奥数六年级竞赛计数问题.教师版word.doc

第 8讲

计数㈠

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教学目标

“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．
　　⑴能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．
　　⑵运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．
　　⑶理解和运用概率性质进行概率的运算．

专题回顾

【例 1】 若有、、、、五个人排队，要求和两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？
【分析】 题目要求和两个人必须排在一起，首先将和两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“，”、、、“四个人”进行排列，有种排法．又因为捆绑在一起的、两人也要排序，有种排法．根据分步乘法原理，总的排法有种．

【例 2】 一条马路上有编号为、、……、的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？
【分析】 若直接解答须分类讨论，情况较复杂．故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种方法（请您想想为什么不是），因此所有不同的关灯方法有种.

［拓展］若有、、、、五个人排队，要求和两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？
［分析］ 题目要求和两个人必须隔开．首先将、、三个人排列，有种排法；若排成，则、、“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：，此时可将、两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法．由乘法原理，共有排队方法：．

【例 3】 现有个完全相同的球全部分给个班级，每班至少个球，问共有多少种不同的分法?
【分析】 将个相同的球排成一行，个球之间出现了个空档，现在我们用“档板”把个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是个、个、个、个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法．
由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在个空档之中插入个“档板”（个
档板可把球分为组），其方法种数为．

【例 4】 ⑴已知方程，求这个方程的正整数解的个数．
⑵已知方程，求这个方程的非负整数解的个数．
【分析】 ⑴将分成个，列出来：在这个数中间的个空中插入个板子，将分成部分，每一部分对应“”的个数，按顺序排成；；；即是正整数解．故正整数解的个数为．
⑵将问题转化为求方程的正整数个数，显然原方程的解法与转化后的方程的解可以一一对应，新方程的每一组解的值减去，即可得到原方程的一组解，反过来，原方程的任意一个解的值加一，也可对应新方程的解对应所以该方程的非负整数解有个．

专题精讲

在抛掷一枚硬币时，究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时，就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的一半左右．这里的“大量重复”是指多少次呢?
历史上不少统计学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的试验，随着试验次数的增加，出现正面的频率波动越来越小，频率在这个定值附近摆动的性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的表现，恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，就是抛掷硬币时出现正面的概率．这就是概率统计定义的思想，这一思想也给出了在实际问题中估算概率的近似值的方法，当试验次数足够大时，可将频率作为概率的近似值．
概率的古典定义：
如果一个试验满足两条：
　⑴试验只有有限个基本结果；
　⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．
这样的试验，称为古典试验．
对于古典试验中的事件，它的概率定义为：
，表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，表示事件包含的试验基本结果数．小学奥数中，所涉及的问题都属于古典概率．其中的和需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．

概率的意义

【例 1】 一个骰子六个面上的数字分别为，，，，，，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.
【分析】 掷的总点数在至之间时，再掷一次，总点数才有可能超过（至多是）．当总点数是时，再掷一次，总点数是的可能性比总点数超过的可能性大．当总点数在至之间时，再掷一次，总点数是的可能性不比总点数是，，，的可能性小．
例如，总点数是时，再掷一次，出现的可能性相同，所以总点数是的可能性相同，即总数是的可能性不比总数点数分别是，，的可能性小，综上所述，总点数是的可能性最大．

［前铺］在某个池塘中随机捕捞条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞
　　　　尾，发现其中有条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那
　　　　么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？
［分析］ 尾鱼中有条鱼被标记过，所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为，
所以池塘中的鱼被标记的概率可一看作是，池塘中鱼的数量约为尾．

［前铺］一个小方木块的六个面上分别写有数字、、、、、，小光、小亮两人随意往周面上扔　放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得分．当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得分．每人扔次，______得分高的可能性比较大．
［分析］ 因为、、、、、中奇数有个，偶数只有个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大．

计数求概率

互斥事件：
互斥事件也叫互不相容事件．也可表述为不可能都发生的事件.
公式的含义为：如果事件和为互斥事件（互不相容事件）,那么或（之一）发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之和．
如果事件、为互斥事件，且事件、发生机会均等，那么.
如果某事件所有可能发生的情况、、、互斥，且机会均等，那么
.
其中的种情况发生的概率为．

举例：⑴明天正午的天气是阴天与明天正午的天气是雨天是两个互斥事件，所以明天正午天气为阴雨的概率等于明天正午的天气是阴天概率与明天正午的天气是雨天概率之和．
⑵抛一枚硬币掉下来后是正面向上与抛一枚硬币掉下来后是反面向上是两个互斥事件，所以抛一枚硬币掉下来后是正面或是反面向上的概率等与抛一枚硬币掉下来后是正面向上的概率与抛一枚硬币掉下来后反面向上的概率之和，即．
　　　⑶掷出的骰（tóu）子数字、、、、、向上情况互斥且机会均等，所以每种情况发生的概率为.

