复变函数论试卷和答案.pdf

复变函数论试题库复变函数论试题库 复变函数考试试题（一）复变函数考试试题（一）一、判断题（20 分）：1.若 f(z)在 z0的某个邻域内可导，则函数 f(z)在 z0解析.()2.有界整函数必在整个复平面为常数.()3.若nZ收敛，则Re nz与Im nz都收敛.()4.若 f(z)在区域 D 内解析，且()0fz，则()f zC（常数）.()5.若函数 f(z)在 z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()6.若 z0是)(zf的 m 阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m 阶极点.()7.若)(lim0zfzz存在且有限，则 z0是函数 f(z)的可去奇点.()8.若函数 f(z)在是区域 D 内的单叶函数，则)(0)(Dzzf.()9.若 f(z)在区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C0)(=Cdzzf.()10.若函数 f(z)在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数.（）二.填空题（20 分）1、0|10()nz zdzzz=_.（n为自然数）2.=+zz22cossin _.3.函数zsin的周期为_.4.设11)(2+=zzf，则)(zf的孤立奇点有_.5.幂级数0nnnz=的收敛半径为_.6.若函数 f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_.7.若=nnzlim，则=+nzzznn.lim21_.8.=)0,(Renzzes_，其中 n 为自然数.9.zzsin的孤立奇点为_.10.若0z是)(zf的极点，则_)(lim0=zfzz.三.计算题（40 分）：1.设)2)(1(1)(=zzzf，求)(zf在1|0:0，则z0是)(zf的_零点.6.函数ez的周期为_.7.方程083235=+zzz在单位圆内的零点个数为_.8.设211)(zzf+=，则)(zf的孤立奇点有_.9.函数|)(zzf=的不解析点之集为_.10._)1,1(Res4=zz.三.计算题.(40分)1.求函数)2sin(3z的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点iz=处的值.3.计算积分：=iizzId|，积分路径为（1）单位圆（1|=z）的右半圆.4.求 dzzzz=22)2(sin.四.证明题.(20分)1.设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是)(zf在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题（三）复变函数考试试题（三）一.判断题.(20 分).1.cos z与 sin z的周期均为k2.()2.若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,则f(z)在z0解析.()3.若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续.()4.若数列nz收敛，则Renz与Imnz都收敛.()5.若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数.()6.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.()7.如果函数f(z)在1|:|=zzD上解析,且)1|(|1|)(|=zzf,则)1|(|1|)(|zzf.（）8.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()9.若z0是)(zf的m阶零点,则z0是 1/)(zf的m阶极点.()10.若0z是)(zf的可去奇点，则0),(Res0=zzf.()二.填空题.(20 分)1.设11)(2+=zzf，则f(z)的定义域为_.2.函数ez的周期为_.3.若nnninnz)11(12+=，则=nznlim_.4.=+zz22cossin_.5.=1|00)(zznzzdz_.（n为自然数）6.幂级数=0nnnx的收敛半径为_.7.设11)(2+=zzf，则f(z)的孤立奇点有_.8.设1=ze，则_=z.9.若0z是)(zf的极点，则_)(lim0=zfzz.10._)0,(Res=nzze.三.计算题.(40 分)1.将函数12()zf zz e=在圆环域0z 内展为 Laurent 级数.2.