一种基于自适应集成学习代理模型的结构可靠性分析方法_李宁.pdf

文章编号：1000-4750(2023)03-0027-09一种基于自适应集成学习代理模型的结构可靠性分析方法李宁1,2,3，潘慧雨1，李忠献1,2,3(1.天津大学建筑工程学院，天津300350；2.滨海土木工程结构与安全教育部重点实验室(天津大学)，天津300350；3.中国地震局地震工程综合模拟与城乡抗震韧性重点实验室(天津大学)，天津300350)摘要：结构可靠性分析需要精确计算结构或系统的失效概率，当结构失效概率低时，运算量大且操作困难。可采用代理模型替代原始性能函数，结合自适应实验设计，在保证准确率的同时大幅减少原始模型的总运行次数。该文提出了基于自适应集成学习代理模型的结构可靠性分析方法，将适应性较广的 Kriging 与最近发展的PC-Kriging 代理模型集成；利用代理模型提供预测点的方差特征，提出新的集成学习函数，识别高预测误差区域，实现高效拟合失效边界；通过主动学习算法在预测误差大和接近极限状态的区域添加采样，迭代更新集成代理模型。通过 3 个算例，验证了该文方法与单一代理模型结构可靠性分析方法的优势，与 AK-MCS+U 和AK-MCS+EFF 相比，所提方法计算成本低、准确度高。关键词：结构可靠性；自适应试验设计；Kriging 模型；PC-Kriging 模型；集成学习中图分类号：TP181文献标志码：Adoi:10.6052/j.issn.1000-4750.2021.09.0708STRUCTURALRELIABILITYANALYSISMETHODBASEDONADAPTIVEENSEMBLELEARNING-SURROGATEMODELLINing1,2,3,PANHui-yu1,LIZhong-xian1,2,3(1.SchoolofCivilEngineering,TianjinUniversity,Tianjin300350,China;2.KeyLaboratoryofCoastCivilStructureSafety,MinistryofEducation(TianjinUniversity),Tianjin300350,China;3.KeyLaboratoryofEarthquakeEngineeringSimulationandSeismicResilienceofChinaEarthquakeAdministration(TianjinUniversity),Tianjin300350,China)Abstract:Structuralreliabilityanalysisrequirescalculationofthefailureprobabilityofastructureorsystem.However,thecalculationofstructuralresponseiscomputationcostlyordifficulttocarryoutforthesystemwitharelativelowfailureprobability.Thesurrogatemodelcanbeusedtorepresenttheoriginalperformancefunction,whichcanensuretheaccuracyandreducethetotalnumberofrunsoftheoriginalmodelsignificantlywhencombinedwiththeadaptiveexperimentaldesign.Astructuralreliabilityanalysismethodisproposedbasedontheadaptive ensemble learning-surrogate model,which integrates the versatile Kriging model and the recentlydevelopedPC-Krigingmodel.Basedonthefactthatthesetwosurrogatemodelscanprovidepredictionvariancecharacteristics,anewensemblelearningfunctionisproposedtoidentifytheareaswithhighpredictionerrorsandthefailureboundaries.Withexperimentaldesignstratgy,thenewlearningalgorithmisusedtoaddnewsamplesinareaswithlargepredictionerrorsandinareasclosetothelimitstate,anditerativelyupdatetheensemblelearning-surrogatemodel.Theproposedmethodisverifiedagainstthreeexamples,whichshowthatthemethodhas