复变函数-期末试卷及答案.pdf

复变函数与积分变换 第 1 页 共 6 页一、单项选择题(本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1下列复数中，位于第三象限的复数是（）A.B.C.D.12i1 2i 1 2i12i 2下列等式中，不成立的等式是（）4.34arctan3Ai 的主辐角为.arg(3)arg()Bii 2.rg(34)2arg(34)C aii 2.|D z zz3下列命题中，正确的是（）A.表示圆的内部 B.表示上半平面 1z Re()0z C.表示角形区域D.表示上半平面0arg4zIm()0z 4关于下列命题正确的是（）0limzzzzA.B.C.D.0不存在1 15下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（）.zA ze2sin.1zBz.tanzCze.sinzDze6在复平面上，下列命题中，正确的是（）A.是有界函数B.cosz22LnzLnz.cossinizC eziz2.|Dzz7在下列复数中，使得成立的是（）3zei.ln223iA zi.ln423iB zi .ln226C zi.ln426D zi8已知，则下列正确的是（）31zi 312.2iA ze364.2iB ze7312.2iC ze63.2iD ze9积分的值为（）|342zdzz AA.B.2 C.D.8 i2 i4 i复变函数与积分变换 第 2 页 共 6 页10设 C 为正向圆周,则等于（）|4z 10()zCedzzi AA.B.C.D.110!210!i29!i29!i11以下关于级数的命题不正确的是（）A.级数是绝对收敛的B.级数是收敛的0327nni212(1)nnin nC.在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛12是函数的（）0z(1 cos)zezzA.可去奇点B.一级极点C.二级极点D.三级极点13在点 处的留数为（）1(2)z z z A.0 C.D.1B121214设 C 为正向圆周,则积分 等于（）1|zsinzce dzz AA2B2i C0 D215已知，则下列命题正确的是（）()()Ff tFA.B.2(2)()jf teFF21()(2)jef tFFC.D.(2)2(2)ftFF2()(2)jtef tFF二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）16.设，求_.121,13zi zi 12zz17.已知在复平面上可导，则_.22()()()f zbxyxi axyyab18.设函数=，则等于_.)(zf0coszttdt)(zf19.幂极数的收敛半径为_.nn2n 1(2)zn复变函数与积分变换 第 3 页 共 6 页20.设，则映射在处的旋转角为_，伸缩率为_.3z01zi 20.设函数，则的拉氏变换等于_.2()sinf ttt()f t三、计算题（本大题共 4 小题，每题 7 分，共 28 分）21设为从原点到 34i 的直线段，计算积分C()2CIxyxyi dz22.设.(1)求的解析区域，（2）求2()coszef zzzi)(zf).(zf 24已知，求一解析函数，并使。22(,)4u x yxyx()(,)(,)f zu x yiv x y(0)3f复变函数与积分变换 第 4 页 共 6 页23.将函数在点处展开为洛朗级数.1()(1)(2)f zzz0z25.计算 .2|3(1)()(4)zdzzzi z四、综合题（共 4 小题，每题 8 分，共 32 分）25.计算 201.54cosd复变函数与积分变换 第 5 页 共 6 页26.求分式线性映射，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件，()f z(2)0fi.arg(0)1f27.求函数的傅氏变换。2,10(),010,tf ttt 其它复变函数与积分变换 第 6 页 共 6 页28用拉氏变换求解方程()(),(0)1.ty ty tey其中复变函数与积分变换期末试卷答案一、选择题1B.2.C.3.A 4.D 5.B 6.D 7.A 8.C 9.B 10.D 11.B12.D 13.C 14.A 15.B二、填空题16,17.1,18.,cossin66zi3(1)zzzee 19.1,20.13(31)4i 三、计算题（本大题共 4 小题，每题 7 分，共 28 分）复变函数与积分变换 第 7 页 共 6 页21设为从原点到 23i 的直线段，计算积分C(2)CIxyixy dz解：设曲线的参数方程为C:(23)01.C zi tt 120(2)(266)(23)CIxyixy dzttt ii dt1223100(46)(23)(23)(22)|tt ii dtitt i102.i 22.设.(1)求的解析区域，（2）求2()cos4zef zzz)(zf).(zf 解：(1)由方程 得，故的解析区域为.240z2z )(zf2,2C(2)222(42)()sin.(4)zezzfzzz23.将函数在点处展开为泰勒级数.1()(1)(2)f zzz0z解：11111()(1)(2)(2)(1)(1)2(1)2f zzzzzzz 100001222nnnnnnnnnzzzz|1.z 24.将函数在圆环内展开成洛朗级数.112()(1)zef zz0|1|z 解：的泰勒展式为，故的罗朗展式为，ze0!nznzen11ze11011!nznzen复变函数与积分变换 第 8 页 共 6 页所以11222001111().(1)(1)!(1)nznnnezf zzznn z四、综合题（共 4 小题，每题 8 分，共 32 分）25已知，求一解析函数，并使。22(,)2u z yxyx()(,)(,)f zu x yiv x y(0)2fi解：由柯西黎曼方程得 所以2,vuyxy 0(,)2()2().xv x yydxC yxyC y所以2()22,vuxC yxyx0()()2.yC yC y dxCyC所以(,)22.v x yxyyC从而2()2(22).f zxyxxyyC i又所以 所以(0)2.fCii2.C 2()2(222).f zxyxxyyi26.计算 .2|2(1)(1)(3)zdzzzz解：由柯西积分定理得原式2112|1|1|2211(1)(3)(1)(3)(1)(1)zzzzzzdzdzzz 21111(1)(3)(1)(3)zzzzzz2212211.(1)(3)1616zzzz复变函数与积分变换 第 9 页 共 6 页27.求函数的傅氏变换。1,10()1,010,tf tt 其它解：0110()()i ti ti tFf t edtedtedt011011i ti tiieeeeiiii24cos.i28求函数 的拉氏变换()cos3f tt解：33000()()cos32ititstststeeF sf t edtetdtedt(3)(3)001122i s ti s tedtedt2111.2339ssisis