资源描述
中考数学狙击重难点系列专题
根据图形的规律求坐标
1. 如图，已知直线l：y=33x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1 ， 过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（ ）
A. （0，64） B. （0，128） C. （0，256） D. （0，512）
2. 如图，直线y=3x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1B，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x的垂线交直线于点B2 ， 以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3 ， …，按此做法进行下去，点A5的坐标为( )
A. (16,0) B. (12,0) C. (8,0) D. (32,0)
3. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1 ， 依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018 ， 如果点A的坐标为(2，0)，那么点B2018的坐标为( )
A. (1，1) B. (0,2) C. (﹣1，1) D. (−2,0)
4. 如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3 ， △A3A4A5 ， △A5A6A7 ， …，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，-1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2013的坐标为（ )
A. （2，1006） B. （1008，0） C. （ -1006，0） D. （1，-1007）
5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1 ， 点P1绕点B旋转180°得点P2 ， 点P2绕点C旋转180°得点P3 ， 点P3绕点D旋转180°得点P4 ， ……，重复操作依次得到点P1 ， P2 ， …， 则点P2010的坐标是（ ）．
A. （2010，2） B. （2010，-2） C. （2012，-2） D. （0，2）
6. 我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧 P1P2 ， P2P3 ， P3P4 ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2 ， P2P3 ， P3P4 ， …得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（ ）
A. （﹣6，24） B. （﹣6，25） C. （﹣5，24） D. （﹣5，25）
7. 如图，一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第24秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）
A. （0，3） B. （4，0） C. （0，4） D. （4，4）
8. 在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1 ， 如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1 ， 使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是________．
9. 如图，在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1 ， 再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2 ， …，照此规律作下去，则点B6的坐标为________．
10. 如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y= 32 x于点B1 ， B2 ， 过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2 ， 过点A2作x轴的平行线交直线y= 32 x于点B3 ， …，按照此规律进行下去，则点An的横坐标为________．
11. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= 33 x﹣ 33 与x轴交于点B1 ， 以OB1为边长作等边三角形A1OB1 ， 过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2 ， 以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2 ， 过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3 ， 以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3 ， …，则点A2017的横坐标是________．
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1 ， 点A2 ， A3 ， …在直线l上，点B1 ， B2 ， B3 ， …在x轴的正半轴上．若△A1OB1 ， △A2B1B2 ， △A3B2B3依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2017个等腰直角三角形A2017B2016B2017顶点B2017的横坐标为________．
13. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2 M1 ， 对角线A1 M1和A2B2 交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3 M2 ， 对角线A1 M2和A3B3 交于点M3；……，依次类推，这样作的第n个正方形对角线交点的坐标为Mn________．