low computational cost with high accuracy,compared with the single surrogate model-based structural收稿日期：2021-09-11；修改日期：2021-12-27基金项目：国家重点研发计划项目(2019YFE0112500)；国家自然科学基金面上项目(52178496)；天津市重点研发计划科技支撑重点项目(20YFZCSN00900)通讯作者：李宁(1981)，男，山西人，教授，工学博士，主要从事工程抗震减振控制方面的研究(E-mail:).作者简介：潘慧雨(1997)，女，辽宁人，硕士生，主要从事工程结构抗震可靠性和韧性评估方面的研究(E-mail:);李忠献(1961)，男，安徽人，教授，工学博士，主要从事工程抗震减振与控制方面的研究(E-mail:).第40卷第3期Vol.40No.3工程力学2023 年3月Mar.2023ENGINEERINGMECHANICS27reliabilityanalysismethods(AK-MCS+UandAK-MCS+EFFmethods).Keywords:structural reliability;adaptive experimental design;Kriging model;polynomial-chaos Krigingmodel;ensemblelearning工程结构和系统的可靠性分析在工程上有着重要意义，常用评估结构或系统的安全储备。而不确定性在实际工程中广泛存在，通常来自于结构系统本身或环境相关的固有随机性变化，如：材料特性、几何尺寸、外部载荷等，对结构或系统的性能及其可靠性有不可避免的影响。因此，考虑结构或系统本身以及环境的不确定性，分析工程结构的可靠性十分重要。考虑不确定性影响的结构可靠性分析常需要通过大量的确定性分析来实现，而复杂结构每一次确定性分析都需要大量计算时间。这导致可靠性分析方法，如：近似解析法(FORM、SORM1等)、抽样仿真方法(蒙特卡洛模拟(MCS)、重要抽样法(IS)2、子集模拟法3等)均存在对非线性问题求解精度低且只适用于显式功能函数、效率低、样本量大等问题。因此，利用代理模型来近似功能函数计算结构的可靠性分析方法快速发展起来，如：Kriging模型45、支持向量机67(SVM)、人工神经网络89等。而代理模型方法一般采用无规则选点，导致选点过多且精度无法保证。主动学习代理模型方法，通过自适应学习函数加点的方式，选择性添加样本点构建代理模型，可以实现有限设计点构建代理模型，替代复杂且耗时的原模型。目前，可通过改变选取不同的代理模型或采用新的学习函数改进上述方法，其中自适应集成策略的可靠性分析方法是目前研究热点之一。鉴于Kriging 模型10可提供预测点响应的均值及方差，有学者基于 Kriging 模型提出自适应序列采样方法，如：KOH 等11提出 EFF 函数选择距极限状态最近的点作为新增样本点(AK-MCS+EFF)；ECHARD 等12提出 U 函数来衡量待测样本的误分概率，并将 U 值最小点定义为最佳样本点(AK-MCS+U)；L等13提出期望风险函数(ERF)和 H 函数5分别在 Kriging模型的极限状态面附近搜索预测误差大、信息熵大的点作为新增点；而后 SUN 等14开发了最小改进函数(leastimprovementfunction，LIF)，提高了新样本加入到训练样本集后估计失效概率的准确性。而 Kriging 的特点是将计算模型输出的局部变化作为邻近实验设计点的函数进行插值，缺少全局性。SCHBI 等15将多项式混沌展开式(polynomial-chaosexpansion,PCE)和 Kriging 相结合，提出 PC-Kriging 模型(polynomial-chaosKrigingmodel)，采用一组稀疏的标准正交多项式逼近计算模型的全局行为，Kriging 控制模型输出的局部可变性，并基于 PC-Kriging 提出一种新的可靠性分析方法16。上述基于代理模型的可靠性分析方法都有着较高的准确度和效率，属于基于单一代理模型的可靠性分析方法。由于每种代理模型各有优势与缺点，而对具有隐式功能函数的情形，在设计前难以了解其特性，如何选取合适的代理模型是一个难题。