北京交通大学《复变函数和积分变换》期末试卷及其答案.doc

北 京 交 通 大 学
2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B）
学院_____________ 专业_________________ 班级____________
学号_______________ 姓名_____________ 任课教师
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
得分

阅卷人

一．（本题30分，其每小题各3分）
（1） 方程（t为实参数）给出的曲线是 ；
（2） 复数的指数形式是 ；
（3） 函数，z=0为 级极点，为 级极点；
（4） 计算 ；
（5） 若，则其收敛半径 ；
（6） 计算留数： ；
（7） 函数在可微的充要条件为 ；
（8） 曲线在映射下的像是 ；
（9） C为以a为圆心，r为半径的圆周，计算（n为正整数） ；
（10） 判断的敛散性 .
二、计算题（25分，每小题各5分）
(1)、计算积分其中积分路径C为：
①连接由原点到1+i的直线段；
②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i的直线段所组成的折线.
(2)、已知：求：
(3)、计算
（4）、计算，其中。

（5）计算.
三、求积分（7分）

四、求解析函数，已知 ，且. （7分）

五、验证在右半z平面内满足Laplace方程，即；其中， 并求以此为虚部的解析函数.（8分）

六、（8分）求函数分别在如下区域展成洛朗展式
（1） （2）0<<1.

七、求实轴在映射下的象曲线（8分）
八、求函数的傅立叶变换（7分）

一、(1)直线y=x
(2)
(3)一;二
(4)
(5)2
(6)
(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微
②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即.
(8)x=-y
(9)
(10发散
二、(1) ①连接原点到点1+i的直线段的参数方程为：
z=(1+i)t
故 =
=
=
②连接由原点到点1的直线段的参数方程为:
z=t ,
连接由点1到点1+i的直线段参数方程为:
z=(1-t)+(1+i)t ,
即 z=1+it ,
故 =
=
=
(2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。
将被积函数展为罗朗级数
，
后面那个分式在z=0为解析，故可展为z的幂级数：
（其中及以下各项不需关心）
于是在z=0的去心邻域内有

由此即得

故由留数定理，原积分等于i.
(3)因为在积分区域内解析，在边界连续，
故由柯西积分定理
原积分等于0。
(4)因为z=-i在积分区域内，
所以 原积分=
=
(5)在单位圆周内，函数只有一个本性奇点z=0.在该点的去心邻域内有罗朗展式

于是
故由留数定理 原积分等于.
三、函数在内有两个奇点：z=0,1.由复合闭路定理有
=

四、由C.-R.条件中的一个得

再由C.-R.条件中的另一个得

故
因此
故
要满足 f(i)=0,必C=1，故f(z)=.
五、解：

(x>0)
于是
故在右半z平面内，v(x,y)是调和函数。

=
两端对y求导

所以

故

六、由题可知被积函数在z平面内只有两个奇点z=1及z=2.
则
(1) 在去心邻域 内
=
=
(2) 在去心邻域0<<1内

=.
七、在实轴上取三点，则对应的三个象点为.由此得到象曲线为进一步还可得到，上半平面被映射到圆的内部，而下半平面被映射到圆的外部。
八、由题意知
所求函数的傅立叶变换等于

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