专题9-一元二次方程及其应用.doc

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一元二次方程及其应用

一.选择题
1.（2015上海,第10题4分）如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
2．（2015·湖南省衡阳市，第8题3分）若关于的方程有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）．
A．－2 B．2 C．4 D．－3
3．（2015·湖南省衡阳市，第11题3分）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为（ ）．
A． 　　　　　B．
C． 　　　　 D．

4．（2015·湖南省益阳市，第7题5分）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　）

A．
20（1+2x）=80
B．
2×20（1+x）=80
C．
20（1+x2）=80
D．
20（1+x）2=80

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 根据第一年的销售额×（1+平均年增长率）2=第三年的销售额，列出方程即可．
解答： 解：设增长率为x，根据题意得20（1+x）2=80，
故选D．
点评： 本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=B．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．

5．(2015•湖南株洲,第8题3分)有两个一元二次方程：M：N：，其中，以下列四个结论中，错误的是 ( )
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是
【试题分析】
本题是关于一元二次方程的判别式，及根与系数的关系：
A．∵M有两个不相等的实数根
∴△＞0
即
而此时N的判别式△＝，故它也有两个不相等的实数根；
B．M的两根符号相同：即，而N的两根之积＝＞0也大于0，故N的两个根也是同号的。
C．如果5是M的一个根，则有：①，我们只需要考虑将代入N方程看是否成立，代入得：②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立。
D．比较方程M与N可得：

故可知，它们如果有根相同的根可是1或－1
答案为：D
6. （2015•四川成都,第8题3分）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）且

【答案】：D
【解析】：这是一道一元二次方程的题，首先要是一元二次，则，然后有两个不想等的实数根，则，则有，所以且，因此选择。
7. （2015•四川凉山州,第7题4分）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． 　B． 　C．且 D．且
【答案】D．
考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．

8. （2015•四川泸州,第10题3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则一次函数的大致图象可能是

考点：根的判别式；一次函数的图象．.
分析：根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
解答：解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选：B．
点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

9. （2015•四川眉山，第8题3分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（　　）

A．
（x﹣1）2=0
B．
x2+2x﹣19=0
C．
x2+4=0
D．
x2+x+l=0

考点： 根的判别式．.
分析： 根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可．
解答： 解：A、△=0，方程有两个相等的实数根；
B、△=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；
C、△=﹣16＜0，方程没有实数根；
D、△=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数根．
故选：B．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

10．（（2015•山东日照 ，第9题4分））某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（　　）
　 A． 20% B． 40% C． ﹣220% D． 30%
考点： 一元二次方程的应用．.
专题： 增长率问题．
分析： 首先设每年投资的增长率为x．根据2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，列方程求解．
解答： 解：设每年投资的增长率为x，
根据题意，得：5（1+x）2=7.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），
故每年投资的增长率为为20%．
故选：A．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．
11．（2015•四川广安，第8题3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）

A．
12
B．
9
C．
13
D．
12或9
考点：
解一元二次方程－因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．.
分析：
求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
解答：
解：x2﹣7x+10=0，
（x﹣2）（x﹣5）=0，
x﹣2=0，x﹣5=0，
x1=2，x2=5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
点评：
本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．
12. （2015山东济宁，5，3分）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为( )
A.13 　　　　 B.15 　　　　 C.18 　　　　 D.13或18
【答案】A
【解析】
试题分析：解一元二次方程可求得方程的两根为，那么根据三角形的三边关系，可知3＜第三边＜9，得到合题意的边为4，进而求得三角形周长为3+4+6=13．
故选A
考点：解一元二次方程，三角形的三边关系，三角形的周长
13．（2015•甘肃兰州,第6题，4分）一元二次方程配方后可变形为
A. B.
C. D.
【 答 案 】C
【考点解剖】本题考查的是等式的基本性质，以及乘法公式中的相关知识。
【知识准备】完全平方公式：
【解答过程】将各选项左边展开，并整理成一般式：
A：，；
B：，；
C：，；
D：，，
因此正确选项为C
【思维模式】此类题的关键在于配方
【一题多解】由于在配方过程中，需要在方程的两边加上相同的一个数；而我们在解方程过程中经常需要用到的“移项”，其实际上也是在方程两边都加上相等的东西，因此，无论方程如何变形，两边增减的“量”都是相等的，所以本题亦可采用如下方式进行：
在原方程中，取，此时，左边=－1，右边=0，
在各选择支中，如果变形是正确的话，左边应该始终比右边的值小1，在时，
A左=16，A右=17； B左=16，B右=15，则(即B被排除)；
C左=16，C右=17； D左=16，D右=15，则；
现在留下A、C两个选项，难道两个都是正确的吗？当然不是。
我们再换一个的值试试：取，那么原式左边=－8，原式右边=0，
也就是说：在同样的条件下，如果是正确的变形，那么一定是满足左边=右边－8，反之，如果不满足这一条件，那么就一定是错的。
当时，A左=25≠A右－8，所以
这里需要提醒注意的是：这样的方法只能用来排除错误，不能保证正确。
如在本题中，当时，虽然也有C左=C右－8，但不能就此判言C为正确，但因为A，B，D都已被排除，所以唯一留下的C选项必为对的。
再啰嗦一句：上面介绍的“特殊值法”，在本题中其实反而显得很笨拙，但如果换个场合，有可能是一个高效、灵活的解题方法。
【题目星级】★★