因此，CHENG 等17提出了一种基于 PCE、SVM、Kriging 的集成可靠性分析方法。该方法基于三种代理模型与集成模型计算新的样本点时，需额外计算预测点的统计信息，引入了集成误差，可能导致失效边界拟合不佳。对此，本文提出基于自适应集成学习代理模型(Kriging 模型与PC-Kriging 模型)的结构可靠性分析方法。在代理模型能提供预测点统计特征基础上，拟合失效边界，提升可靠性分析的准确性与效率，并通过3 个算例予以验证。1代理模型Kriging 和 PC-Kriging 模型均在结构可靠性分析方法中经过验证，且在预测过程中均能提供预测点的期望与方差，为学习函数构建提供更多信息，本文选用这两种模型集成可以避免其他组合方法由于额外计算所增加的不确定性影响。1.1Kriging 模型Kriging18起源于地质统计学，是一种半参数的高效插值方法，也称高斯过程回归，使用最佳线性无偏预测估计给定点的值，解决了非参数方法的局限性，可表示为：GKRG(x)=(x,)+z(x)=T(x)+z(x)=T(x)+2zR(1)其中：T(x)=1(x),2(x),k(x)(2)28工程力学=1,2,kT(3)2z式中：T(x)为基函数，为对应的回归系数向量，则 T(x)表示 GKRG(x)的均值；z(x)是均值为 0、方差为的高斯过程；过程空间样本点xi与 xj的协方差可表示为：cov(z(xi),z(xj)=2zR(xi,xj,)(4)表示回归过程中的广义均方误差。R(xi,xj,)为由参数 定义的相关性函数，描述样本与样本间的相关性。Kriging 采用高斯相关函数：R(xi,xj,)=Kk=1R(xkixkj)=expKk=1(k|xkixkj|2)(5)xkixkj式中：K 为样本数量；、分别为向量 xi与xj的第 k 个分量；可利用极大似然估计或交叉验证求解超参数 。2z假设初始试验设计 X=x1,x2,xK及其对应的极限状态 Y=y1,y2,yK，通过极大似然估计方法可以估计 与：?=(ETR1E)1ETR1Y(6)?2z=1K(Y?)TR1(Y?)(7)?=argmin(detR)1K?2z(8)式中，E 是 K1 阶元素皆为 1 的向量。N(,2)考虑任意输入样本 x 及其预测的响应值 y 服从正态分布，其预测值如下式：y=?+r(x)TR1(Y?)(9)其方差为：2(x)=2z+uT(x)(ETR1E)1u(x)rT(x)R1r(x)(10)式中：r(x)=R(x,x1),R(x,xk)(11)u(x)=ETR1r(x)1(12)根据该模型，接近已知训练点的点的响应预测比远离已知训练点的点的响应预测具有更高的置信度。Kriging 模型提供的概率信息，可以更有效地用在可靠性估计中选择下一个样本点。1.2PC-Kriging 模型上述 Kriging 模型的特点，是将计算模型输出的局部变化作为邻近的试验设计点的函数进行插值，相比之下，PCE19则使用一组正交多项式来逼近全局行为。PC-Kriging15则将 Kriging 模型的回归基函数采用多项式混沌展开进行替代，增加模型全局性，利用高斯过程捕获模型的局部变异性，可表示为：GPCK(x)=P(x)+2z(x,w)(13)P(x)式中：是描述高斯过程均值的系数和；P 为多项式集；同式(3)为相关回归系数；为一组多元标准正交多项式，可表示为：(x)=Mi=1(i)i(xi)(14)(i)i(xi)CM,T=NM,|T式中：为第 i 个变量中 i阶的一元多项式；=1,2,M 为 一 个 M 维 的 自 然 数 向 量，|=1+2+M的值不超过指定阈值 T 的项为模型候补基函数项。候补基函数项，其中项的数量可由 P 表示为：P=card(CM,T)(15)(k)iL2(R,fXm)对于每一个 xi，(i=1,2,)为希尔伯特空间的完全正交基，其与输入分布相干的正交性可以表示为：=(m)i(m)jfXm(x)dx=ij(16)fXm(x)式中：ij为 1(i=j)或 0(ij)；为 x 的第 m 个边缘概率密度函数。本文采用最优 PC-Kriging 模型，假设输入随机变量 x 服从各分量独立的多元标准正态分布，采用最小角回归(LAR)20理论确定函数的基函数集个数，构建回归基函数的最优多项式数量集，采用 Akaike 信息准则(AIC)21来确定最优的截断集合。得到的模型根据它们各自的全局留一(leave-one-out,LOO)交叉验证误差进行排序，并选择具有最小 LOO 误差的代理模型作为最优 PC-Kriging 模型。