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江苏省高考数学试题分类解析汇编
专题1：集合和复数
一、选择填空题
1.（江苏2004年5分）设集合P={1，2，3，4}，Q={x||x|≤2，x∈R}，则P∩Q等于【 】
(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {－2，－1，0，1，2}
【答案】A。
【考点】交集及其运算，绝对值不等式的解法。
【分析】先求出集合P和Q，然后再求P∩Q：
∵P={1，2，3，4}，Q={x||x|≤2，x∈R}={－2≤x≤2，x∈R}={1，2}，
∴P∩Q={1，2}。故选A。
2.（江苏2004年5分）设函数，区间M=[，]( <)，集合N={}，
则使M=N成立的实数对(，)有【 】
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个
【答案】A。
【考点】集合的相等。
【分析】∵∈M，M=[，]，
∴对于集合N中的函数f（x）的定义域为[，]，对应的的值域为N=M=[，]。
又∵，∴当∈（－∞，＋∞）时，函数是减函数。
∴N= 。
∴由N=M=[，]得 ，与已知<不符，即使M=N成立的实数对(，)为0个。故选A。
3.（江苏2005年5分）设集合，，，则=【 】
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】交、并、补集的混合运算。
【分析】∵集合A={1，2}，B={1，2，3}，∴A∩B=A={1，2}。
又∵C={2，3，4}，∴（A∩B）∪C={1，2，3，4}。故选D。
4.（江苏2005年4分）命题“若，则”的否命题为 ▲
【答案】若
【考点】命题的否定。
【分析】写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论。
由题意原命题的否命题为“若”。
5.（江苏2006年5分）若A、B、C为三个集合，AB=BC，则一定有【 】
（A）　　（B）　（C）　　（D）
【答案】A。
【考点】集合的混合运算。
【分析】∵，A∪B=BC，∴。故选A。
6.（江苏2007年5分）已知全集，，则为【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】交、并、补集的混合运算。
【分析】B为二次方程的解集，首先解出，再根据补集、交集意义直接求解：
由 得B={0，1}，∴CUB={∈Z|≠0且≠1}，∴A∩CUB={－1，2}。故选A。
7.（江苏2008年5分）若将复数表示为是虚数单位）的形式，则　　▲　　．
【答案】1。
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算。
【分析】利用复数除法的法则，分子分母同乘以分母的共轭复数即可：
∵ ，∴，∴。
8.（江苏2009年5分）若复数其中是虚数单位，则复数的实部为
▲ 。
【答案】－20。
【考点】复数代数形式的乘除运算。
【分析】把复数代入复数，化简，按多项式乘法法则，展开，化简为）的形式，即可得到实部：
∵，∴。
∴复数的实部为－20。
9.（江苏2010年5分）设复数z满足z(2－3i)=6＋4i（其中i为虚数单位），则z的模为　　▲　　.
【答案】2。
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模。
【分析】∵z（2－3i）=2（3＋2i），∴|z||（2－3i）|=2|（3＋2i）|。
又∵|2－3i|=|3＋2i|，，z的模为2。
10.（江苏2010年5分）设集合A={－1,1,3}，B={+2, 2+4},A∩B={3}，则实数=　　▲　　.
