湖南省衡阳市第八中学2年高中部理科实验班第二次自主招生考试数学试题Word版含答案.doc

2016年衡阳市第八中学高中部自主招生考试试题（二）
数学（试题卷）
注意事项：
1.本场考试时间为150分钟，总分为120分。
2.考生在答题前请检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，若有请立即向监考老师通报。答案请填写在答题卡上，写在试题卷上无效。
3.本张试卷为2016年衡阳八中理科实验班第二次自主招生考试试卷。

一．选择题（共5题，每题6分，共30分）
1．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（　　）
　A．669 B． 670 C．671 D．672
2．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于（　　）
　A．12 B．16 C．4 D．8
3．如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、3a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=6．则k的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D． ﹣6

4．如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（　　）
A． B．4 C D．

5．一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（　　）
　A． B． C． D．
二．填空题（共5题，每题6分，共30分）
6．如图（甲），水平地面上有一面积为30πcm2的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6cm，且与地面垂直、若在没有滑动的情况下，将图（甲）的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图（乙）所示，则点O移动的距离　　　　　　cm．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为　　　　　　（结果保留根号）．

8．正方形ABCD的边长为a，BC、CD的中点分别是E、F，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是　　　　　　．

9．如图，直线y=﹣x与双曲线（只在第一象限内的部分）在同一直角坐标系内．
现有一个半径为1且圆心P在双曲线上的一个动圆⊙P，⊙P在运动过程中圆上的点与直线y=﹣x的最近距离为　　　　　　．

10．如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E，F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°．设OE=x，AF=y，则y与x的函数关系式为　　　　　　．
三．解答题（共4题，每题15分，共60分）
11．某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动．
活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．
所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：
甲：△AEF的边AE=　　　　　　cm，EF=　　　　　　cm；
乙：△FDM的周长为16cm；
丙：EG=BF．
你的任务：
（1）填充甲同学所得结果中的数据；（2分）
（2）写出在乙同学所得结果的求解过程；（3分）
（3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：
①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；（5分）
②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？（5分）

12．图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）．
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．（4分）
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
请问：经过多少时间，△PQR与△ABC重叠部分的面积恰好等于？（5分）
（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设
∠AC C′=α（30°＜α＜90，图4）；
探究：在图4中，线段C′N•E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N•E′M的值，如果有变化，请你说明理由．（6分）

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（3分）
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；（5分）
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．（7分）
①当t＞时，连接C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②当线段A′C′与射线BB′，有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．

试题图

备用图1

备用图2

14．如图（1），分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上）交y轴于另一点Q，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，B点坐标为（2，2）．
（1）求抛物线的函数解析式和点E的坐标；（3分）
（2）求证：ME是⊙P的切线；（5分）
（3）如图（2），点R从正方形CDEF的顶点E出发以1个单位/秒的速度向点F运动，同时点S从点Q出发沿y轴以5个单位/秒的速度向上运动，连接RS，设运动时间为t秒（0＜t＜1），在运动过程中，正方形CDEF在直线RS下方部分的面积是否变化？若不变，说明理由并求出其值；若变化，请说明理由；（7分）

2016年衡阳八中高中部第二次
自主招生考试（理科实验班）数学参考答案
选择题
1-5.BBADB
填空题
6.　10π　
7.
8.a2
9.1
10.y=﹣x2+x
解答题
11.（1）AE=3cm，EF=5cm；
设AE=x，则EF=8﹣x，AF=4，∠A=90°，42+x2=（8﹣x）2，x=3，
∴AE=3cm，EF=5cm；

（2）如答图1，∵∠MFE=90°，
∴∠DFM+∠AFE=90°，
又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，
∴△AEF∽△DFM，
∴，
又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5
∴，，，，
∴△FMD的周长=4++=16；

（3）①乙的结果不会发生变化
理由：如答图2，设AF=x，EF=8﹣AE，
x2+AE2=（8﹣AE）2，
∴AE=4﹣，
同上述方法可得△AEF∽△DFM，C△AEF=x+8，FD=8﹣x，
则，=16
②丙同学的结论还成立．
证明：如答图2，
∵B、F关于GE对称，
∴BF⊥EG于P，
过G作GK⊥AB于K，
∴∠FBE=∠KGE，
在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，
∴△AFB≌△KEG，
∴BF=EG．
由上述可知AE=4﹣，△AFB≌△KEG，
∴AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=4﹣+x，
S=×8=0.5×8（AE+AK）
=4×（4﹣+4﹣+x）=
S=，（0＜x＜8）
当x=4，即F与AD的中点重合时S最大，S最大=40．

