202X保定市中考数学几何综合压轴题模拟专题.doc

202X保定市中考数学几何综合压轴题模拟专题

一、中考几何压轴题
1．已知：，过平面内一点分别向、、画垂线，垂足分别为、、．
（问题引入）
如图①，当点在射线上时，求证：．

（类比探究）
（1）如图②，当点在内部，点在射线上时，求证：．

（2）当点在内部，点在射线的反向延长线上时，在图③中画出示意图，并直接写出线段、、之间的数量关系．
（知识拓展）
如图④，、、是的三条弦，都经过圆内一点，且．判断与的数量关系，并证明你的结论．

2．已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE．

（观察猜想）
（1）CM与BE的数量关系是________；CM与BE的位置关系是________；
（探究证明）
（2）如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由；
（拓展延伸）
（3）若旋转角，且，求的值．
3．如图，已知和均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现：
如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则＝　 　°，线段BD、CE之间的数量关系是　 　；
（2）拓展探究：
如图②，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：
如图③，，，AE＝2，连接CE、BD，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出EC的长．

4．综合与实践
（1）问题发现：正方形ABCD和等腰直角△BEF按如图①所示的方式放置，点F在AB上，连接AE、CF，则AE、CF的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）类比探究：正方形ABCD保持固定，等腰直角△BEF绕点B顺时针旋转，旋转角为α(0°<α ≤360°)，请问（1）中的结论还成立吗？请就图②说明你的理由：
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若AB= 2 BF= 4，在等腰直角△BEF旋转的过程中，当CF为最大值时，请直接写出DE的长．

5．《函数的图象与性质》拓展学习展示：
（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴相交于，两点，与轴交于点，则______，______．
（操作）将图①中抛物线沿方向平移长度的距离得到拋物线，在轴左侧的部分与在轴右侧的部分组成的新图象记为，如图②．请直接写出图象对应的函数解析式．
（探究）在图②中，过点作直线平行于轴，与图象交于，两点，如图③．求出图象在直线上方的部分对应的函数随的增大而增大时的取值范围．
（应用）是抛物线对称轴上一个动点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标．

6．随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节：（观察猜想）-（探究证明）-（拓展延伸）．下面同学们从这三个方面试看解决下列问题：
已知：如图1所示将一块等腰三角板放置与正方形的重含，连接、，E是的中点，连接．

（观察猜想）
（1）与的数量关系是________，与的位置关系是___________；
（探究证明）
（2）如图2所示，把三角板绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与的关系是否仍然成立，并说明理由；
（拓展延伸）
（3）若旋转角，且，求的值．
7．（阅读理解）
定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫“协和线”，该四边形叫做“协和四边形”．
（深入探究）
（1）如图1，在四边形中，，，请说明：四边形是“协和四边形”．
（尝试应用）
（2）如图2，四边形是“协和四边形”，为“协和线”，，，若点、分别为边、的中点，连接，，．求：
①与的面积的比；
②的正弦值．
（拓展应用）
（3）如图3，在菱形中，，，点、分别在边和上，点、分别在边和上，点为与的交点，点在上，连接，若四边形，都是“协和四边形”，“协和线”分别是、，求的最小值．

8．（问题探究）
（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．
①请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明．
②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求线段AD的长．
（拓展延伸）
（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．

9．在中，，点D､E分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，连接．
观察猜想

（1）如图①，当时，填空：
①______________；
②直线所夹锐角为____________；
类比探究
（2）如图②，当时，试判断的值及直线所夹锐角的度数，并说明理由；
拓展应用
（3）在（2）的条件下，若，将绕着点C在平面内旋转，当点D落在射线AC上时，请直接写出的值．
10．综合与实践
数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是矩形．

