医疗设备延期保修策略与定价——基于博弈论的最优决策_张才文.pdf

第 26 卷第 2 期2023 年 2 月管理科学学报JOUNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINAVol 26 No 2Feb 2023doi:10 19920/j cnki jmsc 2023 02 002医疗设备延期保修策略与定价 基于博弈论的最优决策张才文，谭清元(中山大学管理学院，广州 510275)摘要:研究制造商和医院在医疗设备延期保修策略和定价问题上的博弈和最优决策 与现有研究相比，本文提出了更加灵活多样的延保策略，并考虑了设备的预防性检修这一重要的售后服务选项 本研究将医院分成两种类型，即大型医院和中小型医院 制造商提供 6 种延期保修方案供医院选择 由于受到各种现实条件的制约，在医疗设备售后服务市场上，医院依赖于制造商提供延期保修服务，因此本文采用了 Stackelberg 模型分析制造商和医院之间的博弈和决策，构建了 Weibull/M/S/M1+M2/FCFS 服务排队模型，并基于制造商利润最大化和医院效用最大化求得均衡解，最后采用仿真优化技术进行数值分析 研究发现，制造商的最优策略是在自己维保队伍的能力范围内尽可能服务更多的大型医院以提高自己的利润;而两类医院作为博弈的跟随者，他们的最优策略是选择享有维修优先权的高级全保方案，其中包含定期的预防性检修和故障维修服务，以实现效用最大化 另一方面，对于医疗设备的延保服务，包含预防性检修和故障维修的策略相对于仅提供故障维修的策略来说是一个帕累托改进，他能同时提高制造商的利润并降低医院的延保成本 鉴于此，对医疗设备进行预防性检修应该作为一项标准实践来推广关键词:医疗设备;延期保修;预防性检修;Stackelberg 博弈;排队模型中图分类号:F224 3文献标识码:A文章编号:1007 9807(2023)02 0015 210引言产品保修政策(warranty)是制造商与顾客之间的一项服务契约，他规定产品制造商或经销商在产品保修期内对产品出现的故障履行维修、更换或赔偿等义务 作为产品售后服务最重要的部分，保修政策不仅能够保障顾客的利益，减少产品质量问题给顾客带来的损失和风险，同时还能保护制造商免遭顾客不合理或过分的售后索赔，因而对售买双方都是有利的 另一方面，产品保修政策还可以被看作是产品质量和可靠性的指标，从而成为制造商营销和推广产品的手段1，2 在过去 30 年间，已经产生了很多关于产品保修方案及政策的研究文献3 8 尽管已经有大量的文献研究消费类产品的保修政策，但是针对医疗设备的保修政策的研究却十分稀少 医疗设备如 CT扫描仪(Computed Tomography)、MI 磁共振成像仪(Magnetic esonance Imaging)等具有十分独特的行业特性，如科技含量高、价格昂贵、工作负荷高、寿命长等9 12 如果医疗设备出现故障或存在缺陷，将会给医患双方造成严重的后果，直接影响病情的诊断、治疗和医疗服务质量，同时也会给医院带来经济损失 因此，医疗设备的维修和保养是医院管理的一项重要任务目前，为医疗设备提供售后维保服务的主要收稿日期:2020 12 07;修订日期:2021 09 26基金项目:国家自然科学基金资助项目(71771221)作者简介:张才文(1978)，男，湖北黄冈人，博士，副教授，博士生导师 Email:zhangcw mail sysu edu cn有三方力量:一是医院自雇的医学工程技术人员;二是原始设备制造商(简称制造商);三是第三方维保服务外包商(简称服务外包商)三种方案都有各自的优缺点 对于医院而言，雇用自己的医学工程技术人员可能是最好的选择 但是，由于医疗设备专业性强，技术越来越复杂，一些高端医疗设备也不断迈向智能化和网络化，这对于执行维修保养的工作人员的知识和技能的要求非常高 如果得不到制造商的充分支持，医院内部的医学工程技术人员很可能无法及时有效地完成设备的维修和保养9 另一方面，在医疗设备售后服务市场上，由于技术实力不足、无法获得制造商的技术支持文档和备件、专利及核心技术保护、维保质量不能保证、制造商的保护主义策略等原因，服务外包商通常也无法与制造商竞争11，13 因此，制造商基本能形成垄断优势关于保修政策的最优化决策问题不仅需要采用产品全生命周期的视角，而且还需要同时兼顾制造商和顾客的利益 