14. 如图，已知等边△OA1B1 ， 顶点A1在双曲线y= 3x （x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2 ， 过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2 ， 得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3 ， 过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3 ， 得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为________．
15. 如图，等边三角形△OAB1的一边OA在 x 轴上，且OA=1，当△OAB1沿直线l滚动，使一边与直线l重合得到△B1A1B2 ， △B2A2B3 ， ......则点A2017的坐标是________．
16. 如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°．当n=2017时，顶点A的坐标为________．
17. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2017的坐标是________．
18. 如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1 ， P2 ， P3 ， …，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为________．
19. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2015次运动后，动点P的坐标是________．
20. 如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线l于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1 ， 以A1B．BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1 ， 过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2 ， 以A2B1 ． B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是________．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【解析】【分析】本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OAn=4n ， 求出OA4的长等于44 ， 即可求出A4的坐标．
【解答】∵点A的坐标是（0，1)，
∴OA=1，
∵点B在直线y=33x上，
∴OB=2，
∴OA1=4，
∴OA2=16，
得出OA3=64，
∴OA4=256，
∴A4的坐标是（0，256)．
故选C．
【点评】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．
2.【答案】A
【解析】
【分析】根据题意即可求出B1点的坐标，进而找到A2点的坐标，逐个解答便可发现规律，进而求得点A5的坐标．
【解答】∵直线y=3x，点A1坐标为（1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1 ，
∴B1点的坐标为（1,3)，
∵以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2 ， OA2=OB1 ，
∴OA2=12+(3)2=2
∴点A2的坐标为（2，0)，
∴B2的坐标为（2,23)，
同理：点A3的坐标为（4，0)，
∴以此类推便可求出点An的坐标为（2n-1 ， 0)．
∴当n=5时，点A5的坐标为：（24 ， 0)，
即点A5的坐标为（16，0)．
故选A．
【点评】本题主要考查了一次函数的综合应用，考查了勾股定理、圆的性质以及点与直线的关系等知识．．此题属于规律性题目，难度适中，在解题时注意数形结合思想的运用．
3.【答案】B
【解析】【解答】解：过点A1作A1D⊥OA于点D，∵A的坐标为(2，0)，∴OA=2,∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴∠AOA1=45°,OA=OA1=2,∴OD=A1D,根据勾股定理得：OD=A1D=1，∴A1（1，1），∵将正方形OA1B1C1绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA2B2C2 ， 则A2点落在y轴的正半轴上，∴A2(0,2),∵将正方形OA2B2C2绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA3B3C3 ， 则A3点落在第二象限的角平分线上，∴A3(-1，1),∵将正方形OA3B3C3绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA4B4C4 ， 则A4点落在x轴的负半轴上，∴A4(-2,0),…
正方形OABC旋转8次则可以回到起点的位置，即A8的坐标与A点的坐标一样（2，0），252×8+2=2018，所以A2016的坐标与A的坐标一样，A2018的坐标就应该与A2一样，从而得出A2018的坐标为(0,2),
故答案为C。
【分析】探寻图形规律的题，根据旋转的方向及性质，分别找出A1,A2,A3,A4,各点的坐标，通过观察发现发现图形旋转8次即可回到起点，由于252×8+2=2018，所以A2016的坐标与A的坐标一样，A2018的坐标就应该与A2一样从而得出答案。
4.【答案】B
【解析】【分析】由题意得落在X轴上的点都是奇数，则A2013 这点在X轴上，落在X轴正半轴的点是A1 ， A5 ， A7 ， ……An+1（n是4的倍数)；而（2013-1)是4的整数倍，所以A2013 这点在X轴上，由图观察知点A1 ， A5 ， A7 ， ……An+1的横坐标间相差2，所以A2013的横坐标为2+2*503=1008；纵坐标为0.
【解答】∵A3是第一与第二个等腰直角三角形的公共点，
A5是第二与第三个等腰直角三角形的公共点，
A7是第三与第四个等腰直角三角形的公共点，
A9是第四与第五个等腰直角三角形的公共点，
…，
∵2013=1006×2+1，
∴A2013是第1006个与第1007个等腰直角三角形的公共点，
∴A2013在x轴正半轴，
∵OA5=4，OA9=6，OA13=8，
…，
∴OA2013=（2013+3)÷2=1008，
∴点A2013的坐标为（1008，0)．
故答案为：（1008，0)．
故选B.