【例 2】 （2008年奥数网杯）一块电子手表，显示时与分，使用小时计时制，例如中午点和半夜点都显示为．如果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是______．
【分析】 一天当中，手表上显示的时刻一共有种．
其中冒号之前不出现的情况有2、3、4、5、6、7、8、9八种，
冒号之后不出现的情况有种，
所以不出现的情况有种．
所以至少看到一个数字“1”的情况有种，
所以至少看到一个数字“1”的情况有种．

【例 3】 如图个点分布成边长为厘米的方阵（相邻点与点之间的距离为厘米），在这个点中任取个点，则这三个点构成三角形的概率为多少？这三个点构成面积为平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为平方厘米的概率为多少？构成面积为平方厘米的概率为多少？

【分析】 从个点中任取个点一共有种情况．
三个点共线一共有种情况．
　　　　所以三个点能够成三角形的概率为．
　　　　个点中能构成面积为的三角形一共有种情况．
　　　　所以三个点能够成面积为平方厘米的三角形的概率为．
　　　　个点中能够成面积为平方厘米的三角形的情况有种情况．
　　　　所以三个点能够成面积为平方厘米的三角形的概率为．
　　　　个点中能够成面积为平方厘米的三角形的情况有种情况．
　　　　所以三个点能够成面积为平方厘米的三角形的概率为．
　　　　个点中能够成面积为平方厘米的三角形的情况有种情况．
　　　　所以三个点能够成面积为平方厘米的三角形的概率为．

【例 4】 奥苏旺大陆上流行一种牌戏，类似于我们世界的“扑克牌”，但他们的牌只有张，不同的牌有不同的点数或花色，一共有这个点数，以及◎、☆、◇三种花色.玩家从一幅牌中抽出张牌，求：⑴抽到“顺子”（三张牌点数连续）的概率，⑵抽到“同花”（三张牌花色相同）的概率，⑶抽到“同花顺”（三张牌点数连续，花色相同）的概率．
【分析】 张牌中抽取张有种方法．
顺子一共有种，即、、、
对于每一种顺子，又有种，所以抽取到顺子的概率有．
同花有三种花色，每一种同花有种，所以抽取到同花的概率有．
　　　　同花顺有种，所以抽取到同花顺的概率为．

【例 5】 甲、乙两个学生各从这个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的差不超过的概率，⑵两个数字的差不超过的概率．
【分析】 ⑴两个数相同（差为0）的情况有种，
两个数差为有种，
两个数的差为的情况有种，
所以两个数的差不超过的概率有．
⑵两个数的差为的情况有种．
两个数的差为的情况有种．
两个数的差为的情况有种．
所以两个数字的差超过的概率有.
两个数字的差不超过的概率有.

【例 6】 甲、乙、丙、丁四人互相传球，由甲开始第一次传球，每个人接到球后，都随机从其他人中选择一个人将球传出，那么第四次传球恰好传回甲手里的概率是多少？
【分析】 对每一个接到球的人来说，下一次传球的方向有种可能，
所以四次传球的总路线有种可能，每一种之间都是互斥的等概率事件.
而恰好传回到甲的情况，以第一步为为例有如下种情况：

所以第次传回甲的概率为．

【例 7】 如图为、两地之间的道路图，其中⊙表示加油站，小王驾车每行驶到出现两条通往目的地方向道路的路口时（所有路口都是三叉的，即每到一个路口都只有一条或两条路通往目的地），都用抛硬币的方式随机选择路线，求：⑴小王驾车从到，经过加油站的概率．⑵小王驾车从到，经过加油站的概率．

【分析】 运用标数法，标数规则（性质）：
⑴从起点开始标“１”．
⑵以后都将数标在线上，对于每一个节点，起点方向的节点相连线路上所标数之和与和目标方向节点相连线路上标数之和相等．
⑶对于每一个节点，目标方向的各个线路上标数相等．
　　　　如图：从到经过加油站的概率为；