试求幂级数nnnznn+=!的收敛半径.3.算下列积分：Czzzze)9(d22，其中C是1|=z.4.求0282269=+zzzz在|z|1 内根的个数.四.证明题.(20 分)1.函数)(zf在区域D内解析.证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数.2.设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当Rz|时 nzMzf|)(|，证明)(zf是一个至多n次的多项式或一常数。复变函数考试试题（四）复变函数考试试题（四）一.判断题.(20 分)1.若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.（）2.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（）3.函数zsin与zcos在整个复平面内有界.（）4.若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有0)(=Cdzzf.（）5.若)(lim0zfzz存在且有限，则z0是函数的可去奇点.（）6.若函数f(z)在区域D内解析且0)(=zf，则f(z)在D内恒为常数.（）7.如果z0是f(z)的本性奇点，则)(lim0zfzz一定不存在.（）8.若0)(,0)(0)(0=zfzfn，则0z为)(zf的n阶零点.（）9.若)(zf与)(zg在D内 解 析，且 在D内 一 小 弧 段 上 相 等，则Dzzgzf),()(.（）10.若)(zf在+|0z内解析，则),(Res)0),(Res=zfzf.（）二.填空题.(20分)1.设iz=11，则_Im_,Re=zz.2.若=nnzlim，则=+nzzznn.lim21_.3.函数ez的周期为_.4.函数211)(zzf+=的幂级数展开式为_ 5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是_.6.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_.7.设1|:|=zC，则_)1(=Cdzz.8.zzsin的孤立奇点为_.9.若0z是)(zf的极点，则_)(lim0=zfzz.10.=)0,(Resnzze_.三.计算题.(40分)1.解方程013=+z.2.设1)(2=zezfz，求).),(Rezfs 3.)(9(2|2=+zdzizzz.4.函数()f z=zez111有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四.证明题.(20分)1.证明：若函数)(zf在上半平面解析，则函数)(zf在下半平面解析.2.证明0364=+zz方程在2|1 z内仅有3个根.复变函数考试试题（五）复变函数考试试题（五）一.判断题.（20分）1.若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（）2.若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数.（）3.若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析.（）4.若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析.（）5.若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析.（）6.若)(lim0zfzz存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点.（）7.若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析.（）8.设函数)(zf在复平面上解析，若它有界，则必)(zf为常数.（）9.若0z是)(zf的一级极点，则)()(lim),(Res000zfzzzzfzz=.（）10.若)(zf与)(zg在D内 解 析，且 在D内 一 小 弧 段 上 相 等，则Dzzgzf),()(.（）二.填空题.（20分）1.设iz31=，则_,arg_,|=zzz.2.当_=z时，ze为实数.3.设1=ze，则_=z.4.ze的周期为_.5.设1|:|=zC，则_)1(=Cdzz.6._)0,1(Res=zez.7.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_。8.函数211)(zzf+=的幂级数展开式为_.9.zzsin的孤立奇点为_.10.