《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案.doc

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

«复变函数与积分变换»期末试题（A）答案及评分标准
«复变函数与积分变换»期末试题（A）
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．的幅角是（）；2.的主值是（ ）；3. ，（ 0 ）；
4．是 的（一级）极点；5． ，（-1）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数的导函数为（ B ）；
（A） ； （B）；
（C）； （D）.
2．C是正向圆周，如果函数（ D ），则．
（A） ； （B）； （C）； （D）.
3．如果级数在点收敛，则级数在（ C ）
（A）点条件收敛 ； （B）点绝对收敛；
（C）点绝对收敛； （D）点一定发散．
４．下列结论正确的是( B )
（A）如果函数在点可导，则在点一定解析；
(B) 如果在C所围成的区域内解析，
则
（C）如果，则函数在C所围成的区域内一定解析；
（D）函数在区域内解析的充分必要条件是、在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ D ）．
(A) (B)
(C) (D)
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
（1）设是解析函数，求
（2）．计算其中C是正向圆周：；
（3）计算
（4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.
四、（本题14分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；
（1），（2），（3）
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题

六、（本题6分）求的傅立叶变换，并由此证明：

三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）
（1）．设是解析函数，求
解：因为解析，由C-R条件

，
给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
（2）．计算其中C是正向圆周：
解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程
因为函数在复平面内只有两个奇点，分别以为圆心画互不相交互不包含的小圆且位于c内

无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
（3）．
解：设在有限复平面内所有奇点均在：内，由留数定理
-----（5分）
----（8分）

--------（10分）
（4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.
解 ：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。
四、（本题14分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；
（1），（2），（3）
解：（1）当

而

-------6分
（2）当
=
-------10分
（3）当

------14分
每步可以酌情给分。
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题：

解：对的Laplace变换记做，依据Laplace变换性质有
…（5分）
整理得
…（7分）
…（10分）
六、（6分）求的傅立叶变换，并由此证明：

解： --------3分

------4分
- -------5分

， -------6分

«复变函数与积分变换»期末试题（B)
一． 填空题（每小题3分，共计15分）
二． 1．的幅角是（ ）；2.的主值是（ ）；3. =（ ），在复平面内处处解析．4．是 的（ ）极点；5． ，（ ）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）

1．解析函数的导函数为（ ）；
（A）； （B）；
（C）； （D）.
2．C是正向圆周，如果函数（ ），则．
（A） ； （B）； （C）； （D）.
3．如果级数在点收敛，则级数在
（A）点条件收敛 ； （B）点绝对收敛；
（C）点绝对收敛； （D）点一定发散．
４．下列结论正确的是( )
（A）如果函数在点可导，则在点一定解析；
(B) 如果,其中C复平面内正向封闭曲线, 则在C所围成的区域内一定解析；
（C）函数在点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为的幂级数，而且展开式是唯一的；
（D）函数在区域内解析的充分必要条件是、在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ ）．
（A）、是复平面上的多值函数； 是无界函数；
是复平面上的有界函数；（D）、是周期函数．

得分
三．按要求完成下列各题（每小题8分，共计50分）

（1）设是解析函数，且，求．
（2）．计算．其中C是正向圆周；
（3）．计算，其中C是正向圆周；
（4）．利用留数计算．其中C是正向圆周；
（5）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.
四、（本题12分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；
（1），（2），（3）
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题

六、（本题8分）求的傅立叶变换，并由此证明：

«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准（B） 一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．的幅角是（ ）；2.的主值是（ ）；3. ，（ 0 ）；4． ，（ 0 ） ；5． ，（ 0 ）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1----5 A A C C C
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
（1）求使是解析函数，
解：因为解析，由C-R条件

，
给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
（2）．．其中C是正向圆周；
解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程
因为函数在复平面内只有两个奇点，分别以为圆心画互不相交互不包含的小圆且位于c内

（3）．计算，其中C是正向圆周；
解：设在有限复平面内所有奇点均在：内，由留数定理
-----（5分）

（4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.

给出全部奇点给5分。其他酌情给分。
四、（本题14分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；
（1），（2），（3）
（1），（2），（3）
解：（1）当

而
--------6分
（2）当
=
-----10分
（3）当

--------14分
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题

解：对的Laplace变换记做，依据Laplace变换性质有
…（5分）
整理得
…（7分）
…（10分）

得分
六、（本题6分）求的傅立叶变换，并由此证明：

解：
-------2分
----- 4分
----------- 5分

= --------------6分
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