探究展示：
“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE．求证：AE⊥CE．”并展示了如下的证明方法：
证明：如图3，分别连接AC，BD，EF，AF．设AC与BD相交于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，且AC=BD．
又∵四边形BEDF是矩形，
∴EF经过点O，
∴OE=OF=EF，且EF=BD．
∴OE=OF，OA=OC．
∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）
∵AC=BD，EF=BD，
∴AC=EF．
∴四边形AECF是矩形．（依据2）
∴∠CEA=90°，
即AE⊥CE．
反思交流：
（1）上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？
拓展再探：
（2）“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE，FB交于点P，求证：EB=PB．”请你帮助他们写出该问题的证明过程．
（3）“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP=30°，AE=，求正方形ABCD的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题．
11．（1）尝试探究：如图①，在中，，，点、分别是边、上的点，且EF∥AB．
①的值为_________；
②直线与直线的位置关系为__________；
（2）类比延伸：如图②，若将图①中的绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；
（3）拓展运用：若，，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长．

12．问题提出
（1）如图（1），在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ACN＝ °．
类比探究
（2）如图（2），在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展延伸
（3）如图（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使AM＝MN，连接CN．添加一个条件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．

13．折纸是一种许多人熟悉的活动．近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸的一边三等分的精确折法，下面探讨其中的一种折法：
（综合与实践）
操作一：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕MN；
操作二：如图2，将正方形纸片ABCD的右上角沿MC折叠，得到点D的对应的点为D′；
操作三：如图3，将正方形纸片ABCD的左上角沿MD′折叠再展开，折痕MD′与边AB交于点P；
（问题解决）
请在图3中解决下列问题：
（1）求证：BP＝D′P；
（2）AP：BP＝　 　；

（拓展探究）
（3）在图3的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿CD′折叠再展开，折痕CD′与边AB交于点Q．再将正方形纸片ABCD过点D′折叠，使点A落在AD边上，点B落在BC边上，然后再将正方形纸片ABCD展开，折痕EF与边AD交于点E，与边BC交于点F，如图4．试探究：点Q与点E分别是边AB，AD的几等分点？请说明理由．
14．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．

（1）问题发现：
如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想：
①AF与BE的数量关系是　 　；
②∠ABE＝　 度．
（2）拓展探究：
如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明．
（3）解决问题
如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE的长．
15．（性质探究）
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF=2OG．
（迁移应用）
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值．
（拓展延伸）
（4）若DF交射线AB于点F，（性质探究）中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．

16．如图（1），已知点在正方形的对角线上，垂足为点，垂足为点．

（1）证明与推断：
求证：四边形是正方形；
推断：的值为_ _；
（2）探究与证明：
将正方形绕点顺时针方向旋转角，如图（2）所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
若，正方形在绕点旋转过程中，当三点在一条直线上时，则 ．

17．（1）观察发现：如图1，在中，，，点是的平分线上一点，将线段绕点逆时针旋转90°到，连结、，交于．

填空：
①线段与的数量关系是_________；
②线段与的位置关系是_________．
（2）拓展探究：如图2，在中，，，点是边的中点，将绕点逆时针旋转到，连结、，交于．（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

（3）拓展应用：如图3，在中，，，，的平分线交于，点是射线上的一点，将绕点顺时针旋转60°到，连结、、，与相交于，若以、、为顶点的三角形与全等，直接写出的长．

18．综合与实践——探究特殊三角形中的相关问题
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含角的直角三角板和按如图1所示位置放置，且的较短直角边为2，现将绕点按逆时针方向旋转，如图2，与交于点，与交于点，与交于点．

（1）初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角 时，是等腰三角形；
（2）深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中，如果连接，，那么所在的直线是线段的垂直平分线．请帮他们证明；
（3）再探究：
在旋转过程中，当旋转角时，求与重叠的面积；
（4）拓展延伸：
在旋转过程中，是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角的度数；若不能，说明理由．
19．将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中．