设C是以为a心，r为半径的圆周，则_)(1=Cndzaz.（n为自然数）三.计算题.(40分)1.求复数11+zz的实部与虚部.2.计算积分：zzILdRe=，在这里L表示连接原点到1i+的直线段.3.求积分：I=+202cos21aad，其中0a1.4.应用儒歇定理求方程)(zz=，在|z|1内根的个数，在这里)(z在1|z上解析，并且1|)(|，则0z是()fz的_零点.7.若函数()f z在整个复平面处处解析，则称它是_.8.函数()f zz=的不解析点之集为_.9.方程532380zzz+=在单位圆内的零点个数为_.10.公式cossinixexix=+称为_.三、计算题（30分）1、2lim6nni.2、设2371()Cf zdz+=，其中:3Czz=，试求(1)fi+.3、设2()1zef zz=+，求Re(),)s f z i.4、求函数36sin zz在0z，则0z是()fz的_零点.7.若函数()f z在整个复平面处处解析，则称它是_.8.函数()f zz=的不解析点之集为_.9.方程833380zzz+=在单位圆内的零点个数为_.10.Re(,0)znesz=_.三、计算题（30分）1、求221122ii+.2、设2371()Cf zdz+=，其中:3Czz=，试求(1)fi+.3、设2()zef zz=，求Re(),0)s f z.4、求函数(1)(1)zzz+在12z.四、证明题（20分）1、方程7633249610zzzz+=在单位圆内的根的个数为7.2、若函数()(,)(,)f zu x yiv x y=+在区域D内解析，()f z等于常数，则()f z在D恒等于常数.3、若0z是()f z的m阶零点，则0z是1()f z的m阶极点.五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将z平面上的上半单位圆盘:1,Im0zzz保形映射为w平面的单位圆盘:1w w 复变函数考试试题（八）复变函数考试试题（八）一、判断题（20分）1、若函数()f z在0z解析，则()f z在0z连续.（）2、若函数()f z在0z满足Cauchy-Riemann条件，则()f z在0z处解析.（）3、如果0z是()f z的本性奇点，则0lim()zzf z一定不存在.（）4、若函数()f z是区域D内解析，并且()0()fzzD，则()f z是区域D的单叶函数.（）5、若函数()f z是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（）6、若函数()f z是单连通区域D内的每一点均可导，则它在D内有任意阶导数.（）7、若函数()f z在区域D内解析且()0fz=，则()f z在D内恒为常数.（）8.存在一个在零点解析的函数()f z使1()01fn=+且11(),1,2,22fnnn=?.（）9.如果函数()f z在:1Dzz=上解析，且()1(1)f zz=，则()1(1)f zz.（）10.sinz是一个有界函数.（）二、填空题（20分）1、若21(1)1nnnzinn+=+，则limnz=_.2、设()lnf zz=，则()f z的定义域为_.3、函数sinz的周期为_.4、若limnnz=，则12limnnzzzn+=?_.5、幂级数50nnnz+=的收敛半径为_.6、函数21()1f zz=+的幂级数展开式为_.7、若C是单位圆周，n是自然数，则01()nCdzzz=_.8、函数()f zz=的不解析点之集为_.9、方程53215480zzz+=在单位圆内的零点个数为_.10、若21()1f zz=+，则()f z的孤立奇点有_.三、计算题（30分）1、求1131sin2(1)(4)zzzdzezdzizz+=+2、设2371()Cf zdz+=，其中:3Czz=，试求(1)fi+.3、设2()1zef zz=，求Re(),)s f z.4、求函数210(1)(2)zzz+在2z+内的罗朗展式.5、求复数11zwz=+的实部与虚部.四、证明题（20分）1、方程763155610zzz+=在单位圆内的根的个数为7.2、若函数()(,)(,)f zu x yiv x y=+在区域D内连续，则二元函数(,)u x y与(,)v x y都在D内连续.4、若0z是()f z的m阶零点，则0z是1()f z的m阶极点.五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将z平面上的区域4:0arg5zz保形映射为w平面的单位圆盘:1w w，则0z是()fz的_零点.7、若函数()f z在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是_.8、函数()f zz=的不解析点之集为_.9、方程832011350zzz+=在单位圆内的零点个数为_.10、2Re(,1)1zesz=_.