2代理模型集成学习策略不同的代理模型各有优劣，当缺乏描述响应和输入变量之间关系的信息时，工程师很难判断选择何种代理模型是最佳代理模型，且代理模型的精度依赖于训练数据集中的设计点数以及响应的形式(线性、非线性、噪声、平滑等)。GOEL 等22指出，代理模型预测存在不确定性，因此选择合工程力学29适的学习策略，对适应性较广的不同代理模型进行集成，由此得到的集成学习代理模型利用了独立代理模型的预测能力，可提高响应预测的准确性。本文利用 Kriging 模型和 PC-Kriging 模型共同具备预测点响应的均值及方差的能力，对以上两种代理模型进行集成，具体表述为：GW(x)=Ni=1i(x)?Gi(x)=(x)T?Gi(x)(17)VW(x)=Ni=12i(x)?Vi(x)(18)?Gi(x)i(x)式中：GW(x)为集成学习代理模型的预测响应；VW(x)为集成学习代理模型对预测点的响应方差；N 为不同代理模型的数量，本文 N=2；为第i 个代理模型的预测响应；为与第 i 个代理模型在样本点 x 相关联的集成系数，具体表述为：i=ii=1i,i=(eLOO,i+Ni=1eLOO,iN)(19)式中，eLOO,i为第 i 个代理模型的全局留一(Leave-one-out,LOO)交 叉 验 证 误 差。在 本 文 中，设=0.05 和=122，较小 和较大 赋予最优代理模型高权重，将相对平均的系数分配给每个代理模型，因此，具有小 eLOO的代理模型在自适应集成模型中起主导作用。3自适应集成学习代理模型方法在本节中，基于集成学习代理模型提出了一种新的可靠性分析方法。3.1学习函数学习函数是将候选样本池的样本点进行排序，筛选新的样本点以丰富当前训练样本集，从而达到提高代理模型精度的目的。本文利用 Kriging 和PC-Kriging 模型可提供预测点均值与方差的特性，以 U 函数为基础，构建一种新的加权学习函数：UW(x)=|GW(x)|VW(x)(20)当 x 越接近失效边界，即|GW(x)|越小越接近于 0 时，或当 VW(x)较大即存在较大的预测误差时，UW(x)值越小，因此可以通过计算侯选样本池中样本点的 UW，取其中最小值对应的样本点 x 添加到当前训练样本集中，以优化加权代理模型。3.2收敛准则在本文中，依照加权代理模型特性，采用基于方差与失效概率的收敛准则，取 0=0.05，且满足连续 2 次迭代成立即收敛，定义失效概率停止收敛准则如下：(?P+f?Pf)/?Pf0(21)式中：?Pf=P(?GW(x)k?VW(x)0)(22)?Pf=P(?GW(x)0)(23)本文中设置置信度 k=2。3.3本文提出算法流程为所提出方法的流程如图 1 所示。步骤如下：步骤 1.采用拉丁超立方(LHS)生成少量的初始样本点训练集 X=x1,x2,x3,xn；步骤 2.利用真实模型或函数计算相应响应值 Y；步骤 3.利用样本集X,Y同时训练 Kriging 模型和 PC-Kriging 模型，并计算两种模型全局留一交叉验证误差 eLOO，通过式(19)计算各模型加权集成系数，构建加权代理模型，构建两种代理模型采用 Matlab 工具 UQLAB23；X=XxnewY=Yxnew步骤 4.取式(20)计算侯选样本集 S 对应学习函数值 UW，取 UW最小值的点作为新样本点 xnew，真实模型或功能函数计算相应响应值 ynew=GW(xnew)，添加至初始样本集中，；步骤 5.通过式(23)利用已构建代理模型计算失效概率 Pf；步骤 6.重复步骤 3步骤 5，直到满足收敛准则式，停止并计算失效概率。拉丁超立方(LHS)生成初始样本点X 利用真实模型计算实际响应Y 利用样本集X,Y训练代理模型Kriging 代理模型PC-Kriging 代理模型加权集成代理模型建立根据学习函数,从S中选择新的样本点xnew计算失效概率Pf收敛准则判断结束利用蒙特卡洛(MC)生成有N个的候选样本集S X=Xxnew,Y=Yynew图1所提结构可靠性分析方法流程图Fig.1Theflowchartoftheproposedstructurereliabilityanalysismethod30工程力学4算例分析本节采用极限状态函数的非线性程度、随机变量维数、复杂程度不同的算例12,2425进行可靠性分析。4.1二随机变量算例该算例是一个四边界串联系统12,24，其具有很强的非线性行为，该系统表达为：G(x1,x2)=min3+0.1(x1x2)2(x1+x2)/23+0.1(x1x2)2+(x1+x2)/2x1x2+6/2x2x1+6/2(24)其中，x1和 x2的分布服从正态分布，如表 1 所示。