2011泛函期末试题(A).doc

数学与计算机学院数学与应用数学2009级本科《泛函分析》2011-2012学年第2学期期末试题A卷

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课程考核试卷
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考试时间：120分钟 考试方式：闭卷
（提示：答案必须依试题顺序做在答题册上，并标明大、小题号，否则不予计分）

一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 设是赋范线性空间，，是到中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.
A． B.
C. D.
2. 设是线性空间，，实数称为的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.
A. B.
C. D.
3．下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）.
A．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列
C．基本点列是有界点列 D. 收敛点列是有界点列
4. 设是复内积空间则下列哪个式子不成立（ ）.
A． B. 为复数
C. D. 为复数
5. 设是度量空间到度量空间上的连续影射，则下列说法哪个不成立（ ）.
A． 中的邻域的原像是中的邻域
续影的连续影 B.
C. D.
二、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分）
1．度量空间中的收敛点列是有界点集 （ ）
2．度量空间中的柯西点列是收敛点列. （ ）
3. 任何空间中压缩映射都有唯一的不动点. （ ）
4. 内积空间是一种特殊的赋范线性空间. （ ）
5. 强收敛一定弱收敛，但弱收敛不一定强收敛. （ ）
三、填空题（每小题4分，共20分）
1． 称为Banach空间.
2．设是内积空间，，如果 ，则称与相互正交或垂直.
3. 用极限来描述连续映射：设度量空间到中的映射，那么在连续的充要条件为
.
4.设是赋范线性空间，是上的线性泛函，表示的零空间，那么是上的连续线性泛函的充要条件是是中的 .
5.设是内积空间，，请写出Schwarz不等式 .
四、证明题（每小题10分，共50分）
1．证明：设是实内积空间，，有下式成立：
.
2．设是内积空间中点列，若，且对一切有
，证明：.
3．证明：设是赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，则为有界线性算子的充要条件为
是上连续线性算子.
4. 设为一组实数，适合条件，其中当时为1，否则为0.证明：代数方程组有

对任何一组固定的必有唯一解
5.设是一列Banach空间，是一列元素，其中,
并且，这种元素列全体记成，类似通常数列的加法和数乘，在中引入线性运算.若令

证明：当时，是Banch空间.
本试卷需：答题纸 5 页、草稿纸 2 页　　　试卷审核时间： 　 年 月 日
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