三、计算题（30分）1、2lim6nni 2、设2371()Cf zdz+=，其中:3Czz=，试求(1)fi+.3、设2()1zef zz=+，求Re(),)s f zi.4、求函数(1)(2)zzz在12z内的罗朗展式.5、求复数11zwz=+的实部与虚部.6、利用留数定理计算积分2422109xxdxxx+.四、证明题（20分）1、方程7639610zzz+=在单位圆内的根的个数为6.2、若函数()(,)(,)f zu x yiv x y=+在区域D内解析，(,)u x y等于常数，则()f z在D恒等于常数.7、若0z是()f z的m阶零点，则0z是1()f z的m阶极点.五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将z平面上的带开区域:Im2zz保形映射为w平面的单位圆盘:1w w.复变函数考试试题（十）复变函数考试试题（十）一、判断题（40分）：1、若函数()f z在0z解析，则()f z在0z的某个邻域内可导.（）2、如果0z是()f z的本性奇点，则0lim()zzf z一定不存在.（）3、若函数()(,)(,)f zu x yiv x y=+在D内连续，则(,)u x y与(,)v x y都在D内连续.（）4、cosz与sinz在复平面内有界.（）5、若0z是()f z的m阶零点，则0z是1/()f z的m阶极点.（）6、若()f z在0z处满足柯西-黎曼条件，则()f z在0z解析.（）7、若0lim()zzf z存在且有限，则0z是函数的可去奇点.（）8、若()f z在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有()0Cf x dz=.（）9、若函数()f z是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（）10、若函数()f z在区域D内解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数.（）二、填空题（20分）：1、函数ze的周期为_.2、幂级数0nnnz+=的和函数为_.3、设21()1f zz=+，则()f z的定义域为_.4、0nnnz+=的收敛半径为_.5、Re(,0)znesz=_.三、计算题（40分）：1、2.(9)()zzdzzzi+2、求2Re(,).1izesiz+3、11.22nnii+4、设22(,)ln().u x yxy=+求(,)v x y，使得()(,)(,)f zu x yiv x y=+为解析函数，且满足(1)ln2fi+=。其中zD（D为复平面内的区域）.5、求4510zz+=，在1z 内根的个数.复变函数考试试题（十一）复变函数考试试题（十一）一、判断题.（正确者在括号内打，错误者在括号内打，每题 2 分）1当复数0z=时，其模为零，辐角也为零.（）2若0z是多项式110()nnnnP za zaza=+?(0)na 的根，则0z也()P z是的根.（）3如果函数()f z为整函数，且存在实数M，使得Re()f zM，则()f z为一常数.（）4 设函数1()f z与2()fz在区域内D解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的zD，有1()f z2()fz.（）5若z=是函数()f z的可去奇点，则Re()0zs f z=.（）二、填空题.（每题2分）123456iiiii=_.2 设0zxiy=+，且arg,arctan22yzx，当0,0 xy时，argarctanyx=+_.3函数1wz=将z平面上的曲线22(1)1xy+=变成w平面上的曲线_.4方程440(0)zaa+=的不同的根为_.5(1)ii+_.6级数202(1)nnz=+的收敛半径为_.7cosnz在zn（n为正整数）内零点的个数为_.8函数336()6sin(6)f zzzz=+的零点0z=的阶数为_.9 设a为 函 数()()()zf zz=的 一 阶 极 点，且()0,()0,()0aaa=，则()Re()z afzsf z=_.10设a为函数()f z的m阶极点，则()Re()z afzsf z=_.三、计算题（50分）1设221(,)ln()2u x yxy=+。求(,)v x y，使得()(,)(,)f zu x yiv x y=+为解析函数，且满足1(1)ln22fi+=.其中zD（D为复平面内的区域）.（15分）2求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）.（10分）（1）2tanz；（5分）（2）111zzee.（5分）3计算下列积分.