2024美赛论文初稿2.doc

摘要：
本文以一棵树上的叶子为研究背景，并以收集到的数据为基础，建立了叶缘曲线模型、圆柱体模型、回归方程模型来描述树叶形状并进行分类，并利用管道模型估计树叶的质量。
首先，我们将分形几何的分形插值法用于叶片模拟，建立叶缘曲线（leaf Margin curve）模型分析研究了树叶叶片的轮廓大小，模拟出较准确的叶缘曲线，适合树木的叶形，最终分析得出树叶拥有不同形状。
其次，在认为同一颗树上，叶片大小（即面积）可以近似描述叶形的假设下。我们建立了圆柱体模型，通过分析叶片面积与叶倾角、叶柄长、节间长这三个参数的关系，得出树叶分布情况会影响叶形，即树叶分布不同，树叶形状也不同。
接下来，我们通过调查研究一组植物样本的叶形指数与树形指数相关性，利用MATLAB根据回归原理，建立线性回归方程模型，发现叶形指数与树形指数有显著的负相关，即树的外形以及枝干构造会对树叶的形状有一定的关联。
最后，对于叶重的分析，我们借助树枝的直径D、树的密度ρ以及树高H三个宏观参量，并假设树体可以相当于一个单位管道的组合，建立了管道模型，估计出树叶的质量，并分析出树叶的质量和树干的直径存在一定的比例关系，即树干的直径越大，树的体积越大，树叶的质量越重。

Keywords: 分形插值法，叶缘曲线模型，回归分析，管道模型

Introduction
叶子的形状千奇百怪，如何对叶子进行分类？怎么样描述叶子以及如何估计树叶的实际重量？
The shape of the leaves varied,how to classify leaves?How to describe the actual weight of the leaves and if it is estimated the leaves?
要描述叶子形状，可以先确定是什么因素影响叶的形状，并用一个或多个参量对影响因子进行描述我们就可以获得叶子描述模型，这里主要研究树叶分布和树的轮廓这两个因素对树形的影响。
To describe the leaf shape,we can determine what factors influence the shape of the leaves.If we use one or more parameters to describe the impact factor,we can obtain the model ,which can describe the leaves.Here is mainly to study does the distribution of leaves within the “volume” of the tree and its branches effect the shape?
从经验观察可以看出，树越粗壮，枝叶越茂盛，我们大致可以推测得树的尺寸与叶重存在一定相关性，只要我们找出这样关系，我们就可以通过树的大小来估算出叶子的质量。
It can be seen from the observation,the more tree is stout ,the more lush foliage.We can speculate,the leaf mass of a tree hava a certain relationship with trunk diameter.Through the diameter of the trees to estimate the leaf mass of a tree.
符号定义：
…………………………………….仿真变换
……………………………………….纵向压缩因子
………………………………………线性分形插值函数
s…………………………………..叶片面积

l…………………………………..叶柄长度

……………………………………….叶倾角

……………………………………….节间长

r………………………………………….叶片上任意点到茎的距离

L………………………………………………the specific pipe length
………………………………………………the trunk dry weight
……………………………………………. the leaf dry weight
………………………………………………. The wood density of tree trunk
………………………………………………. the tree height
…………………………………… the height of lowest living branch

假设：
1、 茎和叶柄都是直的且没有粗细的线段。
2、 一棵树上所有叶片是相似的，树叶的形状可以近似用叶片大小（即面积）描述。
3、 树叶节之间的节间长相等。
4、 不同的叶子与茎形成的空间结构完全相同。
5、 叶柄与叶片相连处在叶片的顶端。
6、 树体可以相当于一个单位管道的组合。