（1）操作发现:如图2，固定使绕点旋转，设的面积为的面积为当点恰好落在边上时，则与的数量关系是 ；

（2）猜想论证:当绕点旋转到如图3所示的位置时，小明猜想中与的数量关系为相等，并尝试分别作出了和中边上的高请你证明小明的猜想，即证明:．

（3）拓展探究:已知，点是角平分线上的一点，交于点（如图4)．若射线上存在点，使，请直接写出相应的的长．

20．在与中，且，点D始终在线段AB上（不与A、B重合）．

（1）问题发现：如图1，若度，的度数______，______；
（2）类比探究：如图2，若度，试求的度数和的值；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，M为DE的中点，当时，BM的最小值为多少？直接写出答案．

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一、中考几何压轴题

1．【问题引入】见解析；【类比探究】（1）见解析；（2）图见解析，；【知识拓展】
，证明见解析
【分析】
[问题引入]
利用AAS证明△POE≌△POD，即可得出结论；
[类比探究]
（1）过点F作FN
解析：【问题引入】见解析；【类比探究】（1）见解析；（2）图见解析，；【知识拓展】
，证明见解析
【分析】
[问题引入]
利用AAS证明△POE≌△POD，即可得出结论；
[类比探究]
（1）过点F作FN⊥OB，FM⊥OA，垂足分别为N、M，FM与PE交于点Q，先证明△PFQ为等边三角形，得出FG=PH，再运用矩形性质得出OM=OF，ON=OF，即可证得结论；
（2）作FN⊥OB于点N，FM⊥OA于点M，射线FM交PE于点Q，作PH⊥FQ于点H，FG⊥PQ于点G，同（1）可证：NE=FG=PH=MD，ON=OM=OF，即可得出结论；
[知识拓展]
过点O作OM⊥AB，ON⊥EF，OQ⊥CD，垂足分别为M、N、Q，利用垂径定理可得出PB-PA=2PM，PF-PE=2PN，PD-PC=2PQ，再运用[类比探究]得：PM+PN=PQ，从而证得结论．
【详解】
[问题引入]
证明：∵，，，
∴．
∵，
∴．
∴．
[类比探究]
（1）过点作，，垂足分别为、，与交于点．

∵，，，
则为等边三角形，
、边上的高相等，即．
在矩形、矩形中，
有，，
∴．
∴．
∵，，
∴，
同理，，
∴，
∴．
（2）结论：．
作于点，于点，射线与的交点为，作于点，于点，

同（1）可证，，
∴．
[知识拓展]
数量关系：．
理由如下：
过点作，，，垂足分别为、、．

由垂径定理可得．
∴．
同理，，
由[类比探究]得，
∴，
∴．
∴．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，角平分线性质，矩形性质，垂径定理等，熟练掌握全等三角形判定和性质及垂径定理等相关知识是解题关键．
2．（1）；；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】
（1）【观察猜想】根据正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可证明Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，又根据E是A
解析：（1）；；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】
（1）【观察猜想】根据正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可证明Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，又根据E是AN的中点，即可证明CM=2BE，根据等边对等角得到∠ABE=∠BCM，∠ABE+∠BMC=90∘即可证明CM⊥BE．
（2）【探究证明】延长BE至F使EF= BE，连接AF，先证明△AEF≌△NEB，再证明△FAB≌MBC，得到CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，得到∠ABF+∠FBC=90°，进而求得∠BCM+∠EBC=90°，即可证明EB⊥CM；
（3）[拓展延伸] 由a=45°得到∠ABE= 15°，由前面可得∠BMC= 30°，过C作CG⊥MB于G，设CG为m，则BC=m，MG=m，所以MB= BN=m-m，最后求得的值．
【详解】
解:【观察猜想】(1)CM =2BE ；CM⊥BE；如图1所示

