高中立体几何证明方法及例题.doc

（一）平行与垂直关系的论证

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。

1. 线线、线面、面面平行关系的转化：

2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

3. 平行与垂直关系的转化：

4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”
5. 唯一性结论：

1. 三类角的定义：
（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°
（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°

2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”
即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；
（3）指出所求作的角； （4）计算大小。
【典型例题】
（一）与角有关的问题
例1. （1）如图，E、F分别为三棱锥P—ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（ ）

A. 60° B. 45° C. 30° D. 120°
解：取AC中点G，连结EG、FG，则

∴∠EGF为AB与PC所成的角
在△EGF中，由余弦定理，

∴AB与PC所成的角为180°－120°＝60°
∴选A

（2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）

解：

∴选A

①点P到平面QEF的距离为定值；
②直线PQ与平面PEF所成的角为定值；
③二面角P—EF—Q的大小为定值；
④三棱锥P—QEF的体积为定值
其中正确命题的序号是___________。

解：

∴①对，②错

值，∴③对

综上，①③④正确。

例2. 图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：
（1）求MN和PQ所成角的大小；
（2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；
（3）求二面角M—NQ—P的大小。

解：（1）如图②，作出MN、PQ

∵PQ∥NC，又△MNC为正三角形
∴∠MNC＝60°
∴PQ与MN成角为60°

即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为1：6
（3）连结MA交PQ于O点，则MO⊥PQ
又NP⊥面PAQM，∴NP⊥MO，则MO⊥面PNQ
过O作OE⊥NQ，连结ME，则ME⊥NQ
∴∠MEO为二面角M—NQ—P的平面角
在Rt△NMQ中，ME·NQ＝MN·MQ
设正方体的棱长为a

∴∠MEO＝60°
即二面角M—NQ—P的大小为60°。

例3. 如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。
（1）求点P到平面ABCD的距离；
（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。

解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB（根据___________）
∵PA＝PD，∴OA＝OD
于是OB平分AD，点E为AD中点
∴PE⊥AD
∴∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角
∴∠PEB＝120°，∠PEO＝60°

即为P点到面ABCD的距离。
（2）由已知ABCD为菱形，及△PAD为边长为2的正三角形
∴PA＝AB＝2，又易证PB⊥BC
故取PB中点G，PC中点F
则AG⊥PB，GF∥BC
又BC⊥PB，∴GF⊥PB
∴∠AGF为面APB与面CPB所成的平面角
∵GF∥BC∥AD，∴∠AGF＝π－∠GAE
连结GE，易证AE⊥平面POB

（2）解法2：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA

（二）与距离有关的问题
例4. （1）已知在△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离是（ ）
A. 13 B. 11 C. 9 D. 7
解：设点P在△ABC所在平面上的射影为O

∵PA＝PB＝PC，∴O为△ABC的外心
△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°

长度为___________。

解：（采用展开图的方法）

点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。

（3）在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140°与西经130°，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是（ ）

解：
（O1为小圆圆心）

∴△AOB为正三角形（O为球心）

∴选D

例5. 如图，四棱锥P—ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD中点。
（1）求证：AF∥平面PEC；

距离。

解：G为PC中点，连结FG、EG
又∵F为PD中点

∴四边形AEGF为平行四边形

∴AF∥平面PEC
（2）∵CD⊥AD，又PA⊥面ABCD
∴AD为PD在面ABCD上射影
∴CD⊥PD
∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，且∠PDA＝45°
则△PAD为等腰直角三角形
∴AF⊥PD，又CD⊥平面PAD
∴CD⊥AF
∴AF⊥面PCD
作FH⊥PC于H，则AF⊥FH
又EG∥AF，∴EG⊥FH
∴FH⊥面PEC，∴FH为F到面PEC的距离
在Rt△PEG中，FH·PG＝PF·FG