模型的建立：
模型概况：
一棵树上的叶子问题可转化为对树叶进行描述以及分类的问题，并以此进行建模。
首先，针对树叶形状，我们知道所有树叶叶片的叶缘曲线都是不规则的，而叶缘曲线的不同必然导致树叶形状的不同，所以我们建立叶缘曲线模型来解释了叶子的形状的不同。
然后考虑树叶分布、枝干分布以及树的形状特征对树叶形状的影响，因为叶柄长、节点长、叶倾角的改变可以决定树叶的分布情况，也决定了树干的分布，故我们在一定理想假设条件下，采用一种圆柱体模型得出树叶和枝干的分布影响着树叶的形状，并且根据一组实际采样的样本数据，通过回归分析可得树形特征与叶形呈负相关。
关于树叶的质量，在树体相当于一个单位管道组合的假设下，我们建立一个管道模型来分析研究叶重与树的尺寸特征关系。
模型：
叶缘曲线模型：
树的叶子的形状是一个长期树种的生态和进化的历史的响应。生态系统的制约因素也可能修改成品的形式和形状的树的叶子。形式多样的叶子背后的“逻辑”的理解是促进牢牢把握的叶子必须完成的确切功能。
Actually, the shape of a tree's leaves are a response to the tree species' long term ecological and evolutionary histories. An ecosystem's limiting factors may also modify the finished form and shape of a tree's leaves. Understanding of the "logic" behind the varied forms of leaves is facilitated by a firm grasp of the precise functions a leaf must accomplish.我们通过研究发现显示树叶运作涉及三个基本方面：树叶生长需要的二氧化碳含量多少，树叶的寿命长短以及综合阳光的速度快慢——或者是光合作用率的高低。这些因素以不同方式，在不同的植物和环境中共同作用，从而创造了树叶形状及结构的多样性。但基于以上三种决定性因素之间的关系下，建立的数学模型很笼统、含糊和深奥，故我们转换一种角度来研究树叶的形状大小的不同。事实上，所有树叶叶片的叶缘曲线都是不规则的，而叶缘曲线的不同必然导致树叶形状的不同，故只有较好的模拟叶缘曲线，才能取得较高的精度去度量树叶的形状大小。由此，我们采用分形几何曲线可成功模拟树叶叶片形状，即建立一种叶缘曲线模型来解释树叶形状的不同变化，该模型主要用线性分形插值函数来描述叶缘曲线，其中分形插值函数是一类特殊的迭代函数系产生的。
给定平面上一组点集：
…………………（1）
这里
连续函数满足，则称f(x)为插值函数。
现考虑迭代函数系，其中是仿射变换：
………………（2）

参数 满足以下条件：
，，n=1,2,…,N ……….（3）

为纵向压缩因子，当分划（1）给定时，与对应的分形插值函数的复杂性密切相关。
由条件（3）通过计算可得：

……（4）

设，可以构造的一个度量，使得迭代函数系（2）成为一个双曲迭代函数系，而双曲函数迭代函数存在唯一的非空紧子集
，，
且G是某连续函数的图像，即
，且插值于节点

这样的函数f(x)就称为一个线性分形插值函数，其图像便是叶缘曲线的理论图形。根据插值函数中插值点的取值不同，则分形曲线所围成的叶片面积也不同，叶缘曲线的理论图当然会发生变化，即树叶的轮廓是不同的，即说明了树叶形状是多种多样的。

树叶分布和叶形的关系模型：
我们知道一片正常的叶子由叶片、叶柄和托叶组成，对于一片叶片，有其大小和形状，而叶柄也有其长度，并且通常是与径成一定夹角向外分散生长的。
叶柄长、节点长、叶倾角这几个参数的改变可以决定树叶的分布情况，也决定了树干的分布，所以只要建立这个几个参数和树叶形状的关系就可以解决树叶分布和树叶形状的问题，我们假设在同一颗树上，叶片大小（即面积）可以近似描述叶形，因而我们寻求建立面积s和这3个参数的关系。
为方便建立模型，先理想化叶子和茎的关系，即先理想成一片叶子上的所有点都分布在以茎为轴的用一圆柱面上，最后我们推广到实际的情况。

理想化的叶子与茎示意图 实际的叶子与茎示意图

由以上假设知，一条茎上的所有叶片都分布在以茎为轴，半径为的同一个圆柱面上。以任意相邻两片叶子的节为点做垂直于茎的截面，不难证明对于互生树木，夹在这两个截面之间的叶片面积的和恰好是一片叶片的面积s，对于对生树木则是2s。对于这个结论可以用一种简单的方式得到：例如对于互生树木，考虑很长的茎，茎上生长着n+1个连续的叶子，n很大，进而考虑第一片叶子与第n+1片叶子之间的圆柱截面部分，这部分包含的叶片面积总和应该是ns，而截面间高度是na，从而相邻两个相邻叶片节点间面积是s.

根据植物生物学中对叶序功能的解释，我们认为叶子的分布规律为：叶片间一方面要尽可能少的相互遮挡，即将叶子间相互重叠的部分最小化，另一方面要尽可能占据这个圆柱面，，以接受来自各个方向的太阳光照射，以便可以最大限度的接触到阳光。因为叶子的主要功能就是吸收阳光，进行光合作用。很显然，实际上树叶的叶片不可能完全的占据这个圆柱面，但也片在这个圆柱面上比例越大，吸收阳光的能力就越强，而当树木叶子的各个部分的结构已达到了它能达到的面积比例的最大值时，就符合最优的机构，从而一短茎上叶片的面积与相应的圆柱面比应为常数。
所以有为常数，即为常数。
令： （1）
从而有 （2）
当用r代替lcos 时，上面式子就可以化成式子
（3）
（4）