【点评】本题考查了点的坐标规律的变化，仔细观察图形，先确定点A2013是第1006个与第1007个等腰直角三角形的公共点并确定出在x轴正半轴是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，以A为对称中心作点P（0，2)的对称点P1 ， 即A是PP1的中点，结合中点坐标公式即可求得点P1的坐标；同理可求得其它各点的坐标，分析可得规律，进而可得答案．
【解答】根据题意，以A为对称中心作点P（0，2)的对称点P1 ， 即A是PP1的中点，
又由A的坐标是（1，1)，
结合中点坐标公式可得P1的坐标是（2，0)；
同理P2的坐标是（2，-2)，记P2（a2 ， b2)，其中a2=2，b2=-2．
根据对称关系，依次可以求得：
P3（-4-a2 ， -2-b2)，P4（2+a2 ， 4+b2)，P5（-a2 ， -2-b2)，P6（4+a2 ， b2)，
令P6（a6 ， b2)，同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6 ， b2)，即P10（4×2+4，b2)，
由于2010=4×502+2，
所以点P2010的坐标是（2010，-2)，
故选B．
【点评】根据条件求出前边几个点的坐标，得到规律是解题关键．
6.【答案】B
【解析】【解答】解：观察图像可知
∵P2在P1的左下方，且半径为1,
∴P2（0-1,1-1），即（-1,0）
∵P3在P2的右下方，且半径为1,
∴P3（-1+1,0-1），即（0,-1）
∵P4在P3的右上方，且半径为2,
∴P2（0+2,-1+2），即（2,1）
∵P5在P4的左上方，且半径为3,
∴P5（2-3,1+3），即（-1,4）
P6（-1-5,4-5），即（-6,-1）
P7（-6+8,-1-8），即（2,-9）
P8（2+13,-9+13），即（15,4）
P9（15-21,4+21），即（-6,25）
故答案为：B
【分析】观察图像，找出规律，推出P9的坐标，即可解决问题。
7.【答案】C
【解析】【解答】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（0，4）用24秒．
则第24秒时跳蚤所在位置的坐标是（0，4）．
故选C
【分析】根据题目中所给的质点运动的特点，从中找出规律，即可得出答案．
二、填空题
8.【答案】（2n﹣1 ， 2n﹣1）
【解析】【解答】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A1 ，
∴A1点坐标（1，0），
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴B1坐标（1，1），
∵C1A2∥x轴，
∴A2坐标（2，1），
∵四边形A2B2C2C1是正方形，
∴B2坐标（2，3），
∵C2A3∥x轴，
∴A3坐标（4，3），
∵四边形A3B3C3C2是正方形，
∴B3（4，7），
∵B1（20 ， 21﹣1），B2（21 ， 22﹣1），B3（22 ， 23﹣1），…，
∴Bn坐标（2n﹣1 ， 2n﹣1）．
故答案为（2n﹣1 ， 2n﹣1）．
【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后即可解决问题．本题考查一次函数图象上点的特征，正方形的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9.【答案】（8，-8）．
【解析】【解答】解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB= 2 ，B（1，1），
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1=2= (2)2 ，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知OB2=2 2 = (2)3 ，
∴B2点坐标为（-2，2），
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都逆时针旋转45°，边长都乘以 2 ，
∴点B6在第四象限的角平分线上，
∵OB6=（ 2 ）7 ，
∴点B6的横坐标是 22 ×（ 2 ）7=8，纵坐标是- 22 ×（ 2 ）7=-8，
∴点B6的坐标为（8，-8）.
【分析】根据勾股定理求出OB的长，利用正方形的每一条对角线都把它分成两个全等的等腰直角三角形得出B的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，都逆时针旋转45°，边长都乘以 2 ，所以可得出B6的坐标.
10.【答案】(233)n−1
【解析】【解答】解：∵AnBn+1∥x轴，
∴tan∠AnBn+1Bn= 32 ．
当x=1时，y= 32 x= 32 ，
∴点B1的坐标为（1， 32 ），
∴A1B1=1﹣ 32 ，A1B2= A1B132 = 233 ﹣1．
∵1+A1B2= 233 ，
∴点A2的坐标为（ 233 ， 233 ），点B2的坐标为（ 233 ，1），
∴A2B2= 233 ﹣1，A2B3= A2B232 = 43 ﹣ 233 ，
∴点A3的坐标为（ 43 ， 43 ），点B3的坐标为（ 43 ， 233 ）．
同理，可得：点An的坐标为（ (233)n−1 ， (233)n−1 ）．
故答案为： (233)n−1 ．
【分析】根据两直线与坐标点的特点由三角函数值求出点B1的坐标，从而求出A1B1的值，根据解直角三角形求出A2B2的值，探索规律求出An的坐标；此题规律性较强，计算复杂需仔细认真.