（15分）（1）1924434(1)(2)zzdzzz=+（8分），（2）201 cosd+（7分）.4叙述儒歇定理并讨论方程742520zzz+=在1z 内根的个数.（10分）四、证明题（20分）1 设()(,)(,)f zu x yiv x y=+是上半复平面内的解析函数，证明()f z是下半复平面内的解析函数.（10分）2设函数()f z在zR内解析，令()max(),(0)zrM rf zrR=。证明：()M r在区间0,)R上是一个上升函数，且若存在1r及2r（120rrR，使得对任意的zD，有()f zM。（）5若函数()f z是非常的整函数，则()f z必是有界函数。（）二、填空题。（每题2分）123456iiiii=_。2 设0zxiy=+，且arg,arctan22yzx，当0,0 xy时，argarctanyx=+_。3 若已知222211()(1)(1)f zxiyxyxy=+，则其关于变量z的表达式为_。4nz以z=_为支点。5若ln2zi=，则z=_。61zdzz=_。7级数2461zzz+?的收敛半径为_。8cosnz在zn+（7分）。4叙述儒歇定理并讨论方程66100zz+=在1z 内根的个数。（10分）四、证明题（20分）1讨论函数()zf ze=在复平面上的解析性。（10分）2证明：21()2!nznnCz edzinn=。此处C是围绕原点的一条简单曲线。（10分）复变函数考试试题（十三）复变函数考试试题（十三）一、填空题（每题分）设(cossin)zri=+，则1z=_ 设函数()(,)(,)f zu x yiv x y=+，00Auiv=+，000zxiy=+，则0lim()zzf zA=的充要条件是_ 设函数()f z在单连通区域D内解析，则()f z在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分()Cf z dz=_ 设za=为()f z的极点，则lim()zaf z=_ 设()sinf zzz=，则0z=是()f z的_阶零点 设21()1f zz=+，则()f z在0z=的邻域内的泰勒展式为_ 设zazab+=，其中,a b为正常数，则点z的轨迹曲线是_ 设sincos66zi=，则z的三角表示为_ 40coszzdz=_ 设2()zef zz=，则()f z在0z=处的留数为_ 二、计算题 计算下列各题（分）(1)cosi；(2)ln(23)i+;(3)33i 2求解方程380z+=（分）设22uxyxy=+，验证u是调和函数，并求解析函数()f zuiv=+，使之()1f ii=+（分）计算积分（10分）(1)2()Cxiy dz+，其中C是沿2yx=由原点到点1zi=+的曲线(2)120()ixyix dz+，积分路径为自原点沿虚线轴到i，再由i沿水平方向向右到1i+试将函数1()(1)(2)f zzz=分别在圆环域01z和12z内展开为洛朗级数（分）计算下列积分（分）(1)2252(1)zzdzz z=?；(2)224sin(1)zzdzzz=?计算积分241xdxx+（分）求下列幂级数的收敛半径（分）(1)11nnnz=；(2)1(1)!nnnzn=讨论2()f zz=的可导性和解析性（分）三、证明题 设函数()f z在区域D内解析，()f z为常数，证明()f z必为常数（分）试证明0azazb+=的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数（分）复变函数考试试题（十四）复变函数考试试题（十四）一、填空题（每题分）设(cossin)zri=+，则nz=_ 设函数()(,)(,)f zu x yiv x y=+，00Auiv=+，000zxiy=+，则0lim()zzf zA=的充要条件_ 设函数()f z在单连通区域D内解析，则()f z在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分()Cf z dz=_ 设za=为()f z的可去奇点，lim()zaf z=_ 设22()(1)zf zze=，则0z=是()f z的_阶零点 设21()1f zz=，则()f z在0z=的邻域内的泰勒展式为_ 设zazab+=，其中,a b为正常数，则点z的轨迹曲线是_ 设sincoszi=+，则z的三角表示为_ 10izze dz+=_ 设21()sinf zzz=，则()f z在0z=处的留数为_ 二、计算题 计算下列各题（分）(1)(34)Lni+；(2)16ie+;(3)1(1)ii+2求解方程320z+=（分）设2(1)uxy=，验证u是调和函数，并求解析函数()f zuiv=+，使之(2)fi=（分）计算积分120()ixyix dz+，其中路径为（）自原点到点1i+的直线段；(2)自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1i+（10分）试将函数1()(2)f zz=在1z=的邻域内的泰勒展开式（分）计算下列积分（分）(1)22sin()2zzdzz=?