图1
∵正方形ABCD，
∴AB=CB，
∵等腰三角形BMN，
∴BM=BN，
∴Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，
∴∠BAN=∠BCM，
又∵E是AN的中点，
∴BE=AE=NE=AN，
∴CM=2BE，
∵BE=AE，
∴∠BAN=∠ABE，
∴∠ABE=∠BCM，
∴∠ABE+∠BMC=∠BCM+∠BMC=90∘
∴∠BPM=90∘
∴CM⊥BE．
【探究证明】
(2)CM = 2BE，CM ⊥ BE仍然成立．
如图2所示，延长BE至F使EF= BE，连接AF，

∵AE= EN，∠AEF=∠NEB，EF= BE，
∴△AEF≌△NEB
∴AF= BN，∠F=∠EBN，
∴AF//BN，AF= BM，
∴∠FAB+∠ABN = 180°，
∵ ∠MBN= ∠ABC= 90°，
∴∠NBC+∠ABN= 90°，
∴∠NBA+∠FAD= 90°，
∴∠CBN= ∠FAD
∴∠FAB=∠MBC，
∵AB=BC，
∴△FAB≌MBC，
∴CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，
∵∠ABF+∠FBC=90°
∴∠BCM+∠EBC=90°，
∴EB⊥CM；
[拓展延伸] (3)由a=45°得 ∠MBA=∠ABN= 45°，
∵∠NBE= 2∠ABE，
∴ ∠ABE= 15°，
由前面可得∠MCB=∠ABE= 15°，∠MBC= 135°，
∴∠BMC= 180°-15°-135°=30°，
如图3所示，过C作CG⊥MB于G，

图3
设CG为m
则BC=m，MG=m ，所以MB= BN=m-m，
∴．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用以上性质解决问题．
3．（1）；（2），理由见解析；（3）CE的长为2或4，理由见解析．
【分析】
（1）证明，得出CE＝BD，，即可得出结论；
（2）证明，得出，，即可得出结论；
（3）先判断出，再求出：
①当点E在点D
解析：（1）；（2），理由见解析；（3）CE的长为2或4，理由见解析．
【分析】
（1）证明，得出CE＝BD，，即可得出结论；
（2）证明，得出，，即可得出结论；
（3）先判断出，再求出：
①当点E在点D上方时，先判断出四边形APDE是矩形，求出AP＝DP＝AE＝2，再根据勾股定理求出，BP＝6，得出BD＝4；
②当点E在点D下方时，同①的方法得，AP＝DP＝AE＝1，BP＝6，进而得出BD＝BP+DP ＝8，即可得出结论．
【详解】
解：（1）为等腰三角形，，
∴是等边三角形，
同理可得是等边三角形

故答案为：．
（2），理由如下：
在等腰三角形ABC中，AC＝BC，，
，
同理，，
，，
，
，
，
，
点B、D、E在同一条直线上:

；
（3）由（2）知，，
，
在中，，
，
①当点E在点D上方时，如图③，
过点A作交BD的延长线于P，
，
，
四边形APDE是矩形，
，
矩形APDE是正方形，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
；
②当点E在点D下方时，如图④
同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝6，
BD＝BP+DP＝8，
，
综上CE的长为2或4．

【点睛】
本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE和三角形ABD相似是关键．
4．（1）相等，垂直；（2）成立，见解析；（3）2．
【分析】
（1）利用SAS证明△ABE≌△CBF，延长CF交AB于点M，证明∠AMC=90°即可；
（2）仿照（1）的证明方法求解即可；
（3）根据
解析：（1）相等，垂直；（2）成立，见解析；（3）2．
【分析】
（1）利用SAS证明△ABE≌△CBF，延长CF交AB于点M，证明∠AMC=90°即可；
（2）仿照（1）的证明方法求解即可；
（3）根据题意，得点F在以B为圆心，BF为半径的圆上运动，根据直径最大原理，知道当C，B，F三点一线时，CF最大，此时点E恰好在AB的延长线上，连接DE，利用勾股定理求值即可.
【详解】
（1）如图①，∵正方形ABCD和等腰直角△BEF,
∴BA=BC，∠EBA=∠FBC=90° ，BE=BF，
∴△ABE≌△CBF，
∴AE=CF，
延长CF交AE于点M，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠EAB=∠FCB ，
∵∠AFM=∠BFC ，
∴∠AMF=∠FBC=90° ，
∴AE⊥CF，
故答案为：相等，垂直；