11.【答案】22017−12
【解析】【解答】解：由直线l：y= 33 x﹣ 33 与x轴交于点B1 ， 可得B1（1，0），D（﹣ 33 ，0），
∴OB1=1，∠OB1D=30°，
如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，
则OA= 12 OB1= 12 ，
即A1的横坐标为 12 = 21−12 ，
由题可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，
∴∠A1B1B2=90°，
∴A1B2=2A1B1=2，
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B= 12 A1B2=1，
即A2的横坐标为 12 +1= 32 = 22−12 ，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C= 12 A2B3=2，
即A3的横坐标为 12 +1+2= 72 = 23−12 ，
同理可得，A4的横坐标为 12 +1+2+4= 152 = 24−12 ，
由此可得，An的横坐标为 2n−12 ，
∴点A2017的横坐标是 22017−12 ，
故答案为： 22017−12 ．
【分析】先根据直线l：y= 33 x﹣ 33 与x轴交于点B1 ， 可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，再，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为 21−12 ，A2的横坐标为 22−12 ，A3的横坐标为 23−12 ，进而得到An的横坐标为 2n−12 ，据此可得点A2017的横坐标．
12.【答案】22018﹣2
【解析】【解答】解：由题意得OA=OA1=2，
∴OB1=OA1=2，
B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，
∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，
2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，…
∴Bn的横坐标为2n+1﹣2，
∴点B2017的横坐标为22018﹣2，
故答案为22018﹣2．
【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．
13.【答案】(2n-12n,12n).
【解析】【解答】解：设正方形的边长为1，
则正方形四个顶点坐标为O(0，0)，C(0，1)，B1(1，1)，A1(1，0)，
在正方形OA1B1C中，
∴OM1=M1A ， ∠OM1A1=90∘，
设OM1=M1A1=x，
由勾股定理得：x2+x2=12 ，
解得：x=22 ，
同理可得OA2=A2M1=12 ， A2M2=24 ， A2A3=14 ， …，
根据正方形对角线定理得M1的坐标为(1−12 ， 12)；
同理得M2的坐标为(1−122 ， 122)；
M3的坐标为(1−123 ， 123)，
…，
依此类推：Mn坐标为(1−12n,12n)=(2n-12n,12n).
故答案为：(2n-12n,12n).
【分析】根据正方形的性质得到OM1=M1A1，∠OM1A1=90°，设OM1=M1A1=x，由勾股定理得到方程x2+x2=12，解方程求出x的值，同理可以求出其它正方形的边长，进而得到M1的坐标，M2的坐标，…，依此类推可求出第n个正方形对角线交点Mn的坐标．
14.【答案】（2 6 ，0）
【解析】【解答】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，
设B1C=a，则A2C= 3 a，
OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a， 3 a）．
∵点A2在双曲线y= 3x （x＞0）上，
∴（2+a）• 3 a= 3 ，
解得a= 2 ﹣1，或a=﹣ 2 ﹣1（舍去），
∴OB2=OB1+2B1C=2+2 2 ﹣2=2 2 ，
∴点B2的坐标为（2 2 ，0）；
作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D= 3 b，
OD=OB2+B2D=2 2 +b，A2（2 2 +b， 3 b）．
∵点A3在双曲线y= 3x （x＞0）上，
∴（2 2 +b）• 3 b= 3 ，
解得b=﹣ 2 + 3 ，或b=﹣ 2 ﹣ 3 （舍去），
∴OB3=OB2+2B2D=2 2 ﹣2 2 +2 3 =2 3 ，
∴点B3的坐标为（2 3 ，0）；
同理可得点B4的坐标为（2 4 ，0）即（4，0）；
…，
∴点Bn的坐标为（2 n ，0），
∴点B6的坐标为（2 6 ，0）．
故答案为：（2 6 ，0）．
【分析】 如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A2C= 3a，OC=OB1+B1C=2+a，从而表示出A2的坐标，根据A2在双曲线上，根据双曲线上的点的坐标特点得出关于a的方程，求解再检验即可得出a的值，从而得出OB2的长，进而得出B2的坐标；同理即可求出B3，B4 ， ……Bn的坐标，进而得出B6的坐标。
15.【答案】(20192,201732)
【解析】【解答】解：
作 B1H⊥x 于点H .
