷难题1. 已知是自然对数的底数，。（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当，时，求证：。答案（1）因为，所以，。.3分所以曲线在点处的切线方程为，即。.6分（2）设，则。.8分设，则。因为，所以，。所以在内单调递增。所以当时，即。.10分因为，所以。所以当时，在内单调递增。所以当，时，即。.12分解析:本题主要考查导数的计算，导数在研究函数中的应用。（1）因为曲线在点处的导数即为切线的斜率，求出的导数，结合题中条件，即可求得切线方程；（2）令，对二次求导，结合题中所给条件“，”，即可证得结论。2. 已知函数,的图象在处的切线方程为(1)求实数a,b的值;(2)若存在,使恒成立,求k的最大值.解:(1)f(x),f(1),根据题意得f(1)=3,又,综上:,(2)(x),设,g(x),;,是减函数;,是增函数;,又,恒成立,所以又,所以3. 已知函数.()讨论的单调性;()若有两个极值点,证明:.解:(1),不妨设,则关于x的方程的判别式,当时,故,函数在上单调递减,当时,方程有两个不相等的正根,不妨设,则当及时,当时,在,递减,在递增;(2)由(1)知当且仅当时有极小值和极大值,且,是方程的两个正根,则,令,当时,在内单调递减,故,.解析:(1)先求出函数的导数,通过讨论a的范围,确定导函数的符号,从而判断函数的单调性;(2)表示出,通过求导进行证明.4.已知函数（1）求f（x）的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a与b，恒有答案（1）先求出函数f（x）的定义域，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值（2）欲求在点（1，f（1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决（3）所证不等式等价为，而，设t=x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，从而得到证明解析（1）函数，由f（x）0x0；由f（x）0-1x0；f（x）的单调增区间（0，+），单调减区间（-1，0）（2），当x=1时，y=得切线的斜率为，所以k=；所以曲线在点（1，f（1）处的切线方程为：y-ln2+=（x-1），即x-4y+4ln2-3=0故切线方程为x-4y+4ln2-3=0（3）所证不等式等价为而，设t=x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，由此F（t）min=F（1）=0，所以F（t）F（1）=0即，记代入得：得证5已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数).解:(),当时,的单调增区间为,单调减区间为;当时,的单调增区间为,单调减区间为;()令,则,若,即,在上是增函数,无解.若,即,在上是减函数;在上是增函数,即.,即,.若,即,在上是减函数,即,综上所述,.解析:(1)先求导,再分类讨论即可得到函数的单调性;(2)令,从而求导,再由导数的正负讨论确定函数的单调性,从而求函数的最大值,从而化恒成立问题为最值问题即可.6. 已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)当有极大值与极小值时,求证函数在定义域内有唯一的零点.解:(1)根据题意得,f(x),由f(x)=0,得,当,即,令f(x),又,可得或;令f(x),可得,函数的单调增区间是和,单调减区间是;当,即时,f(x),当且仅当时,f(x)=0,函数在区间上是单调增函数;当,即时,令f(x),又,可得或;令f(x),可得函数的单调增区间是和,单调减区间是;当,即时,令f(x),计算得出:,令f(x),计算得出:,在递减,在递增.(2)有极大值与极小值,由(1)可以知道,或,当时,函数的单调增区间是和,单调减区间是,若,无零点,若,则,有一个零点,则当时,有唯一的零点,当函数的单调增区间是和,单调减区间是;若,有,则,则,即在内无零点,若,则,即在有一个零点,则当时,有唯一的零点,综上所述函数在定义域内有唯一的零点解析(1)求导函数,求出函数的零点,再进行分类讨论,从而可确定函数的单调性与单调区间.(2)有极大值与极小值,由(1)可以知道,或,根据函数零点定理验证即可.