（2）结论还成立．理由如下：
如图②，∵正方形ABCD和等腰直角△BEF,
∴BA=BC，∠EBF=∠ABC=90° ，BE=BF，
∴∠EBF-∠ABF =∠ABC-∠ABF，
∴∠EBA =∠FBC，
∴△ABE≌△CBF，
∴AE=CF，
延长CF交AE于点N，交AB于点G，

∵△ABE≌△CBF，
∴∠EAB=∠FCB ，
∵∠AGN=∠BGC ，
∴∠ANG=∠GBC=90° ，
∴AE⊥CF，
故结论成立；
（3）如图③，根据题意，得点F在以B为圆心，BF为半径的圆上运动，根据直径最大原理，知道当C，B，F三点一线时，CF最大，此时点E恰好在AB的延长线上，连接DE，∵AB= 2BF = 4，
∴AE=AB+BE=6，
在直角三角形ADE中，
DE==2．

【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的全等，勾股定理，直径是圆中的最大的弦，垂直的定义，熟练掌握三角形全等，垂直的证明是解题的关键．
5．【问题】，1；【操作】当时，，当时，；【探究】或；【应用】点的坐标为：或
【分析】
问题:即可求解；
操作：抛物线G1沿BC方向平移BC长度的距离得到抛物线G2，相当于抛物线向左平移3个单位，向上平
解析：【问题】，1；【操作】当时，，当时，；【探究】或；【应用】点的坐标为：或
【分析】
问题:即可求解；
操作：抛物线G1沿BC方向平移BC长度的距离得到抛物线G2，相当于抛物线向左平移3个单位，向上平移个单位，即可求解；
探究：将点C的坐标代入两个函数表达式，求出G1、G2的顶点坐标，即可求解；
应用：证明∠EPN=∠MDP，利用tan∠EPN=tan∠MDP，即可求解．
【详解】
解：问题：，解得：，，
故答案为：，1；
操作：抛物线沿方向平移长度的距离得到抛物线，相当于抛物线向左平移3个单位，向上平移个单位，
：，
：，
当时，，
当时，；
探究：点的坐标为．
当时，，
解得：，，
∴，
当时，，
解得：，，
∴，
∵，，
∴抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，
∴或时，函数随的增大而增大；
应用：如图，过点作轴的平行线交过点与轴的垂线于点，交过点与轴的垂直的直线于点，

设点，则，，，，
∵，，
∴，
∴，即，即，解得：，
故点的坐标为：或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及解直角三角形、图形的平移等，具有一定的综合性，关键在于根据题意作出图形进行解答．
6．（1）CM=2BE，CM⊥BE；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】
（1）设证明，由点是的中点，得到，进而求解；
（2）证明和，得到，，进而求解；
（3）证明，过点作于点，设，则，，则，即可求
解析：（1）CM=2BE，CM⊥BE；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】
（1）设证明，由点是的中点，得到，进而求解；
（2）证明和，得到，，进而求解；
（3）证明，过点作于点，设，则，，则，即可求解．
【详解】
解：（1）设交于点，

为等腰直角三角形，
，
，，
，
，，
点是的中点，则，即，
，
，
即，
故答案为：，CM⊥BE；
（2），，仍然成立．
如图所示，延长至使，连接，

，，
，
，，
，，
，
而，
，
，，
，
，，
，
，
；
（3）由得，
，则，
由（2）知，，
，
过点作于点，设，则，，

，
．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、直角三角形中线定理、解直角三角形、三角形全等等，综合性强，难度较大．
7．（1）证明见解析；（2）①；②；（3）．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据“协和四边形”的定义即可得证；
（2）①先根据“协和四边形”的定义、三角形全等的
解析：（1）证明见解析；（2）①；②；（3）．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据“协和四边形”的定义即可得证；
（2）①先根据“协和四边形”的定义、三角形全等的判定定理可得，从而可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后设，解直角三角形可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得；
②如图（见解析），设，先利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式可得，然后根据正弦三角函数的定义即可得；
（3）如图（见解析），先解直角三角形可得，再根据菱形的性质、平行线的性质可得，从而可得，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】
证明：（1）如图，连接，

