《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1](可打印.pdf

1/8共 6 页第 页1一填空题（每小题一填空题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分）1的幅角是（）；231iL2,1,0,23kk 2.的主值是（）；)1(iLni432ln213.，（0 ），211)(zzf)0()5(f4是 的（一级一级 ）极点；0z4sinzzz 5，（-1）；zzf1)(),(Rezfs二选择题（每题二选择题（每题 4 分，共分，共 24 分）分）1解析函数的导函数为（B ）；),(),()(yxivyxuzf（A）；（B）；yxiuuzf)(yxiuuzf)(（C）；（D）.yxivuzf)(xyivuzf)(2C 是正向圆周，如果函数（D ），则3z)(zf0d)(Czzf（A）；（B）；（C）；（D）.23z2)1(3zz2)2()1(3zz2)2(3z3如果级数在点收敛，则级数在（C）1nnnzc2z（A）点条件收敛；（B）点绝对收敛；2ziz2（C）点绝对收敛；（D）点一定发散 iz1iz21下列结论正确的是(B )（A）如果函数在点可导，则在点一定解析；)(zf0z)(zf0z(B)如果在 C 所围成的区域内解析，则)(zf0)(Cdzzf（C）如果，则函数在 C 所围成的区域内一定解析；0)(Cdzzf)(zf（D）函数在区域内解析的充分必要条件是、),(),()(yxivyxuzf),(yxu 2/8共 6 页第 页2在该区域内均为调和函数),(yxv5下列结论不正确的是（D ）、zA1sin)(、zBsin)(.sin)(、zC11、zDsin)(1 三按要求完成下列各题（每小题三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共分，共 40 分）分）（1）设是解析函数，求)()(2222ydxycxibyaxyxzf.,dcba解：因为解析，由 C-R 条件)(zf yvxuxvyuydxayx22,22dycxbyax，,2,2da,2,2dbca,1,1bc给出给出 C-RC-R 条件条件 6 6 分，正确求导给分，正确求导给 2 2 分，结果正确分，结果正确 2 2 分。分。（2）计算其中 C 是正向圆周：Czzzzed)1(2解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数在复平面内只有两个奇点，分别以为圆心画互不zzezfz2)1()(1,021zz21,zz相交互不包含的小圆且位于 c 内21,cc21d)1(d)1(d)1(222CzCzCzzzzezzzezzzeizeizeizzzz2)1(2)(2021无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。（3）3342215d)2()1(zzzzz 3/8共 6 页第 页3解：设在有限复平面内所有奇点均在：内，由留数定理)(zf3z -（5 分）),(Re2d)2()1(3342215zfsizzzzz -（8 分）1)1(Re22zzfsi234221521)1(2()11()1(1)1(zzzzzzf0,z)12()1(11)1(34222有唯一的孤立奇点zzzzzf1)12()1(11)1(0,1)1(Re34220202limlimzzzzzfzzfszz -（10 分）33422152d)2()1(zizzzz（4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，2332)3()(sin)2)(1()(zzzzzzf请指出它的级.解：，的奇点为L,3,2,1,0,)(sin)3()2)(1()(3232kkzzzzzzzf（1）、032103 zkkz sin,L（2）、)()(,zfzzfzz210 （3）的一级极点，为)(3zfz（4）的三级极点；，为)(4,3,2zfzL（5）、)(zf 备注：给出全部奇点给 5 分，其他酌情给分。四、（本题 14 分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；)1(1)(2zzzf（1），（2），（3）110 z10 z z1 4/8共 6 页第 页4解：（1）当110 z)11(1)1(1)1(1)(2zzzzzf而)1()1()11(10nnnzz01)1()1(nnnzn -6 分021)1()1()(nnnznzf（2）当10 z=)1(1)1(1)(22zzzzzf021nnzz -10 分02nnz（3）当 z1)11(1)1(1)(32zzzzzf -14 分03031)1(1)(nnnnzzzzf一填空题（每小题一填空题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分）1的幅角是（）；21 iL,2,10,24kk2.的主值是（）；)1(iLn42ln21i3.，（0 ）；211)(zzf)0()7(f4，（0 ）；3sin)(zzzzf0),(Rezfs 5/8共 6 页第 页5得分5，（0 ）；21)(zzf),(Rezfs二选择题（每小题二选择题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分）1是解析函数的实部，则（A ）；22yx),(),()(yxivyxuzf（A）；（B）；)(2)(iyxzf)(2)(iyxzf（C）；（D）.)(2)(ixyzf)(2)(ixyzf2C 是正向圆周，如果函数（A ），则2z)(zf0d)(Czzf（A）；（B）；（C）；（D）.11zzzsin2)3(1z2)1(1z3如果级数在点收敛，则级数在(C )1nnnzciz2（A）点条件收敛；（B）点绝对收敛；2ziz2（C）点绝对收敛；（D）点一定发散 iz1iz21下列结论正确的是(C )（A）如果函数在点可导，则在点一定解析；)(zf0z)(zf0z(B)如果,其中 C 复平面内正向封闭曲线,则在 C 所围成的区域内一定解析；0)(Cdzzf)(zf（C）函数在点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为的幂级数，)(zf0z0zz 而且展开式是唯一的；（D）函数在区域内解析的充分必要条件是、在该区域),(),()(yxivyxuzf),(yxu),(yxv内均为调和函数5下列结论不正确的是（C ）（A）是复平面上的多值函数；（B）是无界函数；lnzcosz（C）是复平面上的有界函数；（D）是周期函数zsinze三按要求完成下列各题（每小题三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计分，共计 40 分）分）（1）求使是解析函数，dcba,)()(2222ydxycxibyaxyxzf得分 6/8共 6 页第 页6解：因为解析，由 C-R 条件)(zf yvxuxvyuydxayx22,22dycxbyax，,2,2da,2,2dbca,1,1bc给出给出 C-RC-R 条件条件 6 6 分，正确求导给分，正确求导给 2 2 分，结果正确分，结果正确 2 2 分。分。（2）其中 C 是正向圆周；Czzzd)1(122z解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数在复平面内只有两个奇点，分别以为圆心画互不zzzf2)1(1)(1,021zz21,zz相交互不包含的小圆且位于 c 内21,cc21d)1(1d)1(1d)1(1222CCCzzzzzzzzz0)1(12)1(2021zzzizi（3）计算，其中 C 是正向圆周；Czzzezd)1(132z解：设在有限复平面内所有奇点均在：内，由留数定理)(zf2z -（5 分）122),(Re2(z)diczfsizfz z1 )1111)(!31!2111(11)1(323221213LLzzzzzzzzezzezzz 7/8共 6 页第 页7)1111)(!41!31!21(3222LLzzzzzzz)!31!2111(1c38izfz238(z)d2（4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它332)(sin)2)(1()(zzzzf的级.，的奇点为L,3,2,1,0,)(kkzzf、032103 zkkz sin,L 的可去奇点，是的二级极点，为)(2)(,1zfzzfz的三级极点；，为)(4,3,2,0zfzL、)(zf 给出全部奇点给 5 分。其他酌情给分。四、（本题 14 分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；)1(1)(2zzzf（1），（2），（3）110 z10 z z1（1），（2），（3）110 z10 z z1解：（1）当110 z)1(1(1)1(1)1(1)(2zzzzzf而)1()1(1(10nnzz01)1(nnzn -6 分02)1()(nnznzf得分 8/8共 6 页第 页8（2）当10 z=)1(1)(2zzzf02)1(1nnnzz -10 分02)1(nnz（3）当 z1)11(1)1(1)(32zzzzzf -14 分03031)1()1(1)(nnnnnzzzzf