【学案】矩形的判定-(3).doc

19.1.2 矩形的判定
学习目标：
1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达.
2. 能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算.
【课前预习案】
一、旧知回顾
1、想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.

平行四边形
矩形
边
对边平行且相等
对边平行且相等
角
对角相等，邻角互补
四个角都是直角
对角线
对角线互相平分
对角线相等且互相平分
2、矩形是轴对称图形，它有 条对称轴。
3、平行四边形的判定有哪些？分别从边、角、对角线几个方面考虑。
【课内合作探究案】
A类探究点
问题1：回顾矩形的定义和性质
答案：（1）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形的性质：
角：矩形的四个角都是直角
对角线：矩形对角线相等
问题2：仿照平行四边形的判定猜想，你能猜出矩形的判定有哪些吗？
答案：1、定义可以作为判定
2、 四个角都是直角的四边形
3、对角线相等的平行四边形或对角线互相平分且相等四边形
关于2和3你能写出证明过程吗
四个角都是直角的四边形
如图，在四边形ABCD中，因为,
所以AB∥CD,AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
有三个角是直角的四边形是矩形吗？说明理由。
答案：是。有三个角是直角说明第四个角也是直角，根据上面探究的结论即可确定这个四边形为矩形。
归纳总结：三（四）个角都是直角的四边形是矩形

B类探究点
对角线相等的平行四边形是矩形
问题：你能将上述命题转
化为符号语言吗？并写出证明过程。
答案：能。已知：如图，在□ ABCD中，若AC=DB，则□ ABCD是矩形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，又∵AC=DB,
BC=CB, ∴△ABC≌△DCB, ∴∠ABC=∠DCB.又∵AB∥DC ,
∴∠ABC+∠DCB=，∴∠ABC=，∴□ ABCD是矩形.
问题：对角线相等的四边形一定是矩形吗？如果不一定，对角线还需要满足什么条件？
答案：不一定是，还需要满足对角线互相平分，即对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
归纳总结：矩形的判定方法有：（1）定义法.（2）三个角都是直角的四边形是矩形.（3）对角线相等的平行四边形是矩形，或对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
例4. 如图,O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点,E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.
求证:四边形EFGH是矩形.

分析： 根据已知条件，我们可以先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明对角线EG和FH相等，即可得证。
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形
∴AC=BD （矩形的对角线相等）
AO=BO=CO=DO （矩形的对角线互相平分）
∵AE=BF =CG=DH,
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵EO+OG=OF+OH,
即EG=FH,
∴四边形EFGH是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
归纳总结 ：
1.知识网络
矩形的判定
角：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）四个角都是直角的四边形是矩形
对角线：
（1）对角线相等的平行四边形是矩形
（2）对角线相等且互相平分的四边形是矩形
2.思想方法：本节主要学习了矩形几种判定方法，在使用各种判定方法时，一定要注意看清楚给出的是平行四边形还是四边形。主要数学思想：类比，转化思想。

【训练案】
A类训练题
1.下列说法正确的是（ ）
A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C.对角线互相平分的四边形是矩形
D.对角互补的平行四边形是矩形
2. 满足下列条件（ ）的四边形是矩形
A.有三个角相等 B.有一个角是直角
C.对角线相等且互相垂直 D.对角线相等且互相平分
3. 矩形各角平分线围成的四边形是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
4.下列判定矩形的说法是否正确
（1）有一个角是直角的四边形是矩形 （ ）
（2）四个角都是直角的四边形是矩形 （ ）
（3）四个角都相等的四边形是矩形 （ ）
（4）对角线相等的四边形是矩形 （ ）
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形 （ ）
（6）对角线相等且互相平分的四边形是矩形 （ ）

B类训练题
1.已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形吗？说明理由。
答案：四边形ACBE是矩形.因为CD是Rt△ACB斜边上的中线，
所以DA=DC=DB,又因为DE=CD，所以DA=DC=DB=DE,所以四边形ABCD是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）。

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