在和中，，
，
，
平分和，
四边形是“协和四边形”；
（2）①如图，设与相交于点，

为“协和线”，
平分和，
，
在和中，，
，
，
∵点、分别为边、的中点，
，
，
是等边三角形，，
（等腰三角形的三线合一），
设，则，
∵在中，，
，
在中，，
，
，
即与的面积的比为；
②如图，过点作于点，

由（2）①知，垂直平分，
，
设，则，
同（2）①可得：，
，
，
，
解得，
则在中，；
（3）如图，过点作，交延长线于点，

，
，
在中，，
四边形是菱形，
，
，
同（2）①可证：垂直平分，
，
，
，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
在和中，，
，
，即，
解得，
即的最小值为．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），利用垂线段最短得出当时，取得最小值是解题关键．
8．（1）①，证明见解析；②4；（2）画图见解析，或
【分析】
（1）①由“”可证，可得，可得；②过点作于点，由勾股定理可求，，的长，即可求的长；
（2）分点在左侧和右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似
解析：（1）①，证明见解析；②4；（2）画图见解析，或
【分析】
（1）①由“”可证，可得，可得；②过点作于点，由勾股定理可求，，的长，即可求的长；
（2）分点在左侧和右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解．
【详解】
解：（1）和均为等腰直角三角形，
，，，
，
，且，，
，
，
，
，
故答案为：；
②如图，过点作于点，

，，，
，
，
，
故答案为：4；
（2）若点在右侧，
如图，过点作于点，

，，，，．
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，
若点在左侧，

，，，，．
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线．
9．（1）①1，②；（2）直线所夹锐角为，见解析；（3）满足条件的的值为
【分析】
（1）①②延长BD交AE的延长线于T，BT交AC于O．证明即可解决问题．
（2）如图②中，设AC交BD于O，AE交BD
解析：（1）①1，②；（2）直线所夹锐角为，见解析；（3）满足条件的的值为
【分析】
（1）①②延长BD交AE的延长线于T，BT交AC于O．证明即可解决问题．
（2）如图②中，设AC交BD于O，AE交BD于T．证明，推出，可得结论．
（3）分两种情形：①如图③-1中，当点D落在线段AC上时，作于H．②如图③-2中，当点D在AC的延长线上时，分别利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）如图①中，延长BD交AE的延长线于T，BT交AC于O．

，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴直线所夹锐角为，
故答案为1，．
（2）如图②中，设AC交于O，AE交于T．

，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴直线所夹锐角为．
（3）①如图③-1中，当点D落在线段AC上时，作于H．

由题意，，
，
，
，
在中，
②如图③-2中，当点D在AC的延长线上时，同法可得，

综上所述，满足条件的的值为．
【点睛】
本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
10．（1）依据1：对角线互相平分的四边形是平行四边形，依据2：对角线相等的平行四边形是矩形；（2）见解析；（3）4
【分析】
（1）借助问题情景即可得出结论；
（2）连接CE，先根据已证结论及正方形的性
解析：（1）依据1：对角线互相平分的四边形是平行四边形，依据2：对角线相等的平行四边形是矩形；（2）见解析；（3）4
【分析】
（1）借助问题情景即可得出结论；
（2）连接CE，先根据已证结论及正方形的性质得出AB=BC，∠1=∠4，再由矩形性质证得∠PBA=∠EBC，得出△PBA≌△EBC，即可得出结论；
（3）过点B作BM⊥AP，垂足为M．结合（2）所得结论利用等腰直角三角形的性质可得BM=PM=ME，设BM=ME=x，则AM=x+-1．则根据三角函数解直角三角形求出x=1，再由直角三角形的性质求出正方形的边长，即可得出结果．
【详解】
解：（1）依据1：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
依据2：对角线相等的平行四边形是矩形．
（2）证明：连接CE，