博弈论提供了研究竞争双方或多方之间互动的有效方法和工具，他能在兼顾对方可能采取合作或非合作行动的情况下最大化己方的利益14 17 博弈模型已经被广泛应用于产品保修政策的分析、设计和优化，其中包括Nash 博弈模型1，18、Stackelberg 博弈模型19 20，合作博弈和非合作博弈等21 23 研究聚焦于医疗设备延期保修(extendedwarranty，延保或 EW)的策略与定价问题 迄今为止，大部分有关保修策略的研究都是关于基本保修(basic warranty)基本保修的执行成本通常包含在产品的售价中24，25 有关延期保修的研究相对比较少 延期保修是一项可选的服务，其为产品提供基本保修期结束后一定期限之内的维保服务26 29 Jack 和 Murthy25 提出了一个简单的模型，分析一个制造商和一个顾客之间的博弈，以及延保政策的设计问题;其中，顾客可以选择购买延保合同或选择每次支付维修费用 Moura 等12 针对医疗设备的延保策略问题展开了研究，其采用了 Stackelberg 模型分析了设备制造商和医院之间的竞争博弈，但该文所研究的延保策略中没有考虑预防性检修(preventive maintenance，PM)对于医疗设备而言，为了确保设备运行的稳定性、安全性，以及服务质量和效率，快速高效的故障维修和定期的预防性检修都同等重要9 已经有研究表明 PM 服务对于保修策略的优化设计有重要影响30 32 因此本研究目标之一是分析 PM 服务对医疗设备延保策略的影响另一方面，当制定保修政策时，如果能提供若干备选方案从而使顾客可以从中选择最适合自己的选项，将有利于提高顾客的满意度 但是，迄今为止有关灵活保修政策(flexible warranty policy)的研究很少5，12 鉴于此，本研究将改进前人的研究，提出更加灵活和丰富的延保政策，并考虑PM 服务这一重要的售后服务选项，研究医疗设备的最优延保策略与定价以及医院的最优选择问题1问题描述研究聚焦于延保阶段主要有以下原因 在基本保修期，所有的故障维修都由制造商负责，而顾客不用支付额外的成本5，30 但是，在延保阶段如何制定和选择最优的延保政策对于制造商和顾客而言都需要认真权衡利弊 对于制造商而言，虽然延保合同可以为自己带来额外的收益，但同时也需要付出额外的维保服务执行成本 对于顾客而言，如何选择最优的延保合同，比如合同是否包含PM 服务，同样需要权衡成本和收益 选择购买包含 PM 服务的合同虽然要支付额外的成本，但也能降低设备发生故障的风险，延缓设备的老化，并延长设备的寿命 因此，是否包含 PM 服务也是延保政策设计和选择中的重要变量借鉴 Moura 等12 将研究对象医院按照规模的大小分成两类，即大型医院和中小型医院 大型医院购置的医疗设备较多，就诊患者也多，医院财力雄厚，设备使用率高，因此维保需求量大 中小型医院所购置的医疗设备较少，就诊患者也相对较少，因此设备使用率较前者低，维保需求量较小 另外，假设每类医院都是“均质的”(homoge-neous)，即同一类型医院都具有相同的风险偏好，并会做出相似的决策12 当设备的基本保修期结束之后，医院需要选择购买延保合同或方案 研究提出的延保方案取决于三个变量 第一个变量是关于延保的合同形61管理科学学报2023 年 2 月式，即“全保”和“次保”两种 全保即医院以一定的价格购买一段时间内的全部维保服务，而无须为合同期内发生的维保服务支付额外的费用;次保即医院在设备出现故障时为每一次的维修服务支付相应的费用 当一台设备发生故障时，他将进入待修设备队列等候制造商的技术人员进行维修 在 Moura 等12 一文中，作者假设制造商只有一支维修服务队伍;但考虑制造商拥有多支维修服务队伍的情境，以期更加符合现实 因而就产生了第二个变量，即接受维修服务的优先级别 如果一家医院为其设备购买了高优先级的服务，则在设备出现故障时享有优先接受服务的权利，即可以进入待修队伍的前列;如果队伍中存在多个享有相同优先级的设备，则将按照“先来先得”(first-come，first-served，FCFS)的原则接受服务第三个变量是延保方案是否包含 PM 服务因此，制造商总共可以向医院提供 6 种延保方案，分别是:A1享有优先权的高级全保方案甲(包含 PM 服务);A2享有优先权的高级全保方案乙(不含 PM 服务);A3无优先权的标准全保方案甲;A4无优先权的标准全保方案乙;A5享有优先权的高级次保;A6无优先权的标准次保 理论上，医院也可选择不购买任何延保方案，记为 