上面的理想化了叶片和茎的关系，事实上大多树木叶片生长的沿叶柄方向延展生长，叶片上不同的点到茎的距离差异很大，为此要对上面的模型进行改进，考虑到树木的叶片通常的扁平、对称的形状，有一个几何中心，我们可以将模型中的叶柄长改为从叶片的中心向茎做一条也叶柄平行的直线，并且用这条直线中叶片中心点与它茎的交点间的线段长来代替叶柄长，换句话说，上面（3）和（4）中，r不取叶柄与叶片相连处到茎的距离，而取叶片中心到茎的距离，称之为心茎距，这样，从平均意义上讲，就可以认为叶片的所有点到茎的距离都相等，如此一来，我们就建立了叶片面积和叶柄长、节间长和叶倾角这3个参数的关系。
此表达式即为树叶的叶片面积与叶柄长、节间长和叶倾角之间的关系表达式。由此可推出，树木的节间长越大，叶柄越长，叶倾角越接近0时，叶片的面积就越大。反之，树木的节间长越小，叶柄越短，叶倾角越偏偏离0时，叶片的面积就越小。
从分析中可以知道，这3个参数的改变就可以看成是树叶分布的变化，从模型表达式可以看出，只要叶柄长、节间长和叶倾角这3个参数任意一个发生变化，叶片大小都会发生变化，换句话说，树叶的叶柄长、节间长和叶倾角影响树叶的叶片面积大小，而叶倾角及叶柄长的不同又会导致树叶的分布情况会不同，节间长的大小又决定着枝干的变化，再考虑到叶片面积的大小变化间接反映树叶的形状变化，所以我们可以得出树上树叶的分布和树干的体积变化会对树叶的形状产生影响。

树的轮廓和叶形的关系模型：
首先，我们收集到一组样本数据如表1：（数据来源：网络）
编号
树形指数
叶形指数
r1
r2
1
1.23390
1.30587
1.7996
2
1.2151
1.7914
1.7872
3
1.05114
1.8325
1.8216
4
1.181
1.8258
1.8244
5
1.2118
1.668
1.66065
6
1.0657
1.83516
1.8205
7
1.3333
1.82989
1.8268
8
1.51323
1.69317
1.6796
9
1.08213
1.7883
1.7946
10
1.47647
1.85373
1.8532
表1 样本数据
注：1、树形指数=树高/冠幅，冠幅=（东西冠茎+南北冠茎）/2
2、叶形指数是10片叶平均值 r1=1/10∑r r2=∑叶长/∑叶宽

从表1看出叶形指数与树形指数有一定负相关性，编号5由于数据差别较大，不作统计，可以得到直线回归方程：

回归剩余差 ………………（1）

回归剩余差 ……………………（2）
由上面的分析可知，方程（1）要比方程（2）符合的好些。因为
所以树体的叶形指数以每叶形指数的均值为好，但每叶形指数的均r1要比r2复杂的多，当叶片较多时很不方便，而r2与树形的相关性又很强，为了便于计算，也可以应用r2.
可以看出，叶形指数与树形指数有显著的负相关，树形指数可以通过整形修剪，人为地控制，在改变着树形的同时也改变着叶形。对于群体来说，比较扁圆的叶片，不利于通风透光，使群体的光合作用降低，而较窄长的叶，遮光较轻能使内部的叶片得到更多的光照，提高单位面积的同化量。

建立pipe model求树叶质量：
First of all, the common allometric relationship for estimating trunk weight was established by using D, H and ρ shown in Equation 1:

where D stands for（trunk diameter at 30cm above the highest prop toot） in the case of common species and for dbh in the case of other species. To determine the constants a and b of Equation 1, the linear relationships between and were examined on logarithmic coordinates. The value of ρ was assumed to be constant for each species.
A common allometric relationship for leaf weight can be obtained from the simple pipe model. This model is based on the assumption that the body of the tree can be equalled to an assemblage of unit pipes. Thus, the leaf weight above horizon z, F(z), shows a proportional relationship with the trunk weight at height z, C(z):

where L is a proportional constant known as the specific pipe length. C(z) in Equation 2 can be expressed by the cross-sectional area of trunk at the height z, S(z), by using the constant relating trunk shape (c), the thickness of each horizon () and ρ.

is set as a constant value of 1 m in this study. Finally,the total leaf weight of a tree is expressed by Equation 4 taking into account the trunk diameter at the lowest living branch :

will be proportional to , if L, c, and ρ are assigned specific values for each species.
从上面模型可以看出，树叶的质量和树干的直径存在一定的比例关系。树干的直径越大，树的体积越大，树叶的质量越重。
As can be seen from the above model, the leaf mass of a tree hava a certain relationship with trunk diameter. Other words,the more tree is stout ,the more lush foliage.