；(2)2242(3)zzdzzz=?计算积分2053cosd+（分）求下列幂级数的收敛半径（分）(1)1(1)nnniz=+；(2)21(!)nnnnzn=设3232()()f zmynx yi xlxy=+为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值（分）三、证明题 设函数()f z在区域D内解析，()f z在区域D内也解析，证明()f z必为常数（分）试证明0azazb+=的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数（分）参考答案 参考答案 复变函数考试试题（一）参考答案复变函数考试试题（一）参考答案 一 判断题 12 6 10 二填空题 1.2101inn=；2.1；3.2k，()kz；4.zi=；5.1 6.整函数；7.；8.1(1)!n；9.0；10.三计算题.1.解 因为01,z 所以01z 111()(1)(2)12(1)2f zzzzz=001()22nnnnzz=.2.解 因为 22212Re()limlim1cossinzzzzs f zzz=+=,22212Re()limlim1cossinzzzzs f zzz=.所以22212(Re()Re()0coszzzdzis f zs f zz=+=.3.解 令2()371=+,则它在z平面解析,由柯西公式有在3z,当z在:CzR=上时,有 111110()()nnnnnnza RaRaaaRa R+.()f z=.由儒歇定理知在圆 zR 内,方程10110nnnna za zaza+=与 00na z=有相 同个数的根.而 00na z=在 zR 内有一个 n 重根 0z=.因此n次方程在zR 内有n 个根.复变函数考试试题（三）参考答案复变函数考试试题（三）参考答案 一.判断题 1 6 10.二.填空题.1.,z zizC 且;2.2()k ikz;3.1ei+;4.1;5.2101inn=;6.1;7.i;8.(21)zki=+;9.;10.1(1)!n.三.计算题.1.解 12222011(1)2!nznzz ezzzn+=+=.2.解 11!(1)11limlimlim()lim(1)(1)!nnnnnnnnnncnnnecnnnn+=+=+.所以收敛半径为e.3.解 令 22()(9)zef zzz=,则 2001Re()99zzzes f zz=.故原式022Re()9ziis f z=.4.解 令 962()22f zzzz=+,()8zz=.则在:C 1z=上()()f zz与均解析,且()6()8f zz=,故由儒歇定理有 (,)(,)1N fCN fC+=+=.即在 1z,则对一切正整数 kn 时,()1!()!(0)2nkkkzrkf zk Mrfdzzr+=.于是由r的任意性知对一切kn均有()(0)0kf=.故0()nnnkf zc z=,即()f z是一个至多n次多项式或常数.复变函数考试试题（四）参考答案复变函数考试试题（四）参考答案 一.判断题.1 6 10.二.填空题.1.12,12;2.;3.2()k ikz;4.20(1)(1)nnnzz=;5.整函数;6.亚纯函数;7.0;8.0z=;9.;10.1(1)!n+.三.计算题.1.iiziziizkkikzz232135sin35cos1sincos23213sin3cos2,1,032sin32cos1:3213=+=+=+=+=+=解 2.解 11Re()12zzzees f zz=+,111Re()12zzzees f zz=+.故原式1112(Re()Re()()zzis f zs f zi ee=+=.3.解 原式22Re()295zizizis f ziz=.4.解 zez111=)1(1+zzezez，令0)1(=zez，得ikzz2,0=，?,2,1=k 而 zzzzzzzzzzeeezeezze+=+=11lim)1(1lim)111(lim000 21lim0=+=zzzzzzeeee 0=z为可去奇点 当ikz2=时，01),0(+zezk 而0212)1(=+=ikzzeeikzzezzz ikz2=为一阶极点.四.证明题.1.证明 设()()F zf z=,在下半平面内任取一点0z,z是下半平面内异于0z的点,考虑 000000000()()()()()()limlimlimzzzzzzF zF zf zf zf zf zzzzzzz=.