　　　　如图：从到经过加油站的概率为；

概率运算

相互独立事件：
事件是否发生对事件发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．

公式含义：如果事件和为独立事件，那么和都发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之积．

举例： ⑴明天是否晴天与明天晚餐是否有煎鸡蛋相互没有影响，因此两个事件为相互独立事件.所以明天天晴，并且晚餐有煎鸡蛋的概率等于明天天晴的概率乘以明天晚餐有煎鸡蛋的概率.
⑵第一次抛硬币掉下来是正面向上与第二次抛硬币是正面向上是两个相互独立事件．所以第一次、第二次抛硬币掉下来后都是正面向上的概率等于两次分别抛硬币掉下来后是正面向上的概率之和，即.
　　　　⑶掷骰子，骰子是否掉在桌上和骰子的某个数字向上是两个相互独立的事件，如果骰子掉在桌上的概率为，那么骰子掉在桌上且数字“”向上的概率为．

【例 8】 某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为，如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少?
【分析】 ⑴全部射中靶心的概率为．
⑵第一箭射中，其他两箭射空的概率为．
　第二箭射中，其他两箭射空的概率为．
　第三箭射中，其他两箭射空的概率为．
　　　　　有一箭射中的概率为.
　　　　⑶第一箭射中，其他两箭射中的概率为．
　　　　　第二箭射中，其他两箭射中的概率为．
第三箭射中，其他两箭射中的概率为．
有两箭射中的概率为.

【例 9】 小刚爬楼梯掷骰子来确定自己下一步所跨台阶步数，如果点数小于，那么跨个台阶，如果不小于，那么跨出个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出个台阶的概率为多少？
［分析］ 小明每跨出一步，有的概率跨个台阶，有的概率跨个台阶，
对于步跨台阶的每一种情况，例如，发生的可能性有，
所以步跨台阶发生的总概率为．

［铺垫］小明爬楼梯时以抛硬币来确定下一步跨个台阶还是个台阶，如果是正，那么跨个台阶，　
　　　　如果是反，那么跨出个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出个台阶的概率为多少？
［分析］ 小明跨出步的所有情况有种情况，其中恰好跨出个台阶的情况有：
、、、、、六种，
所以概率为．

【例10】 、、、、、六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？
【分析】 抽中的概率为，没抽到的概率为，
如果没抽中，那么有的概率抽中，如果抽中，那么抽中的概率为，所以抽中的概率为.
同理，抽中的概率为，抽中的概率为，抽中的概率为，抽中的概率为.
由此可见六人抽中的概率相等，与抽签的先后顺序无关.

［拓展］如果每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概率为
　　　　多少？
［分析］ 抽中的概率依次为：、、、、、，
在这种情况下先抽者，抽中的概率大．

【例11】 甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物，事情是这样的：墙上挂着两串礼物（如图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止．甲第一个取得礼物，然后，乙、丙、丁、戊依次取得第件到第件礼物，当然取法各种各样，那么共有＿＿＿＿种不同的取法．事后他们打开这些礼物仔细比较，发现礼物最精美，那么取得礼物可能性最大的是＿＿＿＿，可能性最小的是＿＿＿＿．

【分析】 本题需要注意的隐含条件：对于每个人，如果摆在面前的有两串礼物，那么该人选择其中一串的概率为，如果摆在面前的只有一串礼物，那么该人选择那一串．
　　　　第一件取的有种取法,
第一件取的有种取法．
所以有不同的取法种．
观察这种取法的树状图可知，甲和戊不可能取得，所以取得可能性最小的是甲和戊，
乙、丙、丁谁的可能性大不能看谁的取法较多，因为每种取法实现的可能性不同.
法一：计算枚举出的每一种取拿方法的所有概率（各种取拿方法流程之间是互斥事件）：
第一件取有种方法：
第一件取有种方法：
乙取得的可能性是；
丙取得的可能性是；
丁取得的可能性占．
所以取得可能性最大的是丁．
法二：计算流程各个阶段，事件发生情况：（每个人选择哪一串在是否取完一串的条件已知的
　　　　情况下与后一个人选择哪一串相互独立）.
乙取得的可能性是；
丙取得的可能性是；
丁取得的可能性占．
所以取得可能性最大的是丁．