A0 6 种延保方案的具体描述如下:A1:高级全保方案甲医院以固定的价格与制造商签订延保合同，并在设备发生故障时在待修队列中享有较高的优先级 合同价格为 PHEWA，合同有效期为 T 合同期内制造商须为医院的设备提供定期的 PM 服务和故障维修服务，并承诺在设备发生故障时，在 H时间内选派维保队伍上门;若实际等待时间 y H，则认定为上门延误，制造商须向医院支付H(y H)的延误赔偿金 在合同期 T 内，所有的维保服务均由制造商负责，不再向医院收取额外费用A2:高级全保方案乙医院以固定的价格与制造商签订延保合同，并在设备发生故障时在待修队列中享有较高的优先级 合同价格为 PHEWB，合同有效期为 T 合同期内制造商仅为医院的设备提供故障维修服务，而不提供 PM 服务，并承诺在设备发生故障时，在 H时间内选派维保队伍上门;若实际等待时间 y H，则认定为上门延误，制造商须向医院支付H(y H)的延误赔偿金 在合同期 T 内，所有的维保服务均由制造商负责，不再向医院收取额外费用A3:标准全保方案甲医院以固定的价格 PLEWA与制造商签订延保合同，在设备发生故障时依次序加入待修队列 合同有效期为 T，在合同期内制造商为医院的设备提供定期的 PM 服务和故障维修服务，并承诺在设备发生故障时，在 L时间内选派维保队伍上门，若 出 现 上 门 延 误，制 造 商 须 向 医 院 支 付L(y L)的延误赔偿金 在合同期 T 内，所有的维保服务均由制造商负责，不再向医院收取额外费用A4:标准全保方案乙医院以固定的价格 PLEWB与制造商签订延保合同，在设备发生故障时依次序加入待修队列 合同有效期为 T，在合同期内制造商仅为医院的设备提供故障维修服务，而不提供 PM 服务，但承诺在设备发生故障时，在 L时间内选派维保队伍上门，若出现上门延误，制造商须向医院支付 L(y L)的延误赔偿金 在合同期 T 内，所有的维保服务均由制造商负责，不再向医院收取额外费用A5:高级次保当医疗设备发生故障时，享有维修优先权，加入待修设备的前列 制造商为设备提供最小维修服务(minimal repair，M)，使设备恢复到故障前的状态，医院在设备修复后支付当次维修费用 PHM 由于没有签订合同，制造商对于等待维修的时间不作承诺，也不存在延误赔偿金A6:标准次保当医疗设备发生故障时，不享有维修优先权，依次序加入待修队列 制造商为设备提供最小维修服务，使设备恢复到故障前的状态，医院在设备修复后支付当次维修费用 PLM 由于没有签订合同，制造商对于等待维修的时间不作承诺，也不存在延误赔偿金表 1 列出了 6 种延保方案的对比 延保方案A1，A3的示意图见图 1 在延保期 T 内，制造商执行定期的 PM 服务，因而将延保期 T 划分为若干个小周期 T 在每个小周期 T内，若设备发生随71第 2 期张才文等:医疗设备延期保修策略与定价 基于博弈论的最优决策机故障，制造商将为设备提供故障维修，即 M 服务 延保方案 A2，A4，A5，A6的示意图见图 2 在延保期 T 内，若设备发生随机故障，制造商将为设备执行故障维修表 16 种延保方案的对比Table 1 Comparison of the six EW policies延保方案定价优先级PM延误赔偿金A1PHEWA高H(y H)A2PHEWB高H(y H)A3PLEWA低L(y L)A4PLEWB低L(y L)A5PHM高无A6PLM低无图 1延保方案 A1，A3的示意图Fig1 Illustration of operations of EW policies A1，A3图 2延保方案 A2，A4，A5，A6的示意图Fig 2 Illustration of operations of EW policies A2，A4，A5，A6鉴于前文所述的制造商在医疗设备售后服务市场上的垄断地位，采用 Stackelberg 模型来分析制造商和医院之间的博弈行为 博弈分两阶段进行:1)首先，制造商(先行者)分析医院的最高支付意愿，并制定延保方案，包括延保期、方案定价、PM 服务的周期等;2)两类医院(跟随者)分析制造商提供的延保方案，选择最优的全保或次保方案，以及是否购买服务优先权2模型构建模型的构建需要以下基本假设:1)医疗设备的基本保修期是固定的，保修期满时，设备的状态相同，不受保修期内设备运行、故障和维修的情况影响 延保期也为定值2)医疗设备会随着使用年限的增长而逐渐老化，其故障发生时间服从形状参数为 