而0z,z在上半平面内,已知()f z在上半平面解析,因此00()()F zfz=,从而 ()()F zf z=在下半平面内解析.2.证明 令()63f zz=+,4()zz=,则()f z与()z在全平面解析,且在1:2Cz=上,()15()16f zz=,故在2z=,故在1z 内22(,)(,)1N fCN f C+=.所以f+在12z内仅有三个零点,即原方程在12z内仅有三个根.复变函数考试试题（五）参考答案复变函数考试试题（五）参考答案 一.判断题.1 6 10.二.填空题.1.2,3,13i+;2.2(,)ak ikz a+为任意实数;3.(21)ki+,()kz;4.2,()k i kz;5.0;6.0;7.亚纯函数;8.20(1)(1)nnnzz=;9.0;10.2101inn=.三.计算题.1.解 令zabi=+,则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)zabiabwzzababab+=+.故 2212(1)Re()11(1)zazab+=+,2212Im()1(1)zbzab=+.2.解 连接原点及1 i+的直线段的参数方程为(1)01zi tt=+,故11001ReRe(1)(1)(1)2cizdzi ti dtitdt+=+=+=.3.令ize=,则dzdiz=.当0a 时 212()(1)1 2 cos1()zaazaaa zzaz+=+=,故11()(1)zdzIizaaz=,且在圆1z 内1()()(1)f zzaaz=只以za=为一级极点,在1z=上无奇点,故211Re(),(01)11z az as f zaaza=,由残数定理有 2122Re(),(01)1z aIis f zaia=.4.解 令(),f zz=则(),()f zz在1z 内解析,且在:C1z=上,()1()zf z=,所以在1z 内,(,)(,)1N fCN f C+=,即原方程在 1z,则对一切正整数 kn 时,()1!()!(0)2nkkkzrkf zk Mrfdzzr+=.于是由r的任意性知对一切kn均有()(0)0kf=.故0()nnnkf zc z=,即()f z是一个至多n次多项式或常数.复变函数考试试题（六）参考答案复变函数考试试题（六）参考答案 一、判断题：1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.二、填空题：1.1ei+2.1z 3.2 4.1 5.1 6.1m阶 7.整函数 8.?9.0 10.欧拉公式 三、计算题：1.解：因为21151,69366i=+=故2lim()06nni=.2.解：123,i+=.根据儒歇定理，()f z与()()f zz+在单位圆内有相同个数的零点，而()f z的零点个数为6，故7639610zzz+=在单位圆内的根的个数为6.2.证明：设(,)v x yabi=+，则0 xyvv=,由于()f zuiv=+在内D解析，因此(,)x yD有 0 xyuv=,0yxuv=.于是(,)u x ycdi+故()()()f zacbd i=+，即()f z在内D恒为常数.3.证明：由于0z是()f z的m阶零点，从而可设 0()()()mf zzzg z=，其中()g z在0z的某邻域内解析且0()0g z，于是 0111()()()mf zzzg z=由0()0g z可知存在0z的某邻域1D，在1D内恒有()0g z，因此1()g z在内1D解析，故0z为1()f z的m阶极点.复变函数考试试题（七）参考答案复变函数考试试题（七）参考答案 一、判断题：1.2.3.4.5.6.7.8.二、填空题：1.ei 2.1z 3.2 i 4.1 5.1 6.1m阶 7.整函数 8.?9.0 10.1(1)!n 三、计算题：1.解：2211()()0.22iiii+=2.解：123,i+=1()()2Cff zdiz=2371.Cdz+=因此 2()2(371)fi=+故2()2(371)f zizz=+1(1)2(67)2(136)2(6 13)ifiiziii+=+=+=+.3.解：0222111!,2nznzenzzzz=+?因此Re(),0)1.s f z=4.解：12111(1)(2)12(1)12zzzzzzzz=+=由于12z，从而11,12zz.因此在12z，故奇点为201zaa=02220124()4cos211Rez zdf zaaas=+.四、证明题：1.证明：设7632()24,()961,f zzg zzzz=+则在1z=上，()24,()96 1 117,f zg z=+=即有()()f zg z.根据儒歇定理知在1z 内()f z与()()f zg z+在单位圆内有相同个数的零点，而在1z 内()f z的零点个数为7，故7632249610zzzz+=在单位圆内的根的个数为7.2.