方法2：（体积法）
∵AF∥面PEC，故只要求点A到面PEC的距离d

易证AF⊥面PCD，∴EG⊥面PCD
∴EG⊥PC

（三）对命题条件的探索
例6. （1）如图已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件E点有两个时，a的取值范围是（ ）

解：∵PA⊥面ABCD，PE⊥DE
由三垂线定理的逆定理知PE的射影AE⊥BE
所以满足条件的点E是以AD为直径的圆与BC的交点，要有两个交点，则
AD＞2AB＝6
∴选A

（2）如图，在三棱柱ABC－A'B'C'中，点E、F、H、K分别为AC'、CB'、A'B、B'C'的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B'中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（ ）

A. K B. H C. G D. B
分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”。
而平面PEF中，EF为定直线，连BC'则F为BC'中点

考虑到若P为K点，则还有AA'、BB'、CC'都平行于FK
即它们也都平行于平面PEF，不合题意。
同理P也不能为H点，若P为B'点时，EF与B'A'共面也不符合题意（这时只有一条棱平行于平面PEF），可见只能取G点。
故选C

例7.
置；若不存在，说明理由。

置；

解：（1）（用反证法）

∴不存在点P满足题目条件
（2）过B作BH⊥AP于H，连CH

即∠BHC是二面角C—AP—B的平面角

∴∠BAH＝30°

下面求Q点的位置。

（四）对命题结论的探索
例8.
并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是（ ）

分析：从条件AP⊥BD1出发，可知AP必在过A点且与BD1垂直的平面B1AC上
∴点P必在B1C上
∴选A

（2）如图，斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（ ）

A. 直线AB上 B. 直线BC上
C. 直线CA上 D. △ABC内部
解：连结AC1
∵AC⊥AB，又AC⊥BC1
∴AC⊥面ABC1

则C在面ABC上的射影必在交线AB上
∴选A

例9. 在四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1。
（1）求证：平面CBD⊥平面ABD；
（2）是否存在这样的四面体，使二面角C—AD—B的平面角为30°？如果存在，求出CD的长；如果不存在，请找出一个角θ，使得存在这样的四面体，使二面角C—AD—B的平面角为θ。

解：（1）∵AB⊥BC，AB⊥BD

∴面ABD⊥面CBD

（2）设CD＝x，在面CBD内作CE⊥BD于E
由（1）知平面ABD⊥面BCD，且BD为交线
∴CE⊥平面ABD
作EF⊥AD于F，连结CF，则CF⊥AD
∴∠CFE为“二面角”C—AD—B的平面角，且∠CFE＝30°
又在Rt△BCD中，CE·BD＝CB·CD

又∵CD⊥BC，又BC为AC在面BCD上射影
∴CD⊥AC
则在Rt△ACD中，CF·AD＝AC·CD

故不存在这样的四面体，使二面角C—AD—B的平面角为30°

故θ可以取45°～90°之间的任意角。
点评：本题是一道存在性的探索问题。常常假定结论成立，再判断它与已知条件是否符合。

【模拟试题】
一. 选择题。
1. PA、PB、PC是从P引出的三条射线，两两成60°，则PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
2. 在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B—AC—D的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
3. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面上一点到三个侧面的距离分别是2，3，6，则这个点到三棱锥顶点的距离是（ ）
A. B. C. 7 D.
4. 已知A、B、C是球面上的三点，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，球 心O到平面ABC的距离为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5. △ABC边上的高线为AD，，且，将△ABC沿AD折成大小为θ的二面角B—AD—C，若，则三棱锥A—BCD的侧面△ABC是（ ）

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 形状与a，b的值有关的三角形
6. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体的下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面积）超过39，则该塔中正方体的个数至少是（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

二. 填空题。
7. 如图，在三棱锥P—ABC中，，且，则PA与底面ABC所成角的大小为___________。

8. 如图，矩形ABCD中，，沿AC把△DAC折起，当四面体的体积最大时，直线AD与平面ABG所成角的正弦值是___________。

9. 如图，正方体棱长为1，M、N分别为中点，则点C到截面MNDB的距离是___________。

三. 解答题。
10. 如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于，将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M，求：
（1）二面角的大小；
（2）异面直线与所成角的大小。（用反三角函数表示）

11. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF＝1，M是线段EF的中点。
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求二面角A—DF—B的大小；
（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°。

11. 解：（1）记AC与BD交于点O，连结OE

∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形
∴四边形AOEM是平行四边形
∴AM∥OE，平面BDE，平面BED
∴AM∥平面BDE
（2）∵AB⊥AF，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADF，作AS⊥DF于S，连BS
由三垂线定理，得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角
在Rt△ASB中，

∴二面角A—DF—B的大小为60°
（3）设，作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，
∴PQ⊥面ABF
∴PQ⊥QF
在Rt△PQF中，∠FPQ＝60°，PF＝2PQ
∵△PAQ为等腰直角三角形

又△PAF为直角三角形

或（舍）
即点P是AC的中点
【试题答案】
一. 选择题。
1. C 2. A 3. C 4. C 5. C
6. C
提示：假设有n个正方体构成，其表面积由二部分组成：
（1）俯视图、表面只有一个正方形，其边长为2。
（2）侧面则由4n个正方形构成，且各层（从下往上看）正方形面积构成一个首项为4，公比为的等比数列。
∴表面积

∴n的最小值为6
二. 填空题。
7.
提示：由题意，P点在面ABC上的射影H是△ABC外心，，∴H为BC中点）
8.
9.
提示：，即

三. 解答题。
10. （1）连结AM，

∵△ABC为正三角形，M为BC边中点
∴A、G、M三点共线，AM⊥BC

即
是二面角的平面角
∵点在平面上的射影为M

在中，由得
即二面角的大小是60°
（2）过作交BC于P，则为异面直线与所成的角
由是平行四边形得：

于M

在中，
在中，
在中，由余弦定理

∴异面直线与所成的角为
11. 解：（1）记AC与BD交于点O，连结OE

∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形
∴四边形AOEM是平行四边形
∴AM∥OE，平面BDE，平面BED
∴AM∥平面BDE
（2）∵AB⊥AF，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADF，作AS⊥DF于S，连BS
由三垂线定理，得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角
在Rt△ASB中，

∴二面角A—DF—B的大小为60°
（3）设，作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，
∴PQ⊥面ABF
∴PQ⊥QF
在Rt△PQF中，∠FPQ＝60°，PF＝2PQ
∵△PAQ为等腰直角三角形

又△PAF为直角三角形

或（舍）
即点P是AC的中点

【励志故事】
机会的意义
一个人在海上遇难，漂流到了一个小岛上，他建了个小木房，还储存了一些食物在里面。每天他想尽办法寻找生机，一大早就要登上高处张望。可一个星期过去了，一只木船的影子也没看见。
这天，他正在岸边张望，突然狂风大作，雷电轰鸣。一回头，他看见自己的木棚方向升起浓烟，他急忙跑回去，原来雷电点燃了他的木房，大火熊熊燃烧起来，他真希望能赶快下一场雨浇灭这场火，因为他所有的食物都在里面！可是，火渐渐地把棚子烧成了灰烬，天却渐渐地转晴了，一滴雨也没下。
他绝望了，认为这是上帝的惩罚。他心灰意冷地到一棵树上结束了自己的生命。
就在他停止呼吸后不久，一艘船开了过来，人们来到岛上，船长一看见灰烬和吊在树上的尸体就明白了一切，他说；“他没有想到失火后冒出的浓烟把我们的船引到这里，他只要再坚持一会儿就会获救的。”
机会常常在最意想不到的时刻到来，对于我们来说，不仅要有创造机会的能力，还要有等待机会的勇气，就像在漫漫长夜等待黎明，太阳总是在最黑暗的时刻后升起。