【答案】1。
【考点】交集及其运算
【分析】根据交集的概念，知道元素3在集合B中，进而求即可：
∵A∩B={3}，∴3∈B。
由+2=3 即=1；
又2+4≠3在实数范围内无解。
∴实数=1。
11.（江苏2011年5分）已知集合 则　　▲　　
【答案】。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的交集意义得。
12.（江苏2011年5分）设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是　　▲　　
【答案】1。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由得，所以的实部是1。
13. （2012年江苏省5分）已知集合，，则 ▲ ．[来源:Zxxk.Com]
【答案】。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得。
14. （2012年江苏省5分）设，（i为虚数单位），则的值为 ▲ ．
【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由得，所以， 。
二、解答题
1. （2012年江苏省10分）设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：
①；②若，则；③若，则。
（1）求；
（2）求的解析式（用表示）．
【答案】解：（1）当时，符合条件的集合为：，
∴ =4。
( 2 ）任取偶数，将除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过次以后．商必为奇数．此时记商为。于是，其中为奇数。
由条件知．若则为偶数；若，则为奇数。
于是是否属于，由是否属于确定。
设是中所有奇数的集合．因此等于的子集个数。
当为偶数〔 或奇数）时，中奇数的个数是（）。
∴。
【考点】集合的概念和运算，计数原理。
【解析】（1）找出时，符合条件的集合个数即可。
（2）由题设，根据计数原理进行求解。

2003年-2012年江苏省高考数学试题分类解析汇编
专题2：函数与导数
一、选择填空题
1.（江苏2003年5分）设函数的取值范围是【 】
A．（－1，1） B．（－1，＋∞）
C．（－∞，－2）∪（0，＋∞） D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
【答案】D。
【考点】分段函数已知函数值求自变量的范围问题，指数不等式的解法。
【分析】将变量按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并：
当≤0时，＞1，则＜－1；当＞0时， ＞1则＞1，
故的取值范围是（－∞，－1）∪（1，＋∞）。故选D。
2.（江苏2003年5分）函数的反函数为【 】
A． B．
C． D．
【答案】B。
【考点】反函数。指数式与对数式的互化，求函数的值域。
【分析】将，看做方程解出，然后根据原函数的定义域x∈（1，+∞）求出原函数的值域，即为反函数的定义域：
由已知，解得。
又∵当x∈（1，+∞）时，，∴。
∴函数的反函数为；。故选B。
3.（江苏2003年5分）设，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为到曲线对称轴距离的取值范围为【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】导数的几何意义，直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，点到直线的距离。
【分析】由导数的几何意义，得到的范围，再求出其到对称轴的范围：
∵过的切线的倾斜角的取值范围是∴∈[0，1]。
∴。
又∵点到曲线对称轴的距离，
∴。故选B。
4.（江苏2004年5分）若函数的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则【 】
(A) =2，=2 (B)=，=2 (C)=2，=1 (D)=，=
【答案】A。
【考点】对数函数的单调性与特殊点。
【分析】将两点代入即可得到答案：
∵函数y=log（x+）（＞0，≠1）的图象过两点（－1，0）和（0，1），
∴log（－1+）=0，log（0+）=1。
∴=2，=2。故选A。
5.（江苏2004年5分）函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是【 】
(A)1，－1 (B)1，－17 (C)3，－17 (D)9，－19
【答案】C。
【考点】函数的最值及其几何意义。
【分析】用导研究函数在闭区间[－3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值：
∵，且在[－3，－1）上，在（－1，0]上
∴函数在[－3，－1]上是增函数，在[－1，0]上是减函数。
又∵，
∴函数在闭区间[－3，0]上的最大值是3，最小值分别为－17。故选C。
6.（江苏2005年5分）函数的反函数的解析表达式为【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】反函数。
【分析】由函数解析式解出自变量，再把 、位置互换，即可得到反函数解析式：
∵
∴的反函数为：。故选 A。
7.（江苏2005年4分）曲线在点（1，3）处的切线方程是 ▲
【答案】。
【考点】导数的几何意义。
【分析】由题意得，∴。即曲线在点（1，3）处切线的斜率，所以切线方程为：，即。
8.（江苏2005年4分）若，,则= ▲
【答案】－1。
【考点】指数函数的单调性与特殊点。
【分析】先判断出0.618所在的范围，必须与3有关系，再根据在定义域上是增函数，得出所在的区间，即能求出的值：
∵＜0.618＜1，且函数在定义域上是增函数，
∴，－1＜＜0，则=－1。
9.（江苏2005年4分）已知为常数，若，，则=
▲ 。
【答案】2。
【考点】复合函数解析式的运用，待定系数法。
【分析】由，
得：，
即：。
比较系数得：，解得或。
∴求得：。
10.（江苏2007年5分）设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有【 】
A． B．
C． D．
【答案】B。
【考点】指数函数的单调性与特殊点，函数图象的对称性。
【分析】由函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，为单调增函数，由对称性知当时，是单调减函数，其图象的特征是自变量离1的距离越远，其函数值越大。
∵，∴。故选B。
11.（江苏2007年5分）设是奇函数，则使的的取值范围是【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】奇函数的性质，对数函数的单调性。
【分析】∵是奇函数，∴得。
∴由得解得 。故选A。
12.（江苏2007年5分）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为【 】
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】导数的运算
【分析】先求导，由可得，因为对于任意实数都有，所以结合二次函数的图象可得且，从而；又因为，利用均值不等式即可求解：，即的最小值为2。故选C。
13.（江苏2007年5分）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则　　▲　　.
