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数列高考题汇总
数列高考专题
考试内容：
数学探索©版权所有数列．
数学探索©版权所有等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．
数学探索©版权所有等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．
数学探索©版权所有考试要求：
数学探索©版权所有（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
数学探索©版权所有（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．
数学探索©版权所有（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．
§03. 数 列 知识要点

数列
数列的定义
数列的有关概念
数列的通项

数列与函数的关系

项
项数
通项

等差数列
等差数列的定义
等差数列的通项
等差数列的性质
等差数列的前n项和
等比数列
等比数列的定义
等比数列的通项
等比数列的性质
等比数列的前n项和

1. ⑴等差、等比数列：

等差数列
等比数列
定义

递推公式
；
；
通项公式

（）
中项
（）
（）
前项和

重要性质

等差数列
等比数列
定义

通项公式
=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d

求和公式

中项公式
A= 推广：2=
。推广：
性质
1
若m+n=p+q则
若m+n=p+q，则。
2
若成A.P（其中）则也为A.P。
若成等比数列 （其中），则成等比数列。
3
． 成等差数列。
成等比数列。
4

，

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
②2()
③(为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
②(，)①
注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.
ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.
iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.
iv. 且→为a、b、c等比数列的充要.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
③(为非零常数).
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.
⑷数列{}的前项和与通项的关系：
[注]： ①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{}前n项和 →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；
②若等差数列的项数为2，则；
③若等差数列的项数为，则，且，
.
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
②
③
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…； 5，55，555，….
4. 数列常见的几种形式：
⑴（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.
⑵（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定.
①转化等差，等比：.
②选代法：
.
③用特征方程求解：.
④由选代法推导结果：.
5. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：
一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。
3. 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
　　　3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）
4）
5）
6）

D1 数列的概念与简单表示法
1. [2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；
(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.

2．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ.
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明＋＋…＋＜.

4．[2014·重庆卷] 设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．
(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．
(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．

D2 等差数列及等差数列前n项和
1． [2014·北京卷] 若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
2.（2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于
A. -1 B. 1 C. 3 D.7

3．[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

4．[2014·湖南卷] 已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.
(1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；
(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．

5．[2014·辽宁卷] 设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则(　　)
A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0　

6．[2014·全国卷] 等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

7．[2014·山东卷] 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.

8．[2014·陕西卷] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；
(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．

9． [2014·天津卷] 设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．
10.(2009宁夏海南卷文）等差数列的前n项和为，已知，,则
（A）38 （B）20 （C）10 （D）9 .
11.（2009安徽卷理）已知为等差数列，++=105，=99，以表示
的前项和，则使得达到最大值的是
（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18
12.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则= 。

D3　等比数列及等比数列前n项和
1．[2014·重庆卷] 对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9，成等比数列
2．[2014·安徽卷] 数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.

3．[2014·广东卷] 若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．

4．[2014·全国卷] 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
5.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=
A. B. C. D.2
6.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，
A. B. C. D.

7．[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
8．[2014·四川卷] 设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．
(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；
(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.

9．[2014·浙江卷] 已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.
(1)求an与bn.
(2)设cn＝－(n∈N*)．记数列{cn}的前n项和为Sn.
(i)求Sn；
(ii)求正整数k，使得对任意n∈均有Sk≥Sn.

D4　数列综合

1.（2009全国卷Ⅰ理）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
在数列中，
（I）设，求数列的通项公式
（II）求数列的前项和

2.（2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分12分）
设数列的前项和为 已知
（I）设，证明数列是等比数列
（II）求数列的通项公式。

3.(2009山东卷文)（本小题满分12分）
等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记 求数列的前项和
2015 数列全国高考
1．【2015高考新课标1，文7】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）

2．【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．
3．【2015高考广东，文13】若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．
4．【2015高考福建，文16】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于________．
5．【2015高考浙江，文10】已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ， ．
6．【2015高考新课标1，文13】数列中为的前n项和，若，则 ．
7．【2015高考安徽，文13】已知数列中，，（），则数列的前9项和等于 ．

8．【2015高考福建，文17】等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求的值．

9．【2015高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？

10．【2015高考安徽，文18】已知数列是递增的等比数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和．

11．【2015高考广东，文19】（本小题满分14分）设数列的前项和为，．已知，，，且当
时，．
（1）求的值；
（2）证明：为等比数列；
（3）求数列的通项公式．

12．【2015高考湖北，文19】设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．

13．【2015高考湖南，文19】（本小题满分13分）设数列的前项和为，已知，且，
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求。

14．【2015高考湖南，文21】 （本小题满分13分）函数，记为的从小到大的第个极值点。
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）若对一切恒成立，求的取值范围。

15．【2015高考山东，文19】已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．

16．【2015高考陕西，文21】设
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：在内有且仅有一个零点（记为），且．

17．【2015高考四川，文16】设数列{an}（n＝1，2，3…）的前n项和Sn满足Sn＝2an－a3，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn．

18．【2015高考天津，文18】（本小题满分13分）已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,．
（Ⅰ）求和的通项公式;
（Ⅱ）设,求数列的前n项和．

19．【2015高考浙江，文17】（本题满分15分）已知数列和满足，
．
（1）求与；
（2）记数列的前n项和为，求．

20．【2015高考重庆，文16】已知等差数列满足=2，前3项和=．
（Ⅰ）求的通项公式，
（Ⅱ）设等比数列满足=，=，求前n项和．

21．【2015高考上海，文23】（本题满分16分）本题共3小题．第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．
已知数列与满足，．
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项；
（3）设，，求的取值范围，使得对任意，，，且
．
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