k，比例参81管理科学学报2023 年 2 月数为 的 Weibull 分布3)当设备发生故障时，仅执行 M 服务，维修完成后设备故障率恢复到故障发生前的水平，即“恢复如旧”故障维修的耗时服从参数为 的指数分布，值越大，表示维修服务的平均耗时越短4)PM 服务的耗时是常量，执行 PM 服务的时间点是预定的，经合理安排后设备无需排队等待为方便阅读，表 2 对文中的变量和参数符号给予了定义或解释说明;其中，决策变量包括两类医院的服务数量 M1，M2，延保期内 PM 服务的周期数 ，以及各延保方案的定价 PcEWA，PcEWB，PcM，其余是模型参数表 2符号与释义Table 2 Notations and explanations符号释义T延保期TPM 服务执行周期，固定长度k，Weibull 分布形状参数，比例参数=T/T，延保期 T 被 PM 服务均分成小周期 T的数量cc=H，L，指代服务优先级:H 指代高优先级，L 指代低优先级1，2大型医院、中小型医院使用某种医疗设备单位时间创造的收益b1，b2大型医院、中小型医院拥有的医疗设备的数量w延保期 T 内，医院使用某种医疗设备所获得的经济收益医院的社会效益1，2大型医院、中小型医院医疗设备的单位时间平均接诊人次A1*，A2*大型医院、中小型医院选择的最优延保方案c医院购买 c 类服务时，制造商承诺的从设备发生故障到上门修理的最长时间c惩罚因子，制造商因上门延误向医院支付的单位时间延误赔偿金p执行一次 PM 服务的耗时故障维修时间服从参数为 的指数分布1，2医院效用函数的权重系数PcEWAc 类服务的全保方案甲的价格PcEWBc 类服务的全保方案乙的价格PcMc 类服务的次保价格U1，U2大型医院、中小型医院的效用函数Nj1 j ，在 Tj1，Tj内执行的 M 次数N在没有 PM 服务的情况下，一个延保期 T 内执行 M 服务的总次数Xji1 i Nj，在Tj1，Tj内从发生第(i 1)次故障到第 i 次故障之间的设备运转时间Xi1 i N，在延保期 T 内从发生第(i 1)次故障到第 i 次故障之间的设备运转时间Xj发生第 Nj次故障后到 Tj截止时的设备运转时间X发生第 N 次故障后到延保期 T 结束时的设备运转时间yji在Tj1，Tj内，从第 i 次故障发生到维修人员上门修理的等待时间Cpm，Cmr执行一次 PM 的平均成本，执行一次 M 的平均成本vv=j=(1Nji=1max 0，(yji)，表示延保期 T 内每台设备的延误总时长M1，M2，M制造商服务的大型医院，中小型医院的数量，以及总数 M=M1+M2S制造商拥有的维修队伍数量Pc，maxEWA医院愿意支付的 c 类服务全保方案甲的最高价格Pc，maxEWB医院愿意支付的 c 类服务全保方案乙的最高价格Pc，maxM医院愿意支付的 c 类服务次保的最高价格91第 2 期张才文等:医疗设备延期保修策略与定价 基于博弈论的最优决策2 1故障与维修模型现有文献中许多以故障发生服从指数分布为基本假设，但指数分布虽然可以带来数学上的简便却在很多实际应用中并不符合现实 因此，采用更加灵活的 Weibull 分布来模拟设备的故障发生时间，其在可靠性分析和寿命测试领域已经得到非常广泛和成功的应用33 假设设备的故障发生时间 t 服从形状参数为 k、比例参数为 的Weibull 分布，其概率分布函数为F(t)=1 exp t()k，t 0(1)假设 PM 是不完美维修，能够减缓设备的老化速度，在一定程度上降低设备的故障率 对设备定期地执行 PM 服务会降低其故障发生的概率以 t0表示执行 PM 或 M 服务时设备的总服役时长，令 x 表示设备在接受 PM 或 M 服务并重新运行后到发生下一次随机故障之间的时间，则可知其服从条件 Weibull 分布12，其概率密度函数为f(x|t0;，k)=kx+t0()k1expt0()kx+t0()k(2)上式的推导过程如下F(x|t0)=P(X x+t0|X t0)=P(t0 X x+t0)P(X t0)=e(t0)k e(x+t0)ke(t0)k=1 e(t0)k(x+t0)k故概率密度函数为f(x|t0)=ddxF(x|t0)=kx+t0()k1expt0()kx+t0()k因此，在后续的仿真实验中可以通过式(2)生成随机故障发生时间 x，即x=t0()k ln(Unif(0，1)1k t0(3)其中 Unif(0，1)表示在(0，1)区间上均匀分布的随机数2 