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高等数学上册
第一章 函数与极限
(一) 函数
1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);
2、 反函数、复合函数、函数的运算;
3、 初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数;
4、 函数的连续性与间断点;
函数在连续
第一类:左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点
第二类:左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点
5、 闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
(二) 极限
1、 定义
1) 数列极限
2) 函数极限
左极限: 右极限:
2、 极限存在准则
1) 夹逼准则:
1)
2)
2) 单调有界准则:单调有界数列必有极限。
3、 无穷小(大)量
1) 定义:若则称为无穷小量;若则称为无穷大量。
2) 无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小
Th1 ;
Th2 (无穷小代换)
4、 求极限的方法
1) 单调有界准则;
2) 夹逼准则;
3) 极限运算准则及函数连续性;
4) 两个重要极限:
a) b)
5) 无穷小代换:()
a)
b)
c) ()
d) ()
e)
第二章 导数与微分
(一) 导数
1、 定义:
左导数:
右导数:
函数在点可导
2、 几何意义:为曲线在点处的切线的斜率。
3、 可导与连续的关系:
4、 求导的方法
1) 导数定义;
2) 基本公式;
3) 四则运算;
4) 复合函数求导(链式法则);
5) 隐函数求导数;
6) 参数方程求导;
7) 对数求导法。
5、 高阶导数
1) 定义:
2) Leibniz公式:
(二) 微分
1) 定义:,其中与无关。
2) 可微与可导的关系:可微可导,且
第三章 微分中值定理与导数的应用
(一) 中值定理
1、 Rolle定理:若函数满足:
1); 2); 3);
则.
2、 Lagrange中值定理:若函数满足:
1); 2);
则.
3、 Cauchy中值定理:若函数满足:
1); 2);3)
则
(二) 洛必达法则
(三) Taylor公式
阶Taylor公式:
在与之间.
当时,成为阶麦克劳林公式:
在与之间.
常见函数的麦克劳林公式:
1)
在与之间,;
2)
在与之间,;
3)
在与之间,;
4)
在与之间,
5)
,
在与之间,.
(四) 单调性及极值
1、 单调性判别法:,,则若,则单调增加;则若,则单调减少。
2、 极值及其判定定理:
a) 必要条件:在可导,若为的极值点,则.
b) 第一充分条件:在的邻域内可导,且,则①若当时,,当时,,则为极大值点;②若当时,,当时,,则为极小值点;③若在的两侧不变号,则不是极值点。
c) 第二充分条件:在处二阶可导,且,,则
①若,则为极大值点;②若,则为极小值点。
3、 凹凸性及其判断,拐点
1)在区间I上连续,若,则称在区间I 上的图形是凹的;若,则称在区间I 上的图形是凸的。
2)判定定理:在上连续,在上有一阶、二阶导数,则
a) 若,则在上的图形是凹的;
b) 若,则在上的图形是凸的。
3)拐点:设在区间I上连续,是的内点,如果曲线经过点时,曲线的凹凸性改变了,则称点为曲线的拐点。
(五) 不等式证明
1、 利用微分中值定理;
2、 利用函数单调性;
3、 利用极值(最值)。
(六) 方程根的讨论
1、 连续函数的介值定理;
2、 Rolle定理;
3、 函数的单调性;
4、 极值、最值;
5、 凹凸性。
(七) 渐近线
1、 铅直渐近线:,则为一条铅直渐近线;
2、 水平渐近线:,则为一条水平渐近线;
3、 斜渐近线:存在,则为一条斜
渐近线。
(八) 图形描绘
步骤 :
1. 确定函数的定义域,并考察其对称性及周期性;
2. 求并求出及为零和不存在的点;
3. 列表判别函数的增减及曲线的凹向 , 求出极值和拐点;
4. 求渐近线;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
第四章 不定积分
(一) 概念和性质
1、 原函数:在区间I上,若函数可导,且,则称为的一个原函数。
2、 不定积分:在区间I上,函数的带有任意常数的原函数称为在区间I上的不定积分。
3、 基本积分表(P188,13个公式);
4、 性质(线性性)。
(二) 换元积分法
1、 第一类换元法(凑微分):
2、 第二类换元法(变量代换):
(三) 分部积分法:
(四) 有理函数积分
1、“拆”;
2、变量代换(三角代换、倒代换等)。
第五章 定积分
(一) 概念与性质:
1、 定义:
2、 性质:(7条)
性质7 (积分中值定理) 函数在区间上连续,则,使 (平均值:)
(二) 微积分基本公式(N—L公式)
1、 变上限积分:设,则
推广:
2、 N—L公式:若为的一个原函数,则
(三) 换元法和分部积分
1、 换元法:
2、 分部积分法:
(四) 反常积分
1、 无穷积分:
2、 瑕积分:
(a为瑕点)
(b为瑕点)
两个重要的反常积分:
1)
2)
第六章 定积分的应用
(一) 平面图形的面积
1、 直角坐标:
2、 极坐标:
(二) 体积
1、 旋转体体积:
a)曲边梯形轴,绕轴旋转而成的旋转体的体积:
b)曲边梯形轴,绕轴旋转而成的旋转体的体积: (柱壳法)
2、 平行截面面积已知的立体:
(三) 弧长
1、 直角坐标:
2、 参数方程:
3、 极坐标:
第七章 微分方程
(一) 概念
1、 微分方程:表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程。
阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
2、 解:使微分方程成为恒等式的函数。
通解:方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同。
特解:确定了通解中的任意常数后得到的解。
(二) 变量可分离的方程
,两边积分
(三) 齐次型方程
,设,则;
或,设,则
(四) 一阶线性微分方程
用常数变易法或用公式:
(五) 可降阶的高阶微分方程
1、,两边积分次;
2、(不显含有),令,则;
3、(不显含有),令,则
(六) 线性微分方程解的结构
1、是齐次线性方程的解,则也是;
2、是齐次线性方程的线性无关的特解,则是方程的通解;
3、为非齐次方程的通解,其中为对应齐次方程的线性无关的解,非齐次方程的特解。
(七) 常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程:
特征方程:,特征根:
特征根
通 解
实根
(八) 常系数非齐次线性微分方程
1、
设特解,其中
2、
设特解,
其中 ,
.
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