证明：设22()f zuvc=+，则 220,220.xxyyu uv vu uv v+=+=已知()f z在区域D内解析，从而有,xyyxuvuv=将此代入上上述两式得 0,0.xyyxuuvuuuvu=+=因此有 0,0,xyuu=于是有0,0 xyvv=.即有 1212,()uc vcf zcic=+故()f z在区域D恒为常数.3.证明：由于0z是()f z的m阶零点，从而可设 0()()()mf zzzg z=，其中()g z在0z的某邻域内解析且0()0g z，于是 0111()()()mf zzzg z=由0()0g z可知存在0z的某邻域1D，在1D内恒有()0g z，因此1()g z在内1D解析，故0z为1()f z的m阶极点.五、计算题 解：根据线性变换的保对称点性知i关于实轴的对称点i应该变到0w=关于圆周的对称点w=，故可设ziwkzi=+复变函数考试试题（八）参考答案复变函数考试试题（八）参考答案 一、判断题：1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.二、填空题：1.1 ei+2.0z，3.2 4.5.1 6.2k=0()kiz 7.0,12,1ni n=8.?9.5 10.1z 三、计算题：1.解：由于1sinzez+在1z 解析，所以11sin0zzezdz+=而331111(4)2(1)(4)2(1)3zzdzdzzizziz=因此11311sin2(1)(4)3zzzdzezdzizz+=+=.2.解：123,i+=1()()2Cff zdiz=2371.Cdz+=因此 2()2(371)fi=+故2()2(371)f zizz=+1(1)2(67)2(136)2(6 13)ifiiziii+=+=+=+.3.解：211()()1211zzeef zzzz=+1Re(),1),Re(),1),22ees f zs f z=因此 11Re(),)().222eeees f z=4.解：2222101111121111112112(1)(2)1211zzzzzzzzzzz+=+=+由于2z+，从而2121,1zz 因此在2z+内有 2(1)122200010111111221()()()2(1112)11(1)(2)nnnnnnnnzzzzzzzzzzz+=+=+=+5解：设zxiy=+,则222211(1)211(1)zxiyxyyiwzziyxy+=+.22222212Re,Im.(1)(1)xyywwxyxy+=+6解：设ixze=,则ixdzie dxizdx=11sin()2xziz=2220012sin22sindxdxxx=[phone]zzizdzdziz zizziz=+在1z.根据儒歇定理知在1z 内()f z与()()f zg z+在单位圆内有相同个数的零点，而在1z 当00,xxyy时有 000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)f x yf xyu x yu xyi v x yv xy=[phone](,)(,)(,)(,),u x yu xyv x yv xy=+从而有00(,)(,),u x yu xy 00(,)(,).v x yv xy 即与在连续，由00(,)xyD的任意性知(,)u x y与(,)v x y都在D内连续 3.证明：由于0z是()f z的m阶零点，从而可设 0()()()mf zzzg z=，其中()g z在0z的某邻域内解析且0()0g z，于是 0111()()()mf zzzg z=由0()0g z可知存在0z的某邻域1D，在1D内恒有()0g z，因此1()g z在内1D解析，故0z为1()f z的m阶极点.五、解：1.设54z=，则将区域4:0arg5zz保形映射为区域:0argz 2.设iiwei=+,则w将上半平面保形变换为单位圆1w.因此所求的单叶函数为 5454iziwezi=+.复变函数考试试题（九）参考答案复变函数考试试题（九）参考答案 一、判断题（一、判断题（20分）分）1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、二、填空题（20 分）二、填空题（20 分）1、ze i 2、,0,1,2,zkk=?3、2 4、1 5、1 6、1m 7、整函数 8、c 9、8 10、e 三三、计算题（、计算题（30）1、解：2521,lim()0.666nnii=2、解：123,i+=1()()2Cff zdiz=2371.Cdz+=因此 2()2(371)fi=+故2()2(371)f zizz=+1(1)2(67)2(136)2(6 13)ifiiziii+=+=+=+.3、解：2().1()()Re(),