由题意得，∠CEA=90°，
∴∠1+∠2=180°-∠AEC=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC．
∴∠3+∠4=180°-∠ABC=90°．
∵∠2=∠3．
∴∠1=∠4．
∵四边形EBFD是矩形，
∴∠EBF=90°．
∴∠PBE=180°-∠EBF=90°．
∴∠PBE=∠ABC．
∴∠PBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
即∠PBA=∠EBC．
∴△PBA≌△EBC．
∴PB=EB．
（3）解：过点B作BM⊥AP，垂足为M．
由（2）可知，PB=BE，∠PBE=90°．
∴BM=PM=ME．
设BM=ME=x，则AM=x+-1．
∵在Rt△ABM中，∠BAM=30°．
∴AB=2BM，
tan∠BAM=，
解得x=1．
∴AB=2，
∴S正方形ABCD=2×2=4．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握特殊四边形、全等三角形及三角函数等相关知识点是解题的关键．
11．（1）①，②；（2），，证明见解析；（3）或
【分析】
（1）①由锐角三角函数可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC−CF＝（BC−CE），BE＝BC−CE，即可求；
②由垂直的定义可得AF⊥B
解析：（1）①，②；（2），，证明见解析；（3）或
【分析】
（1）①由锐角三角函数可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC−CF＝（BC−CE），BE＝BC−CE，即可求；
②由垂直的定义可得AF⊥BE；
（2）由题意可证△ACF∽△BCE，可得，∠FAC＝∠CBE，由余角的性质可证AF⊥BE；
（3）分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求AF的长．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴ ，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2），
如图，连接，延长交于，交于点，

∵旋转，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）①如图，过点作交的延长线于点，

∵，，，，
∴，，
∵，，
∴，且三点在同一直线上，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，且，
∴，，
∴，
∴；
②如图，过点作于点，

∵，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∵旋转，∴，且，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】
本题是相似综合题，考查了平行线的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
12．（1）60；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，进而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可证明≌，继而得出结论；
解析：（1）60；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，进而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可证明≌，继而得出结论；
（2）也可以通过证明≌，得出结论，和（1）的思路完全一样；
（3）当∠ABC＝∠AMN时，∽，利用相似的性质得到，又根据∠BAM＝∠CAN，证得∽，即可得到答案．
【详解】
（1）证明：∵、是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在和中，
，
∴≌（SAS），
∴∠ABC=∠ACN；
∵是等边三角形
∴∠ABC=60°
∴∠ACN=∠ABC=60°．
（2）结论∠ACN＝60°仍成立．
理由如下：∵、都是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴≌，
∴∠ACN＝∠ABM＝60°．
（3）添加条件：∠ABC＝∠AMN．
理由如下：
∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，
∴∠BAC＝∠MAN，
∴∽，
∴．
又∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴∽，
∴∠ABC＝∠ACN．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等的条件，利用全等的性质证明结论．
13．（1）见解析；（2）2：1；（3）点Q是AB边的四等分点，点E是AD边的五等分点，理由见解析
【分析】
（1）如图1，连接PC，根据正方形的性质、HL定理证明△CD′P≌△CBP，根据全等三角形的性
解析：（1）见解析；（2）2：1；（3）点Q是AB边的四等分点，点E是AD边的五等分点，理由见解析
【分析】
（1）如图1，连接PC，根据正方形的性质、HL定理证明△CD′P≌△CBP，根据全等三角形的性质得出结论；
（2）设BP＝x，根据翻转变换的性质、勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）如图2，连接QM，证明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到