六年级奥数工程问题(教师版).docx

工程问题
一：基本类型 
工程问题中的某项工程一般不给出具体的数量，首先，在解题时关键要把“一项工程”看作单位“1”，工作效率就用完成单位“1”所需的工作时间的倒数来表示；其次，在解答时要抓住三个基本数量：工作效率、工作时间和工作总量，并结合有关工程问题的三个基本数量关系式来列式解答。 
模型一：工作效率（和）×工作时间=工作总量
模型二：工作总量÷工作效率（和）=工作时间 
模型三：工作总量÷工作时间=工作效率（和） 
（一）先合作，后独作 
例1、一条公路，甲队独修需24天完成，乙队独修需30天完成。甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成，乙队修了多少天？（A） 
设乙x天 （1/24+1/30）x+1/24*6=1 x=10

例2、修一条公路，甲队单独修20天可以修完，乙队单独修30天可以修完。现两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完。乙队休息了几天？（B级） 

（二）丙先帮甲，再帮乙 
例3、搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲搬运了几小时？（B级）

（三）甲乙合作，中途有人休息 
例4、一项工程，如果单独做，甲需10天完成，乙需15天完成，丙需20天完成。现在三人合作，中途甲先休息1天，乙再休息3天，而丙一直工作到完工为止。这样一共用了几天时间？（B级）

（四）独做化合做 
例5、甲乙合做一项工程，24天完成。如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工程的1/5，两队单独做完成任务各需多少天？（B级）

（五）合做变独做 
例6、一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成全工程的一半。已知甲、乙工作效率的比是2：3。如果由乙单独做，需要多少天才能完成？（B） 

三：综合类型 
1、加工一批零件，甲独做需3天完成，乙独做需4天完成 ，两人同时加工，完成任务时，甲比乙多做24个，这批零件共有多少个？

2、一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？ 
分析：设这项工程为1个单位，则甲、乙合作的工作效率是1/12，乙丙合作的工作效率为1/15，甲丙合作的工作效率为1/20。
因此甲乙丙三队合作的工作效率的两倍为1/12＋1/15＋1/20，
甲乙丙三队合作的工作效率为（1/12＋1/15＋1/20）÷2＝1/10。因此三队合作完成这项工程的时间为1÷1/10＝10（天）。 
答：1÷[（1/12＋1/15＋1/20）÷2] ＝1÷[1/5÷2] ＝1÷1/10 ＝10（天） 

3、 师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务。师傅先做5天后，因事外出，由徒弟来接着做3天，共完成任务的7/10。如果每人单独做这批零件各需几天？ 

分析：设这批零件为单位“1”。其中6天完成任务，用1/6表示师徒的工作效率的和。要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工作效率，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天，理解成两人先合作3天，然后师傅做2天。 
答：师傅的工作效率是（7/10－3×1/6）÷（5－3）＝1/10 
徒弟的工作效率是1/6－1/10＝1/15 、
所以师傅单独作需要1÷1/10＝10天 
徒弟单独做需要1÷1/15＝15天。 

4、一项工程，甲单独做12天可以完成．如果甲单独做3天，余下工作由乙去做，乙再用6天可以做完．问若甲单独做6天，余下工作乙要做几天？ 
答：甲单独做3天完成3/12=1/4，余下工程的1-1/4=3/4  
得乙的工效是（3/4）/6=1/8  
若甲单独做6天，则完成1/2，余下工程的1/2  
则乙要做（1/2）/（1/8）=4天  

5、一条水渠，甲乙两队合挖30天完工．现在合挖12天后，剩下的由乙队挖，又用24天挖完．这条水渠由乙单独挖，需要多少天？
答：由题意可知，甲乙两队的工效是1/30，合挖12天，完成2/5，
  剩下3/5，乙队用24天完成，得乙队工效是（3/5）/24=1/40， 
则乙队单独挖需要40天  

6、一项工程，甲乙两队合作6天完成5/6。已知单独做，甲完成1/3与乙完成1/2的时间相等。问单独做，甲乙各需要多少天？ 
解：由甲完成1/3与乙完成1/2的时间相等，可知当甲完成2 份 时，乙完成了3份， 
由甲乙两队合作6天完成5/6，得甲乙两队合作一天完成5/36， 
则甲完成2/36=1/18，甲单独做需要18天； 
则乙完成3/36=1/12，乙单独做需要12天。  