表1四边界串联系统的分布参数特征Table1Distributedparametercharacteristicsoffourboundaryseriessystems参数变量参数分布均值标准差x1正态0.001.00 x2正态0.001.00采用 MCS 方法根据参数分布生成 106随机样本作为侯选样本池 S，采用拉丁超立方抽样的方法生成 20 个侯选样本点。执行所提出的学习算法，并通过所提出的学习函数依次添加新样本，直到满足停止标准。运算结果如表 2 所示。表2四边界串联系统的计算结果Table2Calculationresultsoffourboundaryseriessystem0方法模型评估/次失效概率Pf相对误差MCS1064.415103AK-MCS+U20+804.4431034.07103AK-MCS+EFF20+954.4221031.581030.05所提方法20+784.4131034.531040.0320+934.4221031.58103表 2 可知，所提方法与基于 U 学习函数的AK-MCS 方法和基于 EFF 学习函数的 AK-MCS 方法比较。结果表明，所提方法能够显著减少系统模型下对其性能函数的调用次数，迭代 20 次时，逐渐收敛至真实失效概率。以 106次 MCS 结果作为结构可靠性分析结果的参考解，在相同初始试验设计条件下，取停止阈值为 0.05 时，所提方法调用性能函数 97 次，比 AK-MCS+U 和 AK-MCS+EFF 在调用次数上降低 2%和 14.8%，在精确程度上提升 88.9%和 71.3%；当取停止阈值为 0.03 时，所提方法调用性能函数 113 次，在调用次数上大致相同，在精确程度上分别提升 61.2%和 0%。图 2 表示所提方法在迭代过程的集成系数变化和失效概率收敛过程。020406080模型迭代次数/次(a)集成系数变化曲线(b)失效概率收敛曲线0.00.20.40.60.8集成系数KrigingPC-Kriging020406080模型迭代次数/次0.000.010.020.030.040.050.06失效概率Pf失效概率Pf置信区间Pf+/Pf图2所提方法：集成系数变化曲线和失效概率收敛曲线Fig.2Theproposedmethod:Ensemblecoefficientvariationcurveandfailureprobabilityconvergencecurve图 3 和图 4 分别给出了 AK-MCS+U 与所提方法拟合模型失效边界的过程，在增加样本点 25 次时，AK-MCS+U 方法仅拟合一条失效边界，而所提方法可实现大致拟合四条失效边界，提升收敛效率。在满足收敛准则后，较 AK-MCS+U，所提方法拟合边界更精确、迭代次数更少。4.2六随机变量算例六随机变量算例是一个高非线性振子系统12,25，该系统如图 5 所示。算例中采用MCS 生成样本数为106的计算结果为标准，进行对比分析，其极限状态函数(功能函数)为：g(c1,c2,m,r,t1,F1)=3r2F1m20sin(0t12)(25)0=(c1+c2)/m式中：，为该振子系统的频率。六个随机输入变量为相互独立变量，分布参数见表 3。表 4 将非线性振子系统中所提方法与 AK-MCS+U 方法和 AK-MCS+EFF 方法结果进行了比工程力学31较。结果表明，所提方法能够显著减少模型对其性能函数的调用次数，以 106次 MCS 结果作为结构可靠性分析结果的参考解，在相同初始试验设计条件下，取停止阈值为 0.05、0.03 时，所提方法调用性能函数次数分别为 36、56，分别比 AK-MCS+U 和 AK-MCS+EFF 在调用次数上降低 69.2%6420246随机变量(a)45个样本点x16420246随机变量x2真实边界预测边界初始样本添加样本(b)70个样本点6420246随机变量x16420246随机变量x2真实边界预测边界初始样本添加样本6420246随机变量x16420246随机变量x2真实边界预测边界初始样本添加样本(c)100个样本点图3失效边界拟合过程：AK-MCS+UFig.3Failureboundaryfittingprocess:AK-MCS+U6420246随机变量x16420246随机变量x2真实边界预测边界初始样本添加样本(b)70个样本点6420246随机变量x16420246随机变量x2真实边界预测边界初始样本添加样本(c)98个样本点(a)45个样本点6420246随机变量x1642246随机变量x2真实边界预测边界初始样本添加样本图4失效边界拟合过程：所提方法Fig.4Failureboundaryfittingprocess:Theproposedmethod32工程力学和 79.8%，52.1%和 68.5%。