12.
（1）BE=AD
证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CE=CD，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD；（也可用旋转方法证明BE=AD）

（2）设经过x秒重叠部分的面积是，
如图在△CQT中，
∵∠TCQ=30°，∠RQP=60°，
∴∠QTC=30°，
∴∠QTC=∠TCQ，
∴QT=QC=x，
∴RT=3﹣x，
∵∠RTS+∠R=90°，
∴∠RST=90°，
由已知得×32﹣（3﹣x）2=，
∴x1=1，x2=5，
∵0≤x≤3，
∴x=1，
答：经过1秒重叠部分的面积是；

（3）C′N•E′M的值不变．
证明：∵∠ACB=60°，
∴∠MCE′+∠NCC′=120°，
∵∠CNC′+∠NCC′=120°，
∴∠MCE′=∠CNC′，
∵∠E′=∠C′，
∴△E′MC∽△C′CN，
∴，
∴C′N•E′M=C′C•E′C=×=．

13.
（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．

（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，
∴GE=2．
当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，
若△DEG与△ACB相似，则或，
∴或，
∴t=或t=；
当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，
若△DEG与△ACB相似，则或，
∴或，
解得t=或t=；
综上所述，当t=或或或时，△DEG与△ACB相似．

（3）①由轴对称的性质变换得：AA′⊥DH，CC′⊥DH，则AA′∥CC′；
易知OC≠AH，故AA′≠CC′，
∴四边形ACC′A′是梯形；
∵∠A=∠A，∠AHD=∠ACB=90°，
∴△AHD∽△ACB，
∴==，
∴AH=3t，DH=4t．
∵sin∠ADH=sin∠CDO，
∴，即=，
∴CO=3t﹣．
∴AA′=2AH=6t，CC′=2CO=6t﹣．
∵OD=CD•cos∠CDO=（5t﹣3）×=4t﹣，
∴OH=DH﹣OD=．
∴S=（AA′+CC′）•OH=（6t+6t﹣）×=t﹣；
②≤t≤；
当A′落在射线BB′上时（如图甲），AA′=AB=5，
∴6t=5，∴t=；
当点C′落在射线BB′上时（如图乙），易知CC′∥AB；
故四边形ACC′B为平行四边形，

∴CC′=AB=5，
∴6t﹣=5，t=．
故≤t≤．

14.
（1）解：B点坐标为（2，2），四边形OABC是正方形，
∴点A（0，2），C（2，0），
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A、C，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2；
根据垂径定理，AB的垂直平分线与x轴的交点为圆心P，即P（1，0），
如图，连接PE、PA，则PE2=PA2=OA2+OP2=22+12=5，
设正方形CDEF的边长为a，
则PF=a+1，
在Rt△PEF中，PE2=PF2+EF2，
即5=（a+1）2+a2，
整理得，a2+a﹣2=0，
解得a1=1，a2=﹣2（舍去），
∴OF=OC+CF=2+1=3，
∴点E的坐标为（3，1）；

（2）证明：令y=0，则x2﹣x+2=0，
整理得，x2﹣6x+8=0，
解得x1=2，x2=4，
∴点G的坐标为（4，0），
∴点M是FG的中点，
∴点M（3.5，0），
∴FM=3.5﹣3=0.5，
PM=3.5﹣1=2.5，
在Rt△EFM中，EM2=EF2+FM2=12+0.52=，
∴PE2+EM2=5+=，
∵PM2=2.52=，
∴PE2+EM2=PM2，
∴△PEM是直角三角形，且PE⊥EM，
∴ME是⊙P的切线；

（3）解：不变，面积为．
理由如下：∵圆心P在x轴上，点A的坐标为（0，2），
∴点Q的坐标为（0，﹣2），
∵点R的速度为1个单位/秒，点S的速度为5个单位/秒，
∴点R（3，1﹣t），S（0，5t﹣2），
设直线RS的解析式为y=mx+n，
则，
解得，
所以，直线RS的解析式为y=（﹣2t+1）x+5t﹣2，
当x=2时，y=（﹣2t+1）×2+5t﹣2=﹣4t+2+5t﹣2=t，
又∵RF=1﹣t，
∴正方形CDEF在直线RS下方部分的面积=[t+（1﹣t）]×1=，与t无关，是定值，
即正方形CDEF在直线RS下方部分的面积不变，为．