14．（2015•广东省,第8题，3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是【 】
A. B. C. D.
【答案】C.
【考点】一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式.
【分析】∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，即1＋4－9＞0，解得.
故选C.

15．（2015•甘肃兰州,第11题，4分）股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是
A. B.
C. D.
【 答 案 】B
【考点解剖】本题考查了增长率的概念和方程的基本性质
【知识准备】所谓某个量，它增长了，意味着增长部分是，那么它就由原来的，增长到了（），也就是
【思路点拔】我们可以将整个原价假设为1（如果你觉得不放心，也可以假设为或等与现有字母不冲突的任何字母），那么跌停后的价格就是0.9。
之后两天中的第一天，是在0.9的基础上增加了，那么就是到了；
接下去要注意的是：虽然第二天增长率同样为，但是起步价变了，已经不是0.9，而是前一天收市之后的，它是在的基础上增加到了倍（请注意增加和增加到的区别），因此，现在的股价是，也就是。
【解答过程】跌停后，股价为0.9，连续两天按照的增长率增长后，股价为，根据题意，得方程，那么正确选项为B。
【易错点津】首先必须要分清楚增加（或减少）的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系？其次，这个基础“1”前后是否发生了变化。
【题目星级】★★★

16．（2015•安徽省,第6题，4分）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4(1＋x)＝4.5 B．1.4(1＋2x)＝4.5
C．1.4(1＋x)2＝4.5 D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.5
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．.
专题：增长率问题．
分析：根据题意可得等量关系：2013年的快递业务量×（1+增长率）2=2015年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可
解答：
解：设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，由题意得
1.4（1+x）2=4.5，
故选：C．
点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=B．
17.（2015•山东聊城,第13题3分）一元二次方程x2﹣2x=0的解是　x1=0，x2=2　．

考点： 解一元二次方程－因式分解法．.
分析： 本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）=0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解．
解答： 解：原方程变形为：x（x﹣2）=0，
x1=0，x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2．
点评： 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
18. （2015•浙江金华，第5题3分）一元二次方程的两根为， ，则的值是【 】
A. 4 B. 4 C. 3 D. 3
【答案】D.
【考点】一元二次方程根与系数的关系.
【分析】∵一元二次方程的两根为， ，
∴.
故选D.
19. （2015•四川南充,第10题3分）关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③．其中正确结论的个数是（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个[
【答案】D
考点：一元二次方程根与系数的关系.
20. （2015•浙江滨州,第3题3分）一元二次方程的根的情况是( )
A.没有实数根 　　　　　 B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 　　　　　D.有两个不相等的实数根
【答案】C
考点：一元二次方程的根的判别式
21. （2015•浙江滨州,第5题3分）时，下列变形正确的为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
考点：配方法解一元二次方程
22．（2015•广东广州,第10题3分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
　 A． 10 B． 14 C． 10或14 D． 8或10

考点： 解一元二次方程－因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
分析： 先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
解答： 解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，
∴x2﹣8x+12=0，
解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选B．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
23．（2015•广东佛山,第9题3分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）

　 A． 7m B． 8m C． 9m D． 10m

考点： 一元二次方程的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： 本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
解答： 解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）=20，
解得：x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去）
即：原正方形的边长7m．
故选：A．
点评：本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．

24．（2015•甘肃武威,第7题3分）今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
　 A． 2500x2=3600 B． 2500（1+x）2=3600
　 C． 2500（1+x%）2=3600 D． 2500（1+x）+2500（1+x）2=3600

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 根据2013年教育经费额×（1+平均年增长率）2=2015年教育经费支出额，列出方程即可．
解答： 解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2=3500，
故选B．
点评： 本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=B．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．
25.（2015山东省德州市，7，3分）若一元二次方程x2+2x+a=0有实数解，则a的取值范围是（ ）
A.a<1 　　　 B. a≤4 　　 C.a≤1 D.a≥1
【答案】C

