1、数学与计算机学院数学与应用数学2009级本科泛函分析2011-2012学年第2学期期末试题A卷装 订 线系（院）： 专业： 姓名 ： 学号：课程考核试卷装 订 线系（院）： 专业： 姓名 ： 学号： 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷（提示：答案必须依试题顺序做在答题册上，并标明大、小题号，否则不予计分）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设是赋范线性空间，是到中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A B. C. D. 2. 设是线性空间，实数称为的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A.B. C. D. 3下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）.A收敛点列的极限
2、是唯一的 B. 基本点列是收敛点列C基本点列是有界点列 D. 收敛点列是有界点列4. 设是复内积空间则下列哪个式子不成立（ ）.A B. 为复数 C. D. 为复数5. 设是度量空间到度量空间上的连续影射，则下列说法哪个不成立（ ）.A 中的邻域的原像是中的邻域续影的连续影 B. C. D. 二、判断题（正确的打“”，错误的打“”，每小题3分，共15分）1度量空间中的收敛点列是有界点集 （ ） 2度量空间中的柯西点列是收敛点列. （ ）3. 任何空间中压缩映射都有唯一的不动点. （ ）4. 内积空间是一种特殊的赋范线性空间. （ ）5. 强收敛一定弱收敛，但弱收敛不一定强收敛. （ ）三、填空
3、题（每小题4分，共20分）1 称为Banach空间. 2设是内积空间，如果 ，则称与相互正交或垂直.3. 用极限来描述连续映射：设度量空间到中的映射，那么在连续的充要条件为 . 4.设是赋范线性空间，是上的线性泛函，表示的零空间，那么是上的连续线性泛函的充要条件是是中的 .5.设是内积空间，请写出Schwarz不等式 .四、证明题（每小题10分，共50分） 1证明：设是实内积空间，有下式成立：.2设是内积空间中点列，若，且对一切有，证明：.3证明：设是赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，则为有界线性算子的充要条件为是上连续线性算子.4. 设为一组实数，适合条件，其中当时为1，否则为0.证明：代数方程组有对任何一组固定的必有唯一解5.设是一列Banach空间，是一列元素，其中,并且，这种元素列全体记成，类似通常数列的加法和数乘，在中引入线性运算.若令证明：当时，是Banch空间.本试卷需：答题纸 5 页、草稿纸 2 页试卷审核时间： 年 月 日 第 1 页 共 2 页
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