取停止阈值为 0.3 时，所提方法在精确程度上均提升 100%。图 6 表明，所提方法在迭代过程的集成系数变化和失效概率收敛过程，经历 10 次迭代时，预测值开始接近参考解。表 5 比较不同方法 CPU 计算时间，所提方法计算效率较优。综上，所提方法适用于非线性系统结构。表4高非线性振子系统的计算结果Table4Calculationresultsofhighlynonlinearvibrationsubsystem误差限0方法模型评估/次失效概率Pf相对误差MCS1060.0285AK-MCS+U12+1050.02830.0070AK-MCS+EFF12+1560.02830.00700.05本文方法12+240.02880.01050.0312+440.02850.00004.3九自由度模型算例如图 7 所示，该算例为一个悬臂圆筒结构2425的九个变量问题，对悬臂结构施加 3 个外力和1 个扭转。为包含一组不同的随机变量，本文考虑三种类型的分布情况：正态分布、Gumbel 分布和均匀分布，具体参数如表 6 所示。其功能函数定义如下：g(x)=S max(26)式中：S 表示为结构屈服强度；max为结构在原点所受最大应力，表示为：max=2x+32zx(27)x=P+F1sin1+F2sin2A+MCI(28)Z(t)F(t)c1c2F(t)F1t1t图5高非线性振子系统Fig.5Highlynonlinearvibrationsubsystem表3高非线性振子系统的参数分布特征Table3Parameterdistributionofhighlynonlinearvibrationsubsystem变量参数分布均值标准差质量m正态1.000.05刚度c1正态1.000.10刚度c2正态0.100.01位置r正态0.500.05冲击时长t1正态1.000.20冲击幅值F1正态1.000.200510152025模型迭代次数/次0.00.20.40.60.81.0集成系数KrigingPC-Kriging05101520模型迭代次数/次0.000.010.020.030.040.05失效概率Pf失效概率 Pf置信区间 Pf+/Pf(a)集成系数变化曲线(b)失效概率收敛曲线图6所提方法：集成系数变化曲线和失效概率收敛曲线Fig.6Theproposedmethod:Ensemblecoefficientvariationcurveandfailureprobabilityconvergencecurve表5高非线性振子系统的 CPU 计算时间Table5CPUcalculationtimeofhighlynonlinearvibrationsubsystem方法总计算时间/sAK-MCS+U398.158AK-MCS+EFF716.368本文方法(0=0.05)317.360F1F2L2L1TPdtxzy21图7悬臂式圆筒结构Fig.7Cantilevercylinderstructure工程力学33其中：1=5，2=10，A=d2(d2t)2/4 是管的截面面积；M=F1L1cos1+F2L2cos2为所受弯矩；I=d4(d2t)4/64 为截面惯性矩；zx为扭转应力，zx=Td/2J，J=2I；c=d/2 为圆筒半径。该结构可靠性分析计算结果如表 7 与图 8 所示，表 8 比较各方法的 CPU 计算效率。所提算法在迭代 21 次失效概率收敛于 MCS 参考值，计算效率较高。在给定的阈值下，所有考虑的方法的候选设计样本 S 和初始训练点保持相同。结果表明，所提方法是求解高维问题有效的方法。实际上，与 AK-MCS+U 和 AK-MCS+EFF 方法相比，所提方法对功能函数的调用次数分别减少了 54%和 36%，47%和 29%。在停止阈值为 0.05 时，调用次数与预测真实的失效概率效果最好，可能是过拟合所致。综上结果，证明了所提方法在非线性程度和随机变量维数不同复杂性系统中的适用性。5结论本文提出基于自适应集成学习代理模型的结构可靠性分析方法，并用算例验证了该方法的合理性，具体如下：(1)将 Kriging 模型与 PC-Kriging 模型进行留一交叉验证，建立集成学习代理模型。综合两种模型的优势，应用于结构可靠性分析。(2)利用 Kriging 模型与 PC-Kriging 模型提供的预测点的统计特征，基于 U 学习函数，提出一种新的学习函数 UW。该算法提高了选点的效率。(3)通过 3 个非线性数值算例，对本文提出的基于自适应集成学习代理模型的结构可靠性分析方法，大幅减少了对功能函数的调用次数，以及准确地估计失败概率，减少错误率。