考点：一元二次方根的判别式
……依次顺延

二.填空题
1．(2015•江苏南昌,第11题3分)已知一元二次方程的两根为m,n ,则= .
答案：解析：由一元二次方程根与系数关系得m＋n=4,mn=﹣3，又
∴原式=.
2．(2015•江苏南京,第12题3分)已知方程的一个根是1，则它的另一个根是_____ ，m的值是 _________．
【答案】3，﹣4．
【解析】
试题分析：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，解得：m=﹣4，a=3．故答案为：3，﹣4．
考点：1．根与系数的关系；2．一元二次方程的解．

3．（2015•甘肃武威,第16题3分）关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣6 ．

考点： 根的判别式；一元一次方程的解．
分析： 由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
解答： 解：当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，
当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，
根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，
解得k≥﹣6，k≠0，
综上k≥﹣6，
故答案为k≥﹣6．
点评： 本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．

4. （2015•绵阳第17题，3分）关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2=　26　．

考点： 一元二次方程的解．.
专题： 计算题．
分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到4n﹣2n2﹣2=0，两边除以2n得n+=2，再利用完全平方公式变形得到原式=（n+）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
解答： 解：把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0，
所以n+=2，
所以原式=（n+）2﹣2
=（2）2﹣2
=26．
故答案为：26．
点评： 本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．

5. （2015•四川省内江市，第15题，5分）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+=3，则k的值是　2　．

考点： 根与系数的关系．.
分析： 找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．
解答： 解：∵3x2+2x﹣11=0的两个解分别为x1、x2，
∴x1+x2=6，x1x2=k，
+===3，
解得：k=2，
故答案为：2．
点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．

6. （2015•四川省宜宾市，第11题，3分）关于x的一元一次方程x2–x+m=0没有实数根，则m的取值范围是 .

7. （2015•四川省宜宾市，第13题，3分）某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元.设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为 .

8. （2015•浙江省台州市，第15题）.关于x的方程，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解②当时，方程有两个不等的实数解③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 （填序号）
9. （2015•四川泸州,第15题3分）设、是一元二次方程的两实数根，则的值为 .
考点：根与系数的关系．.
分析：首先根据根与系数的关系求出x1+x2=5，x1x2=﹣1，然后把x12+x22转化为x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，最后整体代值计算．
解答：解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，
∴x1+x2=5，x1x2=﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+2=27，
故答案为27．
点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．

10. （2015•四川成都,第25题4分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 .（写出所有正确说法的序号）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为.

【答案】②③
【解析】：研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记，即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
对于①， ，因此本选项错误；
对于②，，而，因此本选项正确；
对于③，显然，而，因此本选项正确；
对于④，由，知 ，由倍根方程的结论知，从而有，所以方程变为，，因此本选项错误。
综上可知，正确的选项有：②③。

11. （2015•四川凉山州,第25题5分）已知实数m，n满足，，且，则= ．
【答案】．
考点：根与系数的关系．

12.（2015•江苏徐州,第13题3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为　﹣3　．

考点： 根的判别式．.
分析： 因为方程有两个相等的实数根，则△=（﹣2）2+4k=0，解关于k的方程即可．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
即（﹣2）2﹣4×（﹣k）=12+4k=0，
解得k=﹣3．
故答案为：﹣3．
点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

13．（（2015•山东日照 ，第15题3分））如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=　2026　．
考点： 根与系数的关系．.
分析： 由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．
解答： 解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，
所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，
又n2=n+3，
则2n2﹣mn+2m+2015
=2（n+3）﹣mn+2m+2015
=2n+6﹣mn+2m+2015
=2（m+n）﹣mn+2021
=2×1﹣（﹣3）+2021
=2+3+2021
=2026．
故答案为：2026．
点评： 本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．
14．（2015·四川甘孜、阿坝，第14题4分）若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为　5　．
考点： 矩形的性质；解一元二次方程－因式分解法；勾股定理．.
分析： 首先解方程求得方程的两个根，即可求得矩形的两边长，然后利用勾股定理即可求得对角线长．
解答： 解：方程x2﹣7x+12=0，即（x﹣3）（x﹣4）=0，
则x﹣3=0，x﹣4=0，
解得：x1=3，x2=4．
则矩形ABCD的对角线长是：=5．
故答案是：5．
点评： 本题考查了一元二次方程的解法以及矩形的性质，正确解方程求得矩形的边长是关键．解一元二次方程的基本思想是降次．

15．（2015•北京市,第14题，3分）关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=______，b=______．
【考点】一元二次方程
【难度】容易
【答案】（满足b2=a，a≠0即可，答案不唯一）
【点评】本题考查一元二次方程的基本概念。