【答案】。
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值。
【分析】先对函数求导：，令导函数等于0求出：=－2或=2。然后根据导函数的正负判断函数的单调性，列出在区间[-3，3]上的单调性、导函数的正负的表格，从而可确定最值得到答案：

可知M=24，=－8，∴。
14.（江苏2008年5分）设直线是曲线的一条切线，则实数的值是　　▲　　
【答案】。
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程。
【分析】要求实数的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可：
由求导得。令得，∴切点坐标为（2，2）。
将（2，2）代入直线方程，得。
15.（江苏2008年5分）设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为　　▲　　
【答案】4。
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值。
【分析】这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①，②，③三种情形：
若，则不论取何值，显然成立；
若 即时，可化为，
设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而；
若 即时，可化为，
在区间上单调递增，因此，从而。
综上所述，。
16.（江苏2009年5分）函数的单调减区间为 ▲ .学科网
【答案】。
【考点】利用导数判断函数的单调性。
【分析】要求函数的单调减区间可先求出，并令其小于零得到关于的不等式求出解集即可：
∵，
∴由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
17.（江苏2009年5分）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ▲ .学科网
【答案】（－2，15）。
【考点】导数的几何意义。
【分析】∵，又∵点P在第二象限内，∴。
∴点P的坐标为（－2，15）。
18.（江苏2009年5分）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 ▲ .学科网
【答案】＜。
【考点】指数函数的单调性。
【分析】∵，∴函数在R上递减。由得：＜。
19.（江苏2010年5分）设函数是偶函数，则实数=　　▲　　
【答案】－1。
【考点】函数奇偶性的性质。
【分析】∵是偶函数，∴为奇函数。
∴，即。∴=－1。
20.（江苏2010年5分）已知函数,则满足不等式的的范围是
　　▲　　。
【答案】。
【考点】分段函数的单调性。
【分析】分段讨论：
当时，，，则，。∴无解。
当时，，，则，。∴由得，
1，解得。∴此时的范围是（－1，0）。
当时，，，则，。∴由得，，解得。∴此时的范围是[0，）。
当时，，，则，。∴由得1，无解。
综上所述，满足不等式的的范围是。
21.（江苏2010年5分）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是　　▲　　。
【答案】。
【考点】求闭区间上函数的最值。
【分析】设剪成的小正三角形的边长为，则：
令，则：。
∴当时，有最大值，其倒数有最小值。
∴当，即时，S的最小值是。
本题还可以对函数S进行求导，令导函数等于0求出的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值。
22.（江苏2011年5分）函数的单调增区间是　　▲　　_
【答案】。
【考点】对数函数图象和性质。
【分析】由，得，所以函数的单调增区间是。
23.（江苏2011年5分）已知实数，函数，若，则a的值为　　▲　　
【答案】。
【考点】函数的概念，函数和方程的关系，含参数的分类讨论。
【分析】根据题意对分类：
当时， ，，解之得，不合舍去；
当时，，，解之得。
14.（江苏2011年5分）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为，则的最大值是　　▲　　
【答案】。
【考点】指数运算，函数的导数的求法及导数的几何意义，导数用于求函数的最值。
【分析】设P点坐标为，
由得，的方程为，令得，。
∴过点P的的垂线方程为，令得，。
∴。
对函数求导，得，
∴在上单调增，在单调减，当时，函数的最大值为。
15. （2012年江苏省5分）函数的定义域为 ▲ ．
【答案】。
【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
。
16. （2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式
的解集为，则实数c的值为 ▲ ．