模型检验

我们利用表2 13种样本叶片面积、节间长、心茎距数据（数据来源：网络），用统计方法验证模型
样本序号
几间长
心茎距
叶片面积
k
1
287 /4
86
8100
1.3127
2
102 /4
34
1500
1.7301
3
118 /4
21
900
1.4528
4
159 /4
29
1200
1.041
5
084 /4
57
1900
1.5873
6
298 /4
92
12000
1.7508
7
158 /4
32
1200
0.9494
8
126 /4
23
1400
1.9324
9
198 /4
52
4000
1.554
10
100 /4
16
500
1.25
11
096 /4
17
350
0.8578
12
220 /4
61
4700
1.4009
13
233 /4
52
4400
1.45265
表2 13种样本叶片面积、节间长、心茎距数据（单位：mm）
虽然样本叶片面积、节间长、心茎距有很大差异，但是他们的比值k却没有太大的变化，所以我们做如下处理：
将模型
两边取对数得：

我们令
则 （****）
利用matlab根据回归原理可以得到：

b0
b1
b2
估计值
0.0505
0.8061
1.2675

R=0.9783

F=111.6637
在置信水平时它们的置信区间分别为[-1.2549,1.3560][0.2746,1.3377]和 [0.8764,1.6586]，而回归方程（****）的相关系数为R=0.9783，F统计量的值为111.6637，因为R的值很大，F的值远远大于临界值,故方程（****）的回归是特别显著的，且能反映三个变量之间的相互关系，又因为的估计值也都接近于1，这个说明叶片面积与节间长、心茎距之间数量关系描述的正确的。

Conclusion and Discussion

我们分别考虑了叶形与树叶分布的关系、叶形与树形的关系、叶重与树的尺寸特征的关系，通过相应的模型分析,很好的对树叶进行了描述。并且，依据叶面面积的大小对树叶进行了一定的分类。

为研究叶形为何不同这一问题中，我们引入了分形几何学这一新兴学科，建立叶缘曲线模型，用分形曲线成功地模拟出树叶叶片形状，并依据树叶上的插值点不同，得到的叶形也不同。该方法简便、精度高且适用性很强。

Moreover，对于叶重的分析，我们巧妙地借助树枝的直径D、树的密度ρ以及树高H，并假设树体可以相当于一个单位管道的组合，建立的管道模型很好地求解出树叶的质量，并可分析出叶重与树的特征的关系。这种转换思想使得叶重的计算大大简化。
However,there are also considerable weakness in our work:
l 在研究树叶分布对叶形的影响的建模过程中，我们理想成一片叶子上的所有点都分布在以茎为轴的用一圆柱面上，这个理想化条件与实际叶片有较大出入，而用实际叶柄长度代入模型会很难反映叶片面积与叶柄长之间的相互关系，故我们对上面的模型做了稍微的改进。
l 在树形对叶形的影响分析过程中，我们只是整合了实际采样的一组样本数据，并能够过回归分析得出结论，由于数据不够充足，故没有广泛的说服力。

参考文献
Chaizhong Lin,Wang Lanzhou.(2009).Relationship of the leaves,leaf area and petiole length,internode length and leaf angle.-Journal of Biomathematics 24(2):329-334
ZhangSiyu,YangLia,Sea Tao,Xu Hui.(1995).New method of broad-leaved leaf area calculating.-Journal of August 1st Agri.College.vol.18，No.3，spet.
BenjaminBlonder,CyrilleViolle,Lisa Patrick Bentey and Brian J.Enquist.(2011).Venation nerworks and the origin of the leaf economics spectrum.-Ecology Letters,14:91-100.
Akira Komiyama，Sasitorn Poungparn，and shogo kato.(2005).Common allometric equations for estimating the tree weight of mangroves.-Journal of Tropical Ecology 21:471-477.

Key findings:
通过上面模型的建立，一方面，我们探讨了树形多样性的原因，分析了影响树形的几个因素；另一方面，我们研究了树叶质量和树的尺寸的关系，最终我们有如下几点发现：
1．树叶生长需要的二氧化碳含量多少，树叶的寿命长短以及综合阳光的速度快慢——或者是光合作用率的高低。这些因素以不同方式，在不同的植物和环境中共同作用，从而创造了树叶形状及结构的多样性。
2．树木的节间长越大，叶柄越长，叶倾角越接近0时，叶片的面积就越大。反之，树木的节间长越小，叶柄越短，叶倾角越偏偏离0时，叶片的面积就越小。
3．叶形指数与树形指数有显著的负相关，树形指数可以通过整形修剪，人为地控制，在改变着树形的同时也改变着叶形。对于群体来说，比较扁圆的叶片，不利于通风透光，使群体的光合作用降低，而较窄长的叶，遮光较轻能使内部的叶片得到更多的光照，提高单位面积的同化量。
4．树叶的质量和树干的直径存在一定的比例关系。树干的直径越大，树的体积越大，树叶的质量越重，我们可以通过测量树干直径的大小来估计树叶的质量。
As can be seen from the above model, the leaf mass of a tree hava a certain relationship with trunk diameter. Other words,the more tree is stout ,the more lush foliage.