需要说明的是，本文方法在建模、计算中没有对结构功能函数的非线性形式、随机变量数量做特定假设。因此，理论上，该方法能够应用于工程中非线性程度较高、随机变量复杂的情况。且通常情况下，真实结构或系统模型较代理模型的拟合过程要远远费时，构造多个代理模型所产生的额外计算量很小，并不会影响算法计算效率。表6悬臂式圆筒结构的分布参数特征Table6Distributionparametercharacteristicsofcantilevercylinderstructure变量分布参数1参数2t/mm正态5.000.10d/mm正态42.000.50L1/mm均匀119.75(下限)120.25(上限)L2/mm均匀59.75(下限)60.25(上限)F1/kN正态3.0(均值)0.3(标准差)F2/kN正态3.0(均值)0.3(标准差)P/kNGumbel12.0(均值)1.2(标准差)T/(Nm)正态90.0(均值)9.0(标准差)S/MPa正态220(均值)22(标准差)表7悬臂式圆筒结构的计算结果Table7Calculationresultsofcantilevercylinderstructure误差限0方法模型评估/次失效概率Pf相对误差MCS6.51071.533104AK-MCS+U12+591.4931040.026AK-MCS+EFF12+401.5601040.0180.05本文方法12+211.5281043.2601030.0312+251.5241045.870103表8悬臂式圆筒结构的 CPU 计算时间Table8CPUcalculationtimeofhighlynonlinearvibrationsubsystem方法总计算时间/sAK-MCS+U322.546AK-MCS+EFF262.687本文方法(0=0.05)298.51905101520模型迭代次数/次0.00.20.40.60.8集成系数KrigingPC-Kriging05101520模型迭代次数/次0.000.010.020.030.040.05失效概率Pf失效概率 Pf置信区间 Pf+/Pf(a)集成系数变化曲线(b)失效概率收敛曲线图8所提方法：集成系数变化曲线和失效概率收敛曲线Fig.8Theproposedmethod:Ensemblecoefficientvariationcurveandfailureprobabilityconvergencecurve34工程力学参考文献：ZHAO Y G,ONO T.A general procedure for first/second-order reliability method(FORM/SORM)J.StructuralSafety,1999,21(2):95112.1MELCHERS R.Importance sampling in structuralsystemsJ.StructuralSafety,1989,6(1):310.2AU S K,BECK J L.Estimation of small failureprobabilitiesinhighdimensionsbysubsetsimulationJ.ProbabilisticEngineeringMechanics,2001,16(4):263277.3DUBOURGV,SUDRETB,DEHEEGERF.Metamodel-based importance sampling for structural reliabilityanalysisJ.Probabilistic Engineering Mechanics,2013,33:4757.4LV Z,LU Z,WANG P.A new learning function forKriginganditsapplicationstosolvereliabilityproblemsin engineeringJ.Computers&Mathematics withApplications,2015,70(5):11821197.5韩彦彬,白广忱,李晓颖,等.基于SVM回归柔性机构的动态可靠性研究J.工程力学,2014,31(12):208216.HAN Yanbin,BAI Guangchen,LI Xiaoying,et al.Dynamicreliabilityresearchofflexiblemechanismbasedon support vector 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