【答案】9。
【考点】函数的值域，不等式的解集。
【解析】由值域为，当时有，即，
∴。
∴解得，。
∵不等式的解集为，∴，解得。
二、解答题
1.（江苏2003年12分）已知为正整数
（Ⅰ）设，证明；
（Ⅱ）设，对任意，证明
【答案】证明：（Ⅰ）∵，
∴。
（Ⅱ）对函数求导数：

∴
。
即对任意
【考点】导数的运算，不等式的证明。
【分析】（I）利用复合函数的求导法则，先求出外函数与内函数的导数，再求它们的乘积。
（II）先利用复合函数的求导法则求出函数的导函数，再求用+1代替求出导函数值，易比较出两者的大小。
2.（江苏2005年12分）已知，函数
⑴当时，求使成立的的集合；（4分）
⑵求函数在区间上的最小值（10分）
【答案】解：（1）由题意，
当时，由，解得或；
当时，由，解得
综上，所求解集为。
（2）设此最小值为
①当时，在区间[1，2]上，，
∵，，
∴是区间[1，2]上的增函数，所以。
②当时，在区间[1，2]上，，由知，。
③当时，在区间[1，2]上，，
∵
若，在区间（1，2）上，，则是区间[1，2]上的增函数，
∴。
若，则，
当时，，则是区间[1，]上的增函数，
当时，，则是区间[，2]上的减函数，
∴当时，或。
当时，，故。
当时，，故。
综上所述，，所求函数的最小值。
【考点】函数与导数综合运用，分段函数的解析式求法。
【分析】（1）把代入函数解析式，根据绝对值的符号分为两种情况，即和分别求解对应方程得根，再把所有的根用列举法表示出来。
（2）根据区间[1，2]和绝对值内的式子进行分类讨论，即、和三种情况，分别求出解析式和它的导函数，利用导函数的符号判断在闭区间上的单调性，再求最小值；当时最小值可能取在区间的两端，再通过作差和分类进行比较两个函数值的大小，最后用分段函数表示函数的最小值。
3.（江苏2006年14分） 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
【答案】解：设OO1为m，
则由题设可得正六棱锥底面边长为
∴底面正六边形的面积为
∴帐篷的体积为。
求导数，得。
令解得=－2(不合题意，舍去)，=2。
当1<<2时，,为增函数；当2<<4时，，为减函数。
∴当=2时，最大。
答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。
【考点】组合几何体的面积、体积问题，利用导数求闭区间上函数的最值。
【分析】设出顶点O到底面中心的距离，再求底面边长和底面面积，求出体积表达式，利用导数求出高为何时体积取得最大值。
4.（江苏2006年16分）　设a为实数，设函数的最大值为g(a)。
（Ⅰ）设＝，求的取值范围，并把表示为的函数（4分）
（Ⅱ）求 （6分）
（Ⅲ）试求满足的所有实数（6分）
【答案】解：（Ⅰ）对于，要使有意义，必须且，即。
∴，。∴的取值范围是。
由得，
∴。
（Ⅱ）由题意知为函数的最大值，注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论：
⑴当时，函数, 的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，
∴。
(2)当时，，，∴。
(3)当时,函数, 的图象是开口向下的抛物线的一段，
若，即则；
若，即则；
若，即则
综上,得 。
（Ⅲ）情形1：当时，此时，。由解得，与矛盾。
情形2：当时，，此时，。由解得与矛盾。
情形3：当时，，此时。 所以。
情形4：当时，，此时，。由解得，与矛盾。
情形5：当时，，此时，。由解得，与矛盾。
情形6：当时，，此时, 。由解得，由得。
综上所述，满足的所有实数为或。
【考点】函数最值的应用
【分析】（I）由＝先求定义域，再求值域。由转化。
（II）求的最大值，即求函数的最大值．严格按照二次函数求最值的方法进行。
（III）要求满足的所有实数，则必须应用的解析式，它是分段函数，必须分情况选择解析式进行求解。
5.（江苏2007年16分）已知是不全为的实数，函数，
，方程有实根，且的实数根都是的根，反之，的实数根都是的根，
（1）求的值；（3分）
（2）若，求的取值范围；（6分）
（3）若，求的取值范围。（7分）
【答案】解：（1）设是的根，那么，
则是的根，则即，∴。
（2）∵，∴，
则==0的根也是的根。
（a）当， 时，此时的根为0，而的根也是0，∴。
（b）当， 时，的根为0，而的根也是0。
（c）当，时，的根为0和，而的根不可能为0和，
∴必无实数根，
∴，由解得。
∴综上所述，当时，；当时，。
（3），∴，即的根为0和1。
∴=0必无实数根。
（a）当时，==，即函数在，恒成立。
又，∴，即
∴。
（b）当时，==，即函数在，恒成立。
又，∴，即，而，∴，∴不可能小于0。
（c）则这时的根为一切实数，而，∴符合要求。
∴综上所述，。
【考点】函数与方程的综合运用。
【分析】（1）不妨设为方程的一个根，即，则由题设得，从而由求解。
（2）由（1）知．所以有