2医院的效用函数在中国，公立医院是医疗服务体系的主体 与企业以追求利润最大化为目标不同的是，公立医院是满足国民医疗需求、提供公共服务的主体，因而更多的体现其公益性和社会责任 2019 年国务院办公厅发布的关于加强三级公立医院绩效考核工作的意见 也明确指出，既要坚持公立医院的公益性导向，也要保证医院医疗收入结构的合理性，推动实现收支平衡、略有结余，有效体现医务人员技术劳务的价值 因此，研究采用的医院效用函数将由两部分构成，一部分反映医院的经济收益，另一部分体现医院的社会效益 34，即U=1w+2(4)其中 1，2为权重系数;w 为医院的经济收益;为医院的社会效益医生使用医疗设备为患者进行医学检查或辅助诊疗，将为医院创造一定的经济收益和社会效益，二者的大小应与医疗设备的运行时间成正比一般情况下，设备正常运行的时间越长，其为医院创造的经济收益和社会效益越大;而当设备停机时，则不创造任何经济收益或社会效益 本模型中，医院的经济收益由三部分构成:一部分来自使用医疗设备创造的医疗收入，与设备的运行时间成正比;另一部分来自设备故障时制造商因维修队伍上门延误而支付给医院的延误赔偿金;此外，还需扣除医疗设备的维保成本 在医疗设备正常运行的情况下，将大型医院每单位时间创造的收益设为 1，中小型医院每单位时间创造的收益设为 2 将大型医院拥有的设备数量设为 b1，中小型医院的设备数量设为 b2 以大型医院购买延保方案 A1为例，医院使用医疗设备所获得的经济收益 构 成 包 括:b1台 设 备 共 产 生 的 收 益 为b1l=(11j=(1Nji=1Xji+X)j;延 误 赔 偿 金 为b1l=(1Hj=(1Nji=1max 0，(yjiH);支付给制造商的维保费用为 PHEWAb1 以此类推，根据医院选择的不同延保方案 A1A6，在延保期T 内，医院获得的经济收益 w(A1)w(A6)分别为w(A1|h)=bhl=(1hj=(1Nji=1Xji+X)j+Hj=(1Nji=1max 0，(yjiH)PHEWAbh(5)02管理科学学报2023 年 2 月w(A2|h)=bhl=(1(hNi=1Xi)+X+HNi=1max 0，(yiH)PHEWBbh(6)w(A3|h)=bhl=(1hj=(1Nji=1Xji+X)j+Lj=(1Nji=1max 0，(yji L)PLEWAbh(7)w(A4|h)=bhl=(1(hNi=1Xi)+X+LNi=1max 0，(yiL)PLEWBbh(8)w(A5|h)=hbhl=(1Ni=1Xi)+X PHMN bh(9)w(A6|h)=hbhl=(1Ni=1Xi)+X PLMN bh(10)其中 h=1，2，分别指代大型医院和中小型医院(后文同理)在全保方案 A1，A3中，PM 服务会定期执行，此时总延保期 T 将被划分成 个 PM 执行周期，每个长度为 T 医院的社会效益与接诊量成正比 用医疗设备的运行时间与设备单位时间接诊人次的乘积来计算接诊量，因此延保期 T 内医院创造的社会效益(A1)(A6)可以表示为(A1|1)，(A3|1)b1l=(11j=(1Nji=1Xji+X)j(11)(A2|1)，(A4|1)，(A5|1)，(A6|1)b1l=1(1Ni=1Xi)+X(12)(A1|2)，(A3|2)b2l=(12j=(1Nji=1Xji+X)j(13)(A2|2)，(A4|2)，(A5|2)，(A6|2)b2l=1(2Ni=1Xi)+X(14)其中 1，2分别表示两类医院的医疗设备单位时间平均接诊人次 为简化表达，令 vH，vL表示延保期 T 内每台设备的延误总时长，即vH=j=(1Nji=1max 0，(yjiH)，若A1Ni=1max 0，(yi H)，若A2(15)vL=j=(1Nji=1max 0，(yjiL)，若A3Ni=1max 0，(yi L)，若A4(16)于是，医院的期望效用函数可以表示为E U(A1|h)=1hbhEj=(1Nji=1Xji+X)j+1HbhE vH 1PHEWAbh+2bhhEj=(1Nji=1Xji+X)j(17)E U(A2|h)=1hbh(ENi=1Xi)+X+1HbhE vH 1PHEWBbh+2bhhENi=1Xi+X(18)E U(A3|h)=1hbhEj=(1Nji=1Xji+X)j+1LbhE vL 1PLEWAbh+2bhhEj=(1Nji=1Xji+X)j(19)E