∵ΔOAB1 是等边三角形，
∴OH=AH=12OA=12 ,
B1H=12−(12)2=32 .
∴A1(1+12,32) ,
A2(1+22,232) ,
A3(1+32,332) ,
……
∴A2017(1+20172,201732)
∴A2017(20192,201732)
16.【答案】（2，2 3 ）
【解析】【解答】解：2017×60°÷360°=336…1，即与正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转1次时点A的坐标是一样的．
当点A按顺时针旋转60°时，与原F点重合．
连接OF，过点F作FH⊥x轴，垂足为H；
由已知EF=4，∠FOE=60°（正六边形的性质），
∴△OEF是等边三角形，
∴OF=EF=4，
∴F（2，2 3 ），即旋转2017后点A的坐标是（2，2 3 ），
故答案是：（2，2 3 ）．
【分析】将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2017次时，点A所在的位置就是原F点所在的位置．
17.【答案】（672，1）
【解析】【解答】由图可得，P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+1（2n，1），
2016÷6=336，
∴P6×336（2×336，0），即P2016（672，0），
∴P2017（672，1），
故答案为：（672，1）．
【分析】观察图中规律得出P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+1（2n，1），又2016÷6=336，从而得出P2016（672，0），由前面的规律得出P2017（672，1），
18.【答案】（504，﹣504）
【解析】【解答】解：由规律可得，2016÷4=504，
∴点P2016的在第四象限的角平分线上，
∵点P4（1，﹣1），点P8（2，﹣2），点P12（3，﹣3），
∴点P2016（504，﹣504），
故答案为（504，﹣504）．
【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2016的在第四象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值=2016÷4，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可．本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的大致位置，所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．
19.【答案】（2015，2）
【解析】【解答】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），
∴第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…，
∴横坐标为运动次数，经过第2015次运动后，动点P的横坐标为2015，
纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∴经过第2015次运动后，动点P的纵坐标为：2015÷4=503余3，
故纵坐标为四个数中第3个，即为2，
∴经过第2015次运动后，动点P的坐标是：（2015，2），
故答案为：（2015，2）．
【分析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．
20.【答案】（﹣ 3 ×4n﹣1 ， 4n）
【解析】【解答】解：∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，
∴直线l的解析式为y= 33 x．
∵AB⊥y轴，点A（0，1），
∴可设B点坐标为（x，1），
将B（x，1）代入y= 33 x，
得1= 33 x，解得x= 3 ，
∴B点坐标为（ 3 ，1），AB= 3 ．
在Rt△A1AB中，∠AA1B=90°﹣60°=30°，∠A1AB=90°，
∴AA1= 3 AB=3，OA1=OA+AA1=1+3=4，
∵▱ABA1C1中，A1C1=AB= 3 ，
∴C1点的坐标为（﹣ 3 ，4），即（﹣ 3 ×40 ， 41）；
由 33 x=4，解得x=4 3 ，
∴B1点坐标为（4 3 ，4），A1B1=4 3 ．
在Rt△A2A1B1中，∠A1A2B1=30°，∠A2A1B1=90°，
∴A1A2= 3 A1B1=12，OA2=OA1+A1A2=4+12=16，
∵▱A1B1A2C2中，A2C2=A1B1=4 3 ，
∴C2点的坐标为（﹣4 3 ，16），即（﹣ 3 ×41 ， 42）；
同理，可得C3点的坐标为（﹣16 3 ，64），即（﹣ 3 ×42 ， 43）；
以此类推，则Cn的坐标是（﹣ 3 ×4n﹣1 ， 4n）．
故答案为（﹣ 3 ×4n﹣1 ， 4n）．
【分析】由直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，根据特殊角的三角函数值求出直线l的解析；由AB⊥y轴，点A（0，1），求出B点坐标和AB的值，根据三角形内角和定理和勾股定理，求出AA1、OA1的值，根据平行四边形的性质，得到C1点的坐标、B1点坐标和A1B1的值；根据规律以此类推，得到Cn的坐标.
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