==0。而方程。最后按方程的类型，分（ⅰ）， ，（ⅱ）， ，（ⅲ），讨论。
（3）由得，将函数的系数都用表示，分，，三种情况讨论。
6.（江苏2008年16分）已知函数，（为常数）．函数定义为：对每个给定的实数，
（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；
（2）设是两个实数，满足，且．若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）
【答案】解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于
（对所有实数）这又等价于，即
对所有实数均成立. （*）
由于的最大值为，
故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件。
（2）分两种情形讨论：
（i）当时，由（1）知（对所有实数）
O
y
x
(a,f(a))
(b,f(b))

图1
则由及易知，
再由的单调性可知，
函数在区间上的单调增区间的长度
为（参见示意图1）
（ii）时，不妨设，则，于是
当时，有，从而；
当时，有
从而 ；
当时，，及，由方程
解得图象交点的横坐标为
O
y
x
(a,f(a))
(b,f(b))
(x0,y0)
(p2,2)
(p1,1)
图2
⑴
显然，
这表明在与之间。由⑴易知

。
综上可知，在区间上， （参见示意图2）
故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得
⑵
故由⑴、⑵得 。
综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。
【考点】指数函数综合题。
【分析】（1）根据题意，先证充分性：由的定义可知，对所有实数成立，等价于对所有实数成立，等价于，即 对所有实数均成立，分析容易得证。
再证必要性：对所有实数均成立等价于，即。
（2）分两种情形讨论（i）当时，由中值定理及函数的单调性得到函数在区间上的单调增区间的长度；（ii）时，是两个实数，满足，且，根据图象和
函数的单调性得到函数在区间上的单调增区间的长度。
7.（江苏2009年16分）设为实数，函数.学科网
(1)若，求的取值范围；学科网
(2)求的最小值；学科网
(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
【答案】解（1）若，则
当时，，∴；
当时，无解。
∴的取值范围为。
（2）当时，；
当时，
∴综上。
（3）当时，解集为;
当时，解集为;
当时，解集为。
【考点】二次函数的性质，一元二次不等式的解法。
【分析】（1）再去绝对值求的取值范围。
（2）分和两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，最后综合即可。
（3）转化为，因为不等式的集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可。
时，由得，
∴
当时，；
当时，△>0,得：。因此，讨论得：
当时，解集为;
当时，解集为;
当时，解集为。
8.（江苏2010年16分）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。
(1)设函数，其中为实数。
(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质。给定设为实数，
，，且，
若||<||，求的取值范围。
【答案】解：（1）(i) 证：
∵时，恒成立，∴函数具有性质。
(ii)设，
当时，对于，
∴，故此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而。
当时，，，故此时在区间上递减，
同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；当时，在上递减；在上递增。
(2)由题意，得：，
又对任意的都有>0，
∴对任意的都有，在上递增。
又，
当时，，且，

综上所述，所求的取值范围是（0，1）。
【考点】利用导数研究函数的单调性。
【分析】（1）(i)先求出函数的导函数，然后将其配凑成这种形式，再说明对任意的∈（1，+∞）都有＞0，即可证明函数具有性质；
(ii)设，分和两种情况讨论：根据(i)令，讨论对称轴与2的大小，当时，对于，＞0，所以＞0，可得）在区间（1，+∞）上单调性，当时，图象开口向上，对称轴，可求出方程=0的两根，判定两根的范围，从而确定的符号，得到的符号，求出单调区间。
（2）对求导，由已知条件，应用不等式的性质求解。
9.（江苏2011年14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

【答案】解：设包装盒的高为，底面边长为。
由已知得。
（1）∵，
∴当时，S取得最大值。
（2）∵，∴。