U(A4|h)=1hbhENi=1Xi+X+1LbhE vL 1PLEWBbh+2bhhENi=1Xi+X(20)E U(A5|h)=1hbhENi=1Xi+X1PHME Nbh+2bhhENi=1Xi+X(21)E U(A6|h)=1hbhENi=1Xi+X1PLME Nbh+2bhhENi=1Xi+X(22)2 3制造商的利润函数制造商的利润来自延保合同的收入，但要扣除维保服务(包括 PM 和 M)的执行成本、延误赔偿金，以及维保队伍的运营成本 假设制造商执12第 2 期张才文等:医疗设备延期保修策略与定价 基于博弈论的最优决策行一次 PM 的平均成本是 Cpm，执行一次 M 的平均成本是 Cmr;制造商拟服务的医院总数为 M(=M1+M2)，并拥有 S(M)支维保队伍;制造商对维保队伍的专业化打造和运营的总成本是 S 的非线性函数(C0S+C1S2)19 对于维保队伍的总运营成本，根据两类医院所拥有的设备数量按比例进行分摊 将制造商为全部大型医院提供延保服务所获得的利润记为1，为全部中小型医院提供延保服务所获得的利润记为 2 例如，如果大型医院选择方案A1，则制造商为其提供延保服务所获得的利润用 1(A1)表示;其余同理 根据医院的方案选择，可以得到制造商所获得的期望利润分别为E h(A1)=Mhbh(PHEWA Cpm(1)CmrEj=1Nj HE vH)MhbhM1b1+M2b2(C0S+C1S2)(23)E h(A2)=Mhbh(PHEWBCmrE NHE vH)MhbhM1b1+M2b2(C0S+C1S2)(24)E h(A3)=Mhbh(PLEWA Cpm(1)CmrEj=1Nj LE vL)MhbhM1b1+M2b2(C0S+C1S2)(25)E h(A4)=Mhbh(PLEWBCmrE NLE vL)MhbhM1b1+M2b2(C0S+C1S2)(26)E h(A5)=Mhbh(PHM Cmr)E NMhbhM1b1+M2b2(C0S+C1S2)(27)E h(A6)=Mhbh(PLM Cmr)E NMhbhM1b1+M2b2(C0S+C1S2)(28)因此，制造商的总期望利润为E =E 1+E 2(29)3制造商和医院的博弈分析对于医院而言，需要从制造商提供的延保方案中选择其一以最大化其效用 而选择购买任一延保方案的前提是其购买后的效用必须高于不购买任何延保方案的效用3 1两类医院的决策分析医院的行动策略集为A0，A1，A2，A3，A4，A5，A6 若医院选择 A0，那么设备的运行会在第一次随机故障发生时停止，此时将两类医院在延保期 T 内的期望效用分别表示为 E U(A0|1)和 E U(A0|2)当医院选择策略集 A1，A2，A3，A4，A5，A6 中的任何一个时，其效用均不能低于选择 A0时的效用，据此可以得到医院的最高支付意愿 令 Pc，maxEWA和 Pc，maxEWB分别表示医院愿意为全保方案甲和乙支付的最高价格，Pc，maxM表示医院愿意为次保服务支付的最高价格，则可知这些价格满足以下条件E U(A1|h，Ph，H，maxEWA)=E U(A0|h)(30)E U(A2|h，Ph，H，maxEWB)=E U(A0|h)(31)E U(A3|h，Ph，L，maxEWA)=E U(A0|h)(32)E U(A4|h，Ph，L，maxEWB)=E U(A0|h)(33)E U(A5|h，Ph，H，maxM)=E U(A0|h)(34)E U(A6|h，Ph，L，maxM)=E U(A0|h)(35)制造商为了最大化其期望利润，在定价时有多种组合 为简化表达，以 PcEW表示 PcEWA和 PcEWB的统称;其他符号同理 若制造商的定价方案是(PcEW=Pc，maxEW，PcM Pc，maxM)，则会迫使医院购买全保方案 对于全保方案，若(PcEWA=Pc，maxEWA，PcEWBPc，maxEWB)，则医院将被迫购买包含 PM 服务和故障维修的方案甲;若(PcEWA Pc，maxEWA，PcEWB=Pc，maxEWB)，则医院将被迫购买仅包含故障维修服务的方案乙 另外，若(PHEW=PH，mmaxEW，PLEW PL，maxEW)，医院则会倾向于购买高优先级服务;若(PHEW PH，maxEW，PLEW=PL，maxEW)，医院则会倾向于购买低优先级服务;次保方案同理 为方便阅读，表 3 列举了在制造商的不同定价组合情况下两类医院的最优决策;其中，组合 1 的决策表示医院不购买任何延保方案;组合 