7、一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？ 
解：若由乙单独做共需几小时： 6×3＋12＝30（小时）． 
甲做3小时后乙接着做还需几小时： 30－3×3＝21（小时） 
另解：若由甲单独做需几小时： 8＋6÷3＝10（小时）． 
甲先做3小时后乙接着做还需几小时：
（10－3）× 3＝21（小时）． 

8、 筑路队预计30天修一条公路．先由18人修12天只完成全部工程的1/3，如果想提前6天完工，还需增加多少人？

分析：由18人修12天完成了全部工程的1/3，可通过18×12求出用一天完成1/3工作量共需要的总人数，也可以通过18×12求出用1人完成1/3工作量需要的总天数。所以由1/3÷（18×12）求出1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工作效率）。 
解：①一人一天完成全部工程的几分之几（即一人的工作效率）：
  1/3÷（18×12）＝1/648 
②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人： 
（1－1/3）÷[1/648×（30－12－6）] =2/3÷12/648 ＝36（人） 
③需要增加几人： 36－18＝18（人）  

9、一件工作，甲5小时先完成了1/4，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？ 
分析 这道题是工程问题与分数应用题的复合题．解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单位“1”（总工作量）的几分之几？ 
解：甲工作效率：1/4÷5＝1/20 
乙工作效率：（1－1/4）×1/2÷6＝1/16 
余下的任务：（1－1/4）×（1－1/2）＝3/8 
需要的时间：3/8÷（1/20＋1/16）＝10/3小时。 

10、有一项工程，甲、乙两队合作6天能完成5/6，已知单独做，甲完成1/3与乙完成1/2所需要的时间相等。问单独做甲、乙各需多少天？ 
答： 根据“甲完成1／3与乙完成1／2所需要的时间相等”可以得出，甲、乙的工效比为：  1／3：1／2＝2：3 
因此，两队合作6天时，甲队完成了：（5／6）＊2／5＝1／3，乙队完成1／2； 
 甲队每天完成：（1／3）／6＝1／18，完成全部工程需要18天； 
 乙队每天完成：（1／2）／6＝1／12，完成全部工程需要12天。 

11、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做15小时完成，若先由甲、丙合做5小时，然后由甲、乙合做，问还需几天完成？ 
答：甲、丙合做5小时完成工作量：（1／20＋1／15）＊5＝7／12；  
甲、乙合做的工作量：1－7／12＝5／12 
甲、乙合做的时间：（5／12）／（1／20＋1／12）＝25／8天。

12、小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能做一个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟。现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要多少分钟？ 

解：由题意知，包括休息时间，小李每4分钟做3个，小张每5.5分钟做4个。 所以每44分钟，小李做33个，小张做32个。二人共做33＋32＝65个。
由300÷65＝4...40推知，经过4个44分钟还剩下40个零件未完成。 
这40个零件二人合做仍需要28分钟。所以共需44×4＋28＝204分钟。

13、师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？ 
分析： 
师傅加工一个零件用5分钟，每分钟加工1/5个零件；徒弟加工一个零件用9分钟，每分钟加工1/9个零件。师徒两人工作效率的比是1/5：1/9，由于两人的工作时间一定，根据工作量/工作效率＝工作时间（一定），工作量与工作时间成正比例。 
解法1： 
设师傅加工x个，徒弟加工（168－x）个。 x：（168－x）＝1/5：1/9 x：（168－x）＝9：5 5x＝168×9－9x， 
      14x＝168×9，       x＝108． 
 168－x＝168－108＝60（个）．   
解法2： 
由于师徒工作效率的比是1/5：1/9，那么他们工作量的比也是1/5：1/9，因此师傅工作量是徒弟工作量的1/5÷1/9＝9/5倍，徒弟的工作量是1。 徒弟加工的个数： 168÷（1/5÷1/9＋1） ＝168÷14/5 ＝60个  
师傅加工的个数：60×（1/5÷1/9）＝108个 
解法3： 
师傅每分钟加工1/5个，徒弟每分钟加工1/9个，用相遇问题思考方法可求出两人各用多少分钟，然后用师徒每分钟做的零件个数乘540就是各自加工的个数。 共用的时间：168÷（1/5＋1/9）＝540（分） 师傅加工的个数：540×1/5＝108（个） 
徒弟加工的个数：540×1/9＝60（个）

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