巩固精练

1． 从小红家门口的车站到学校，有路、路两种公共汽车可乘，它们都是每隔分中开来一辆．小红到车站后，只要看见路或路，马上就上车，据有人观察发现：总有路车过去以后分钟就来路车，而路车过去以后分钟才来路车．小红乘坐______路车的可能性较大．
【分析】 首先某一时刻开来路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示：
分钟
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
车号
1
9
9
9
1
1
1
1
1
1
1
9
9
9
1
1
1
1
1
显然由上表可知每分钟乘坐路车的几率均为，乘坐路车的几率均为，因此小红乘坐 路车的可能性较大．

2． 某人有5把钥匙，一把房门钥匙，但是忘记是哪把，于是逐把试，问恰好第三把打开门的概率？
【分析】 从把钥匙中排列出前三把，一共有种，
从把钥匙中将正确的钥匙排在第三把，并排出前二把一共有种，
所以第三把钥匙打开门的概率为．

3． 一张圆桌旁有四个座位，、、、四人随机坐到四个座位上，求与不相邻而坐的概率．
【分析】 四人入座的不同情况有种．
、相邻的不同情况，首先固定的座位，有种，安排的座位有种，安排、的座位有种，一共有种．
所以、不相邻而座的概率为．

4． 如图为甲、乙两地之间的道路图，晓峰从甲地步行前往乙地，晓峰步行的方向始终为向北或向东，如果行走某个路口，出现有向北和向东的两条道路，晓峰就用抛硬币的方式随机选择路线，问晓峰最有可能通过、、中的哪一条道路从西城走到东城？

【分析】 运用标数法，将晓峰通过的每一条路的概率标在道路上，如图：
由标数可得晓峰通过的概率为，通过和的概率为.

5． 设每门高射炮击中敌机的概率为,今欲以的把握击中敌机,则至少应配备几门高射炮同时射击？
【分析】 如果只配一门高射炮，那么未击中的概率为，
配备两门高射炮那么未击中的概率为，
如果配备三门高射炮，那么未击中的概率为，
如果配备四门高射炮，那么未击中的概率为，
如果配备五门高射炮，那么未击中的概率为，
如果配备六门高射炮，那么未击中的概率为．
所以至少配备门高射炮，同时射击．

埋在树下的金币

从前，在一个偏僻的村庄里，住着一个穷人，他只有很小的一块田地．有一年，他的收成很不好．最后，只剩下一小袋种子了．当那块地到了可以耕种的时候，天刚一亮，他就从床上爬起来，来到田里开始播种．
他十分小心，生怕遗失了一粒种子．到了正午时分，太阳猛烈地灼烤着他，他感到很疲乏，便停下来在树旁休息．当他坐下的时候，一把种子从袋子里撒出来，掉到了树干下的一个树洞里．虽然只是一点儿种子，但这个贫苦的人还是想：“种子本来就很少，对我来说，每一粒种子都是宝贵的，丢失了都是损失．”
想到这里，他就拿着铲子，开始挖这株树的树根，天气很热，汗水沿着他的背和眉毛滴下来，但他还是不停地挖．当他终于挖到种子时，他发现它们掉在了一个被埋着的盒子上面．而那个盒子却装着黄金．
从此以后，这个穷人成了一个富有的人，人们对他说：“你真是世界上最幸运的人．”
他笑着说：“不错，我是很幸运，但是这些都源于我辛勤劳作和对种子的珍惜．”
只有付出才会有收获．幸运总是会垂青那些踏实肯干的人，那些不畏困难、辛勤工作的人往往能够超越平庸，获得丰厚的回报．而那些只会白白羡慕别人运气好的人则注定了只能一无所有．

自备餐盒
——减少白色污染

环境浪潮使生产一次性产品的行业正在走下坡路，很多国家在开发生产可降解塑料，使其在使用过后能够在自然界中化解；有的国家已淘汰使用塑料，而用特种纸包装代替．很多国家提倡包装物的重复使用和再生处理．丹麦、德国规定，装饮料的玻璃瓶使用后经过消毒处理可多次重复使用，瑞典一家最大的乳制品厂推出一种可以重复使用75次的玻璃奶瓶；一些发达国家把制造木杆笔视为“夕阳工业”，开始生产自动铅笔．
自备餐具就餐不但能减少木林消耗还能减少白色垃圾的产生，更可避免一次性餐具制作过程中添加的有毒物质对使用者的伤害．拒绝使用一次性餐具，自己带上餐具打包食品都能在日常生活中体现我们的环保意识，只是多带上一样东西，就可以对环境的保护做出一大步贡献．

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