2 组合 7 为大型医院的最优决策;组合 8 组合 13 为中小型医院的最优决策22管理科学学报2023 年 2 月3 2制造商的决策分析制造商的决策内容包括决定各全保方案价格、次保价格、延保期、PM 服务的次数或周期，以及两类医院的服务数量 制造商的期望利润取决于医院选择的延保方案、所服务的医院数量以及维保成本 令 M*1和 M*2分别表示制造商服务的大型医院和中小型医院的最优数量;A1*和 A2*分别表示两类医院所选择的最优延保方案;*1表示制造商在最优解 M*1和 A1*条件下从全部大型医院所获得的总利润;*2表示制造商在最优解 M*2和 A2*条件下从全部中小型医院所获得的总利润 于是，在延保期 T 内制造商的最大期望利润可以表示为E(PHEWA，PHEWB，PLEWA，PLEWB，PHM，PLM，S，|A1*，A2*，M*1，M*2)=E*1+E*2(36)其中 E*1和 E*2的计算公式，只需根据表 3中 A1*和 A2*的解将式(23)式(28)中的 M1，M2分别用最优解 M*1，M*2替代即可，为节省篇幅此处不再重复制造商的目标是最大化其期望利润，而根据前文可知，制造商的期望利润与延保方案的价格PHEWA，PHEWB，PLEWA，PLEWB，PHM，PLM有关，而这些价格的确定又与两类医院的最高支付意愿有关，因此需要分别对两类医院的最高支付意愿进行求解由前文可知，这些最高 支 付 意 愿，即 P1，c，maxEWA，P1，c，maxEWB，P2，c，maxEWA，P2，c，maxEWB，P1，c，maxM，P2，c，maxM满 足式(30)式(35)当医院不购买任何延保方案时，即选择 A0，医疗设备的运行会在第一次随机故障发生时停止，此时两类医院的期望效用分别为E U(A0|1)=11b1E X0+2b11E X0(37)E U(A0|2)=12b2E X0+2b22E X0(38)其中 X0表示医疗设备在延保期 T 内发生第一次随机故障之前的运行时间根据式(30)式(35)和式(37)式(38)，可得两类医院对 6 种延保方案的最高支付价格分别为Ph，H，maxEWA(=h+21)(hEj=(1Nji=1Xji+X)jE X0)+HE vH(39)Ph，H，maxEWB(=h+21)(h(ENi=1Xi)+XE X0)+HE vH(40)Ph，L，maxEWA(=h+21)(hEj=(1Nji=1Xji+X)jE X0)+LE vL(41)Ph，L，maxEWB(=h+21)(h(ENi=1Xi)+XE X0)+LE vL(42)表 3两类医院的最优决策Table 3 Optimal decisions for the two classes of hospitals组合制造商的定价策略医院的最优决策决策描述1PcEW Pc，maxEW，PcM Pc，maxMA1，2*=A0医院不购买任一延保方案2PHEWA=P1，H，maxEWA，PHEWB P1，H，maxEWB，PLEWA P1，L，maxEWA，PLEWB P1，L，maxEWB，PHM P1，H，maxM，PLM P1，L，maxMA1*=A1大型医院购买高级全保方案甲32第 2 期张才文等:医疗设备延期保修策略与定价 基于博弈论的最优决策续表 3Table 3 Continues组合制造商的定价策略医院的最优决策决策描述3PHEWA P1，H，maxEWA，PHEWB=P1，H，maxEWB，PLEWA P1，L，maxEWA，PLEWB P1，L，maxEWB，PHM P1，H，maxM，PLM P1，L，maxMA1*=A2大型医院购买高级全保方案乙4PHEWA P1，H，maxEWA，PHEWB P1，H，maxEWB，PLEWA=P1，L，maxEWA，PLEWB P1，L，maxEWB，PHM P1，H，maxM，PLM P1，L，maxMA1*=A3大型医院购买标准全保方案甲5PHEWA P1，H，maxEWA，PHEWB P1，H，maxEWB，PLEWA P1，L，maxEWA，PLEWB=P1，L，maxEWB，PHM P1，H，maxM，PLM P1，L，maxMA1*=A4大型医院购买标准全保方案乙6PHEWA P1，H，maxEWA，PHEWB P1，H，maxEWB，PLEWA P1，L，maxEWA，PLEWB P1，L，maxEWB，PHM=P1，H，maxM，PLM