由得，(舍)或。
∴当时；当时，
∴当时取得极大值，也是最大值，此时，
即包装盒的高与底面边长的比值为。
【考点】建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用
【分析】（1）可设包装盒的高为，底面边长为，写出，与的关系式，并注明的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可。
（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可。
10.（江苏2011年16分）已知，是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致.
（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数的取值范围；
（2）设且，若函数和在以，为端点的开区间上单调性一致，求|－|的最大值.
【答案】解：由得。
（1）由题意得，在上恒成立。
∵，∴。
∴，即在区间上恒成立。
∴，∴的取值范围是。
（2）令，解得。
若，由得。
又∵，∴函数和在上不是单调性一致的。
∴。
当时，，。∴函数和在上不是单调性一致的。
当时，，。∴函数和在上是单调性一致的。
∴由题设得且，从而，于是。
∴，且当时等号成立。
又当时，)，
从而当时，，∴函数和在上单调性一致的。
∴的最大值为。
【考点】单调性概念，导数运算及应用，含参数不等式恒成立问题。
【分析】（1）先求出函数和的导函数，再利用函数和在区间[－1，+∞）上单调性一致即在[-1，+∞）上恒成立，以及，来求实数的取值范围。
（2）先求出的根，讨论的取值范围，得到。再讨论和时两个单调性一致的情况，从而求得||的最大值。
11.（2012年江苏省16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。
已知是实数，1和是函数的两个极值点．
（1）求和的值；
（2）设函数的导函数，求的极值点；
（3）设，其中，求函数的零点个数．
【答案】解：（1）由，得。
∵1和是函数的两个极值点，
∴ ，，解得。
（2）∵ 由（1）得， ，
∴，解得。
∵当时，；当时，，
∴是的极值点。
∵当或时，，∴ 不是的极值点。
∴的极值点是－2。
（3）令，则。
先讨论关于 的方程 根的情况：
当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。
当时，∵， ，
∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。
由（1）知。
① 当时， ，于是是单调增函数，从而。
此时在无实根。
② 当时．，于是是单调增函数。
又∵，，的图象不间断，
∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。
同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。
③ 当时，，于是是单调减两数。
又∵， ，的图象不间断，
∴在（一1，1 ）内有唯一实根。
因此，当时，有两个不同的根满足；当 时
有三个不同的根，满足。
现考虑函数的零点：
( i ）当时，有两个根，满足。
而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。
( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。
而有三个不同的根，故有9 个零点。
综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。
【考点】函数的概念和性质，导数的应用。
【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。
（2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。
（3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。

2003年-2012年江苏省高考数学试题分类解析汇编
专题3：数列
一、选择填空题
1.（江苏2003年5分）已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则【 】
A．1 B． C． D．
【答案】C。
【考点】等差数列的性质，一元二次方程根与系数的关系。
【分析】设4个根分别为1、2、3、4，则1＋2=2，3＋4=2
由四个根组成一个首项为的的等差数列，设1为第一项，2必为第4项，可得数列为。
又∵=1·2=，=3·4=，
∴。故选C。
2.（江苏2004年4分）设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且4=54，则1的数值是
▲ .
