高中三角函数常见题型与解法(2).doc

教育杏坛：
三角函数的题型和方法
一、思想方法
1、三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。
2、证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4、解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

二、注意事项
对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：
1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思维与常用方法。
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如
．也要注意题目中所给的各角之间的关系。
注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。

熟悉常数“1”的各种三角代换：
等。
注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁。
熟悉公式的各种变形及公式的范围，如
sin α = tan α · cos α ，，等。
利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如，，等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化。
3、几个重要的三角变换：
sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；
1±sin α 可化为，再用升次公式；
（其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握。
4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．
5、三角函数的图像的掌握体现在：把握图像的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图。
6、三角函数的奇偶性结论：
① 函数y = sin (x＋φ)是奇函数。
② 函数y = sin (x＋φ)是偶函数。
③ 函数y =cos (x＋φ)是奇函数。
④ 函数y = cos (x＋φ)是偶函数。
7、三角函数的单调性

三、典型例题与方法
题型一 三角函数的概念及同角关系式
此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取。
1、三角函数的六边形法则。
2、几个常用关系式：
（1），三式知一求二。
（2）。
（3）当时，有。
3、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）。
4、。
5、熟记关系式；。

【例1】记,那么（ ）
A、 B、﹣ C、 D、﹣
解：,
。故选B
评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用。同时熟练掌握三角函数在各象限的符号。
【例2】（ ）
A、 B、- C、 D、
解：
评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识。

练习：
1、sin585°的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下列关系式中正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、若，则 ．
4、 “”是“”的（ ）
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
5、
A、 B、2 C、 D、

题型二 化简求值
这类题主要考查三角函数的变换。解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值。
【例3】已知为第三象限的角，,则 。
解： 为第三象限的角 <<
<2<()
又<0, ,

.
评注：本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。是一道综合性较强的题目。

【例4】已知，求（1）；（2）的值。
解：（1）；
(2)

评注：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

练习：
1、已知，则
A、 B、 C、 D、
2、函数最小值是（ ）
A、-1 B、 C、 D、1
3、 “”是“”的（ ）
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

题型三 函数 的图像及其性质
图像变换是三角函数的考察的重要内容，解决此类问题的关键是理解A、的意义，特别是的判定，以及伸缩变换对的影响。
【例5】为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A、向左平移个长度单位 B、向右平移个长度单位
C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位
解：=，
=，
将的图像向右平移个长度单位得到的图像，
故选B.
评注：本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数中的对函数图像变化的影响是历年考生的易错点，也是考试的重点。
【例6】设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）
A、 B、 C、 D、3
解：将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为
=2k, 即
又 ， k≥1
故≥， 所以选C
评注：本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对三角函数图像知识灵活掌握的程度。
【例7】函数的最小正周期为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由可得最小正周期为,
【例8】函数的最小值是_____________________ 。
【答案】
【解析】，所以最小值为：
【例9】若函数，，则的最大值为（ ）
A、1 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】因为==
当是，函数取得最大值为2。 故选B。

练习：
1、将函数的图像向左平移0 ＜2的单位后，得到函数的图像，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、、
2、若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位,所得图像的函数解析式是( )
A、 B、 C、 D、
4、已知函数的最小正周期为，的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像（ ）
A、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度
C、向左平移个单位长度 D、向右平移个单位长度
6、已知是实数，则函数的图像不可能是 ( )

7、已知函数=Acos()的图象如图所示，，则=（ ）
A、 B、 C、－ D、

8、函数（为常数，）在闭区间上的图像如图所示，则 = .

9、已知函数y=sin（x+）（>0, -<）的图像如图所示，则 =________________

10、已知函数的图像如图所示，则 。

11、已知函数的图像如图所示，则 ＝

12、已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
13、如果函数的图像关于点中心对称，那么 的最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、
14、已知函数，下面结论错误的是（ ）
A、函数的最小正周期为
B、函数在区间上是增函数
C、函数的图像关于直线＝0对称
D、函数是奇函数
15、若，则函数的最大值为 。
16、已知函数
（1）求函数的最小正周期。
（2）求函数的最大值及取最大值时x的集合。
17、已知函数，其图像过点。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值。
18、设函数。
（1）求函数的最大值和最小正周期。
（2）。
19、设函数。
（1）求的最小正周期。
（2）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值。
20、设函数的最小正周期为。
（1）求的最小正周期。
（2）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间。
21、已知函数的定义域为，值域为 [ －5，1 ]，求常数a、b的值。
22、已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）。
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

题型四 三角函数与解三角形
此类题主要考查在三角形中三角函数的利用. 解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。
【例10】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（ ）
A、 B、 C、 D、
解：由正弦定理得
所以cosA==，所以A=300
评注：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。
【例11】在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=________。
解：

=
评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。

练习：
1、在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 。
2、在中，。
（Ⅰ）求AB的值。（Ⅱ）求的值。
3、在中，角所对的边分别为，且满足， 。
（I）求的面积； （II）若，求的值．
4、在中，角的对边分别为，。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积．
5、在中，为锐角，角所对的边分别为，且
（I）求的值；（II）若，求的值。
6、设函数在处取最小值。
(1)求的值；
(2)在ABC中，分别是角A,B,C的对边,已知，求角C。
7、设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为，，，求B。

题型五 三角函数与平面向量
【例13】平面直角坐标系有点。
（1）求向量和的夹角的余弦用表示的函数；
（2）求的最值。
解：（1），

即
（2） ， 又 ，
， ， 。
说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。

【例14】已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且A为锐角。
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数的值域。
解：（Ⅰ） 由题意得
由A为锐角得
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知
所以
因为x∈R，所以，因此，当时，f(x)有最大值。
当时，有最小值-3,所以所求函数的值域是。

练习：
1、设向量。
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值；
（3）若，求证：∥。
2、已知向量
（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若求的值。
3、已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，。
（1） 若//，求证：ΔABC为等腰三角形；
（2） 若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积。

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