P1，L，maxMA1*=A5大型医院选择高级次保方案7PHEWA P1，H，maxEWA，PHEWB P1，H，maxEWB，PLEWA P1，L，maxEWA，PLEWB P1，L，maxEWB，PHM P1，H，maxM，PLM=P1，L，maxMA1*=A6大型医院选择标准次保方案8PHEWA=P2，H，maxEWA，PHEWB P2，H，maxEWB，PLEWA P2，L，maxEWA，PLEWB P2，L，maxEWB，PHM P2，H，maxM，PLM P2，L，maxMA2*=A1中小型医院购买高级全保方案甲9PHEWA P2，H，maxEWA，PHEWB=P2，H，maxEWB，PLEWA P2，L，maxEWA，PLEWB P2，L，maxEWB，PHM P2，H，maxM，PLM P2，L，maxMA2*=A2中小型医院购买高级全保方案乙42管理科学学报2023 年 2 月续表 3Table 3 Continues组合制造商的定价策略医院的最优决策决策描述10PHEWA P2，H，maxEWA，PHEWB P2，H，maxEWB，PLEWA=P2，L，maxEWA，PLEWB P2，L，maxEWB，PHM P2，H，maxM，PLM P2，L，maxMA2*=A3中小型医院购买标准全保方案甲11PHEWA P2，H，maxEWA，PHEWB P2，H，maxEWB，PLEWA P2，L，maxEWA，PLEWB=P2，L，maxEWB，PHM P2，H，maxM，PLM P2，L，maxMA2*=A4中小型医院购买标准全保方案乙12PHEWA P2，H，maxEWA，PHEWB P2，H，maxEWB，PLEWA P2，L，maxEWA，PLEWB P2，L，maxEWB，PHM=P2，H，maxM，PLM P2，L，maxMA2*=A5中小型医院选择高级次保方案13PHEWA P2，H，maxEWA，PHEWB P2，H，maxEWB，PLEWA P2，L，maxEWA，PLEWB P2，L，maxEWB，PHM P2，H，maxM，PLM=P2，L，maxMA2*=A6中小型医院选择标准次保方案Ph，H，maxM=h+21()h(ENi=1Xi)+X E X0E N(43)Ph，L，maxM=h+21()h(ENi=1Xi)+X E X0E N(44)由上可见，两类医院对于 6 种延保方案的最高支付价格 P1，c，maxEWA，P1，c，maxEWB，P2，c，maxEWA，P2，c，maxEWB，P1，c，maxM，P2，c，maxM取决于设备的故障时间、制造商的维修延误时间、修理时间等变量 由于所求解的问题涉及优先队列(priority queue)所以复杂度很高，其解析解过于复杂，故采用基于仿真的优化方法来进行数值分析和求解35 37 4仿真求解算法将维修队伍看成服务台，则待修设备接受服务 的 排 队 模 型 为 Weibull/M/S/M1+M2/FCFS;其中各参数的涵义为:Weibull 表示每台设备的故障发生时间服从 Weibull 分布;M 表示故障维修服务的时间服从指数分布;S 表示维修队伍的数量;表示系统容量为无穷大;M1+M2表示系统中两类顾客的总数量分别为 M1和M2;FCFS 表示服务规则为先到先得 需要指出的是，PM 服务属于计划内的维保活动，故执行 PM服务的设备不进入排队系统，制造商可以合理安排 PM 服务的执行时间 因此，给定参数 M1，M2，b1，b2，S，生成(M1b1+M2b2)个设备的随机故障52第 2 期张才文等:医疗设备延期保修策略与定价 基于博弈论的最优决策发生时间，则排队模型的流程图如图 3 所示，其算法步骤如下:S1:令初始时刻 t=0，一台设备离去的时刻 td=，e(e=1，2)类医院选择 c 类服务时的设备n 的初始累计故障次数为 ge，cn=0，生成 e 类医院选择 c 类服务时的设备 n 的第 m 次随机故障时点te，cnm(te，cnm T);S2:取余下随机故障时点中的最小值，令 t=min te，cnm，当前时刻跳到最近的一次故障时刻;S3:判断 t td是否成立;若 t td成立，则执行 S3 1;否则，执行 S3 2;S3 1:排队系统处理到达事件:S3 1 1:判断 c=H 是否成立;若 c=H 成立，则说明发生故障的是高优先级设备，令 ta1=t，将当前故障时刻储存在ta1，并执行 S3 1 1(a);