【答案】2。
【考点】数列的求和。
【分析】根据4=S4－S3列式求解即可：
∵Sn=，4=54，且4=S4－S3，
∴，解得。
3.（江苏2005年5分）在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则=【 】
A．33 B．72 C．84 D．189
【答案】C。
【考点】等比数列的性质。
【分析】根据等比数列中，首项，前三项和为21，可求得，根据等比数列的通项公式，分别求得，和代入，即可得到答案：
∵在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，∴3+3+32=21。∴=2。
∴。∴。故选C。
4.（江苏2006年5分）对正整数n，设曲线在＝2处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是　▲　
【答案】。
【考点】应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前项和的公式。
【分析】∵，∴。
∴曲线在＝2处的切线的斜率为，切点为（2，）。
∴所以切线方程为。
把，代入，得。∴。
∴数列的前项和为。
5.（江苏2008年5分）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2　3
4　5　6
7　8　9　10
11　12　13　14　15
………………

按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为　　▲　　
【答案】。
【考点】归纳推理，等比数列的前项和。
【分析】前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（－1）个，即个，
∴第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为。
6.（江苏2009年5分）设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则= ▲ .学科网
【答案】。
【考点】等比数列的性质，数列的应用，等价转化能力和分析问题的能力。
【分析】∵，数列有连续四项在集合中，
∴有连续四项在集合中。
∴按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现－24，36，－54，81成等比数列，是中连续的四项，比为。
∴。
7.（江苏2010年5分）函数的图像在点()处的切线与轴交点的横坐标为，为正整数，，则　　▲　　
【答案】21。
【考点】抛物线的性质, 函数的切线方程,数列的通项。
【分析】求出函数在点()处的切线方程，然后令=0代入求出的值，再结合得到数列的通项公式，再得到的值：
∵函数在点()处的切线方程为：，当时，解得。
∴。∴。
8.（江苏2011年5分）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是　　▲　　
【答案】。
【考点】等差数列、等比数列的意义和性质，不等式的性质。
【分析】由题意得，
∴要求的最小值，只要求的最小值，而的最小值为1，
∴。∴。
二、解答题
1.（江苏2003年14分）设，如图，已知直线及曲线上的点的横坐标为作直线平行于轴，交直线作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列
（Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明
（Ⅲ）当时，证明
【答案】解：（Ⅰ）∵，
∴ 。
∴
。
∴。
（Ⅱ）证明：由a=1知
∵ ∴。
∵当 时，，∴。
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，
∴
= 。
【考点】数列递推式，不等式的证明。
【分析】（Ⅰ）根据，，的坐标求得， 从而通过公式法求得的通项公式。
（Ⅱ）把a=1代入，根据可推断。由于当时，．从
而可知。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时，代入中，
从而根据证明原式。
2.（江苏2004年12分）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数k；
(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数都有成立.
【答案】解：（I）当时，
由，即。
又。
（II）设数列{an}的公差为d，则在中分别取=1，2,得
。
解得。
若成立；
若
故所得数列不符合题意。
若；
若。
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
①{an} : an=0，即0，0，0，…；
②{an} : an=1，即1，1，1，…；
③{an} : an=2n－1，即1，3，5，…。
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的性质。
【分析】（I）利用等差数列的求和公式表示出前n项的和，代入到求得。
（Ⅱ）设