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山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 一、向量的数量积一、向量的数量积引例引例.设一物体在常力 F作用下,沿与力夹角为的直线移动,位移为 s,则力F 所做的功为 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 1.向量的投影的概念向量的投影的概念设设a、b0，将其始点移至同一点，将其始点移至同一点O，BabAO为为向量向量a 与与b之间的夹角，之间的夹角，记作（记作（a,b),或（或（b，a）且）且两非零向量的夹角：两非零向量的夹角：山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 记作 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 2.数量积的定义数量积的定义记为记为ab，两个向量两个向量a与与b的数量积等于的数量积等于又称数积、内积、点积，其值为一个数量。又称数积、内积、点积，其值为一个数量。及其夹角及其夹角 余弦的乘积余弦的乘积，即即ab=|a|b|cos=两个向量的模两个向量的模|a|、|b|其中其中 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 性质 （为什么？）ab=|a|b|cos 为两个非零向量,则有（为什么？）规定：零向量垂直于任何向量规定：零向量垂直于任何向量 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 运算律运算律(1)交换律 (2)结合律 (3)分配律练习：P207习题8-3第1题 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 例例1.证明余弦定理证证:则如图.设 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 3.数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于4.两向量的夹角公式,得 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 相关例题：见课本203页注意：思考：求一个向量需要知道几个条件？山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 例例2.已知三点 AMB.解解:则求故 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 解：解：因因所以所以构成一个等边三角形且构成一个等边三角形且且且求求例例3.设设 是单位向量，是单位向量，且且 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 为 ).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例例4.设均匀流速为与该平面域的单位垂直向量解解:单位时间内流过的体积的夹角为且的流体流过一个面积为 A 的平面域,为单位向量 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M:的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 1.定义定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 注意：ab是一个向量；而且其特征为方向与是一个向量；而且其特征为方向与a与与b都都垂直，模等于以垂直，模等于以a,b为邻边的平行四边形的面为邻边的平行四边形的面积。积。即：即：思考思考:三角形面积S 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 2.性质性质为非零向量,则3.运算律运算律(2)分配律(3)结合律 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 4.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 向量向量a与与b平行平行aybz-azby=azbx-axbz=axby-aybx=0上式说明：两非零向量平行上式说明：两非零向量平行对应坐标成比例；对应坐标成比例；上式中，若有分母为零，则对应的分子也为零。上式中，若有分母为零，则对应的分子也为零。山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 相关例题：课本206页例14例17n请练习：710 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 补充例补充例1.已知三点角形 ABC 的面积 解解:如图所示,求三机动 目录 上页 下页 返回 结束 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 内容小结内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 2.向量关系:山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 思考与练习思考与练习1.设计算并求夹角 的正弦与余弦.答案答案:2.用向量方法证明正弦定理:机动 目录 上页 下页 返回 结束 山东水利职业学院数理化教研室高等数学多媒体课件 High Mathematics 证证:由三角形面积公式所以因机动 目录 上页 下页 返回 结束