2016学年高二人教版数学选修1-1练习：2章末小结-Word版含答案.docx

圆锥曲线是高考的重点内容之一，主要考查以下几方面：1考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质、待定系数法求圆锥曲线方程，圆锥曲线定义的应用等，尤其是离心率是高考的热点，题型上选择，填空、解答题都有可能出现；2双曲线的渐近线是一种独特的性质，也是高考考查的重要内容，充分运用渐近线方程，简化解题过程；3直线与圆锥曲线位置关系问题是高考的热点，涉及直线与圆锥曲线的关系中的求弦长、焦点弦长及弦中点问题、取值范围、取值等问题题型以解答题的形式出现居多，这类问题往往综合性强，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相综合利用圆锥曲线的定义解题的策略：(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用例1如图，直线AB过抛物线y22px(p0)的焦点F，且点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则A1FB1的大小为()A. B. C. D.解析：由抛物线的定义可知|AF|AA1|，|BF|BB1|，且AA1，BB1都平行于x轴，AA1FAFA1A1FO，BB1FBFB1B1FO，A1FB1AFA1BFB1.答案：D变式迁移1已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，则抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(A)A2 B3 C. D.解析：如图，可知直线l2：x1为抛物线y24x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题可化为：在抛物线y24x上找一个点P，使得P到点F(1，0)和到直线l1的距离之和最小，则最小值为F(1，0)到直线l1：4x3y60的距离，即dmin2.例2已知圆C的方程为(x3)2y24，定点A(3，0)，求过定点A且和圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程解析：因为圆P与圆C外切，如图所以|PC|PA|2，即|PC|PA|2，因为0|PC|PA|AC|，所以由双曲线的定义，点P的轨迹是以A，C为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中a1，c3，所以b2c2a2918.故所求轨方程为x21(x0)变式迁移2一动圆和两圆x2y21，x2y28x120都外切，则动圆圆心轨迹为(C)A圆 B椭圆C双曲线一支 D抛物线解析：C1：x2y21，C2：(x4)2y24，设动圆圆心为P，半径为r，因为动圆与两定圆都外切，所以|PC1|r1，|PC2|r2，所以|PC2|PC1|1，故P点轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的一支圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，已知圆锥曲线的性质求其方程重在考查基础知识、基本思想方法，属于低中挡题目，其中对离心率的考查是重点例3(2013新课标全国卷)设椭圆C：1(abc)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A. B.C. D.解析：因为PF2F1F2，PF1F230，所以|PF2|2ctan 30c，|PF1|c.又|PF1|PF2|c2a，所以，即椭圆的离心率为，选D.答案：D变式迁移3已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若2，则椭圆的离心率是(D)A. B.C. D.解析：如图，由于BFx轴，故xBc，yB，设P(0，t)，2，(a，t)2，a2c，e.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法直线与圆锥曲线的位置关系主要有：(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；(3)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算特别提醒：涉及直线的斜率不确定时，要讨论斜率不存在的情况，消元后一元二次方程二次项有字母，则要讨论系数为零的情况例4如图，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程分析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想解析：(1)由得x24x4b0，因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24(4b)0，解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程即为x24x40，解得x2，代入x24y，得y1.故点A(2，1)，因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2，所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.变式迁移4(2015东北三校联考)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围；解析：由已知条件，直线l的方程为ykx代入椭圆方程得(kx)21，整理得x22kx10.由8k244k220，解得k或k.即k得取值范围为.例5设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果2，求椭圆C的方程解析：(1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c2，故c2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20，直线l的方程为y(x2)联立得(3a2b2)y24b2y3b40.y1y2，y1y2.2，所以y12y2.代入可得y2，2y.2可得3a2b232.又a2b24，得a3.而a2b24，所以b.故椭圆C的方程为1.变式迁移5已知点M(2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|PN|2.记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值解析：(1)依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：1(x)(2)当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0，此时A(x0，)，B(x0，)，2.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb，代入双曲线方程1中，得：(1k2)x22kbxb220，依题意可知方程有两个不相等的正数根，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得|k|1，又x1x2y1y2x1x2(kx1b)(kx2b)(1k2)x1x2kb(x1x2)b222.综上可知，的最小值为2.求轨迹方程的常用方法：(1)直接法直接利用条件建立x 、y之间的关系f(x，y)0.(2)待定系数法已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数(3)定义法先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接定出动点的轨迹方程(4)代入转移法动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x0，y0，再将x0、y0代入已知曲线得要求的轨迹方程例6已知O的半径为3，直线l与O相切，一动圆与l相切，并与O相交的公共弦恰为O的直径，求动圆圆心的轨迹方程分析：问题中的几何性质十分突出，如何利用切线、直径、垂直、圆心这些几何性质是关键，动圆圆心满足的条件是关注的焦点解析：如图，设动圆圆心为M(x，y)，O与M的公共弦为AB，M与l切于点C，取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系则|MA|MC|.AB为O的直径，MO垂直平分AB于O.由勾股定理得|MA|2|MO|2|AO|2x2y29，而|MC|y3|，|y3|.化简得x26y，这就是动圆圆心的轨迹方程方法总结：直接法求轨迹方程的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系例7一动圆与已知圆O1：(x3)2y21外切，与圆O2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心的轨迹方程分析：运用圆锥曲线的定义和圆的几何性质判断轨迹形状后，再根据已知求解解析：两定圆的圆心和半径分别为O1(3，0)，r11；O2(3，0)，r9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得|MO1|1R，|MO2|9R.|MO1|MO2|10.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a5，c3.b2a2c225916，故动圆圆心的轨迹方程为1.方法总结：若根据条件得出动点的轨迹特征符合某一基本轨迹的定义，可由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程例8设双曲线1的焦点分别为F1、F2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；(2)若A、B分别为l1、l2上的动点，且2|AB|5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线分析：(1)双曲线方程易得a、c的关系，再代入离心率(2)设出A、B坐标，再代入2|AB|5|F1F2|，再由M为AB的中心求得轨迹方程。解析：(1)e2，a21.渐近线l1、l2的方程为：yx和yx.(2)|F1F2|4，2|AB|5|F1F2|，|AB|10.A在l1上，B在l2上，设A(y1，y1)，B(y2，y2)，10.设AB的中点M(x，y)，则x，y.y1y2，y1y22y，代入得12y2100，即1为中心M的轨迹方程，故轨迹为椭圆方法总结：一动点依赖于另一动点的变化而变化，一般用代入转化法变式迁移6已知点M(4，0)，N(1，0)，若动点P满足6|.求动点P的轨迹C.解析：设动点P(x，y)，(3，0)，(x4，y)，(x1，y)由6，得3(x4)6，所以x28x164(x22x1)4y2，整理得1.所以轨迹C是焦点为(1，0)，长轴长为4的椭圆