高中数学恒成立问题的解题方法研究(2).doc

高中数学恒成立问题的解题方法研究云南师大附中 保敏摘要：通过多年的高中数学教学，笔者发现高中数学中的恒成立的问题成为高考的热点因此本文主要介绍高中数学中的常见的恒成立习题类型及其解题策略，希望对学生的学习起到一些帮助。恒成立问题是中学数学的一类重要题型，它散见于许多知识板块中，载体较多，而且不少情况下题意较为隐含，正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而倍受高考命题者的青睐。概括一下，恒成立问题主要涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法。下面我们来简单地谈一谈恒成立问题的常见类型及其解题策略。一、次函数型给定一次函数在内恒有，则根据函数的图像（直线）如图1，图2。可得上述结论等价于 或 亦可合并成 例1：对于满足的所有实数,求使得不等式恒成立的的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：及，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个则作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题可转化为在-2，2内关于p的一次函数大于0恒立的问题。解：不等式即,设,则在-2，2上恒大于0，故有，即且，解得。二、二次函数型若二次函数 的函数值大于0恒成立，则有且。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例2：已知函数且（2，+）恒成立，求的范围。分析：恒成立的问题。即解不等式或不等式组解得m的取值范围为三、变量（参数）分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例3：设，且。如果当时。分析：在区间上有意义，这等价当时，不等式恒成立。解：分离参数得： ，在区间是增函数。在区间上也是增函数， 所以时，在上有意义。在该题中是主元，是参变量，是常量,所以这是一主一参、隐性恒成立问题，它的载体是函数的定义域。在含参变量的函数中，涉及到定义域、值域、单调性等问题时，常常要转化为不等式恒成立问题来处理。本题中采用了分离最值法，这是解决不等式恒成立问题的一种常用方法，其解题原理是：如果能把不等式中的参变量与主元分离开来，则可以通过求解由主元构成的式子的最值（或上、下界）来解决问题，即：对恒成立 对恒成立等四、根据函数的奇偶性、周期性等性质判断型若函数是奇（偶）函数，则对一切定义域中的，（或）恒成立；若函数的周期为，则对一切定义域中的恒成立。例4：若为偶函数，求的值。告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。即 对于一切恒成立，只需也必须 五、直接利用函数的图像型 若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例5：关于的不等式的解集为0，4，求实数的取值范围，解：令，根据题意可知，当且仅当在区间0，4上取值时，的图象恒在图象的上方（或重合），如图3所示：因为函数的图像是以点为圆心，2为半径的位于铀上方的半圆（含与铀的交点），易知的定义域恰好为0，4，而函数则是经过坐标原点，斜率为的一条动直线，由图3可知，欲使得题意成立，则动直线的斜率应该小于或等于0，即实数的取值范围是。恒成立的问题向来是高考中的热点问题，因此我们在学习的时候必须要重点把握和归纳总结，因为它们大致上就是上述几种类型，这要求我们要看清它的实质，这样做题时才会更加顺利。