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专题2-导数的综合应用含详细答案

专题2 导数的综合应用
刷难题
1. 已知是自然对数的底数，，。
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当，时，求证：。
答案（1）因为，所以，，。      ......3分
所以曲线在点处的切线方程为，即。      ......6分
（2）设，则。      ......8分
设，则。因为，所以，，。所以在内单调递增。所以当时，，即。      ......10分
因为，所以。所以当时，在内单调递增。所以当，时，，即。      ......12分
解析:本题主要考查导数的计算，导数在研究函数中的应用。
（1）因为曲线在点处的导数即为切线的斜率，求出的导数，结合题中条件，即可求得切线方程；
（2）令，对二次求导，结合题中所给条件“，”，即可证得结论。
2. 已知函数 , 的图象在 处的切线方程为  
(1)求实数a,b的值; (2)若存在 ,使 恒成立,求k的最大值.
解:(1)f′(x),f′(1),根据题意得f′(1)=3,
又,,综上:, 
(2)′(x),设,, 
,g′(x),, 
,,; 
,是减函数; 
,是增函数; 
, 
又,, 
, 
,, 
恒成立, 所以 又,所以
3. 已知函数.(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若有两个极值点,,证明:.
解:(1),,
不妨设,
则关于x的方程的判别式,
当时,,,故,
函数在上单调递减,
当时,,方程有两个不相等的正根,,
不妨设,则当及时,
当时,,
在,递减,在递增;
(2)由(1)知当且仅当时有极小值 和极大值,
且,是方程的两个正根,则, ,

,
令,
当时,,在内单调递减,
故,.
解析:(1)先求出函数的导数,通过讨论a的范围,确定导函数的符号,从而判断函数的单调性;
(2)表示出,通过求导进行证明.
4.已知函数
（1）求f（x）的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a与b，恒有．
答案（1）先求出函数f（x）的定义域，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值．
（2）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（3）所证不等式等价为，而，设t=x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，从而得到证明．
解析（1）∵函数∴，
由f′（x）＞0⇒x＞0；由f′（x）＜0⇒-1＜x＜0；
∴f（x）的单调增区间（0，+∞），单调减区间（-1，0）
（2），当x=1时，y'=得切线的斜率为，所以k=；
所以曲线在点（1，f（1））处的切线方程为：
y-ln2+=×（x-1），即x-4y+4ln2-3=0．
故切线方程为 x-4y+4ln2-3=0
（3）所证不等式等价为
而，设t=x+1，则，
由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
由此F（t）min=F（1）=0，
所以F（t）≥F（1）=0即，
记代入得：得证．
5．已知函数.
(1)讨论的单调性;(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数).
解:(Ⅰ),
当时,的单调增区间为,单调减区间为;
当时,的单调增区间为,单调减区间为;
(Ⅱ)令,则,
若,即,在上是增函数,
,,无解.
若,即,
在上是减函数;在上是增函数,
,即.
,即,.
若,即,在上是减函数,
,即,,
综上所述,.
解析:(1)先求导,再分类讨论即可得到函数的单调性;
(2)令,从而求导,再由导数的正负讨论确定函数的单调性,从而求函数的最大值,从而化恒成立问题为最值问题即可.
6. 已知函数  (1)讨论函数 的单调性; (2)当 有极大值与极小值时,求证函数 在定义域内有唯一的零点.
解:(1)根据题意得,f′(x), 
由f′(x)=0,得,
①当,即,令f′(x),又,可得或; 令f′(x),,可得, 
函数的单调增区间是和,单调减区间是; 
②当,即时,f′(x),当且仅当时,f′(x)=0, 
函数在区间上是单调增函数; 
③当,即时,令f′(x),又,可得或; 
令f′(x),,可得
函数的单调增区间是和,单调减区间是; 
④当,即时,令f′(x),计算得出:,令f′(x),计算得出:, 
在递减,在递增. 
(2)有极大值与极小值,由(1)可以知道,或, 
当时,函数的单调增区间是和,单调减区间是, 若,,无零点, 
若,则, 
,有一个零点, 
则当时,有唯一的零点, 
当函数的单调增区间是和,单调减区间是; 若,, 
有,则,则,即在内无零点,
若,则,,即在有一个零点, 则当时,有唯一的零点, 
综上所述函数在定义域内有唯一的零点
解析(1)求导函数,求出函数的零点,再进行分类讨论,从而可确定函数的单调性与单调区间. 
(2)有极大值与极小值,由(1)可以知道,或,根据函数零点定理验证即可.