16. （2015•甘肃兰州,第16题，4分）若一元二次方程有一根为，则=________
【 答 案 】2015
【考点解剖】本题考查了方程的解的概念
【知识准备】能使方程两边的值相等的未知数的值，称为方程的解。
【解答过程】因为是方程的解，所以，
即，所以
【题目星级】★★
17. （2015呼和浩特，15，3分）若实数a、b满足(4a+4b) (4a+4b－2)－8=0，则a+b=__________.
考点分析：解一元二次方程 整体思想
详解：－ 或1
这个题目比较简单，但是道理还是不错的。设a+b=w并代入，则原式为4w（4w－2）－8=0，再一看，还可以简单一下，设4a+4b=m=4（a+b）并代入，则原式为m（m－2）－8=0，易解得m=4或m=－2。下面自己算了。
18．(2015·贵州六盘水，第13题4分)已知x1＝3是关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根x2是 m（m-n）2[来源:*~中国教育出版网@^%]
．
考点：根与系数的关系．.
分析：根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．
解答：解：设方程的另一个根是x2，则：
3+x2=4，
解得x=1，
故另一个根是1．
故答案为1．
点评：本题考查的是一元二次方程的解，根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．

19． (2015·黑龙江绥化，第15题 分)若关于x的一元二次方程ax+2x－1=0无解 ，则a的取值范围是____________．
考点：根的判别式；一元二次方程的定义．．
分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且△=22﹣4×a×（﹣1）＜0，然后求出a的取值范围．
解答：解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，
∴a≠0且△=22﹣4×a×（﹣1）＜0，
解得a＜﹣1，
∴a的取值范围是a＜﹣1．
故答案为：a＜﹣1．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

20.（2015湖南岳阳第12题4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=　　．

考点： 根的判别式．.
分析： 根据题意可得△=0，据此求解即可．
解答： 解：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=9﹣4m=0，
解得：m=．
故答案为：．
点评： 本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．
21.（2015•山东莱芜,第15题4分）某公司在年的盈利额为万元，预计年的盈利额将达到万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在年的盈利额为________万元．
【答案】220
【解析】
试题分析：根据题意可设每年比上一年盈利额增长的百分率为x，所以有，解得（舍去），所以该公司在2010年的盈利额为万元.
考点：一元二次方程的应用（增长率问题）
22.（2015湖南邵阳第16题3分）关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m=　﹣1　．

考点： 根的判别式．.
分析： 根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．
解答： 解：∵关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴22﹣4×1×（﹣m）=0，
解得m=﹣1．
故答案为；﹣1．
点评： 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．

23.（2015湖北荆州第14题3分）若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　0　．
考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解．
专题： 计算题．
分析： 由题意m为已知方程的解，把x=m代入方程求出m2+m的值，利用根与系数的关系求出m+n的值，原式变形后代入计算即可求出值．
解答： 解：∵m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，
∴m+n=﹣1，m2+m=1，
则原式=（m2+m）+（m+n）=1﹣1=0，
故答案为：0
点评： 此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
24.（2015•福建泉州第12题4分）方程x2=2的解是　±　．
解：x2=2，
x=±．
故答案为±．

三.解答题
1．（2015湖北鄂州第20题8分）
关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根.
（1）（4分）求实数k的取值范围．
（2）（4分）若方程两实根满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．
【答案】（1）k﹥；（2）2.

考点：1.根的判别式；2.根与系数的关系．
2.（2015湖北荆州第24题12分）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；
（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．
考点： 抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征．
分析： （1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；
（2）通过解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2，结合图象回答问题．
（3）根据题意得到kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．
解答： （1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根，
②当k≠0时，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：令y=0，则kx2+（2k+1）x+2=0，
解关于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴k=1．
∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2，
．
由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣3．
（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，
则，
解得或．
所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．
点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．

3. （2015•四川南充,第20题8分）（8分）已知关于x的一元二次方程，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
【答案】略；P=0、2、－2.
【解析】
考点：一元二次方程根的判别式.
4. （2015•四川南充,第25题10分）已知抛物线与x轴交于点A（m－2，0）和B（2m＋1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1．
（1）求抛物线解析式．
（2）直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M（x1，y1），N(x2，y2)（x1＜x2），当 最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标．
（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L．若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．

【答案】y=－+2x+3；当最小时，抛物线与直线的交点为M(－1,0)，N(1,4)；当线段OB向左平移，即点O平移到O′(－，0)，点B平移到B′(，0)时，周长L最短为：++3.
【解析】
试题分析：根据对称轴求出b的值，然后根据交点得出方程的解，然后利用一元二次方程的韦