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高等数学总复习高等数学总复习2009年6月7日机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学复习简介高等数学复习简介l l向量的运算及方向余弦，平面与直线（包括坐标轴）的位置向量的运算及方向余弦，平面与直线（包括坐标轴）的位置向量的运算及方向余弦，平面与直线（包括坐标轴）的位置向量的运算及方向余弦，平面与直线（包括坐标轴）的位置关系；关系；关系；关系；l l平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程；平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程；平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程；平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程；l l二元函数的极限二元函数的极限二元函数的极限二元函数的极限;l l二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关系；系；系；系；l l多元隐函数求导，曲面的切平面方程；多元隐函数求导，曲面的切平面方程；多元隐函数求导，曲面的切平面方程；多元隐函数求导，曲面的切平面方程；l l复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）；复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）；复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）；复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）；l l方向导数，多元函数的条件极值问题；方向导数，多元函数的条件极值问题；方向导数，多元函数的条件极值问题；方向导数，多元函数的条件极值问题；l l二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换；二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换；二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换；二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换；l l利用三重积分计算空间立体的体积，三重积分的利用三重积分计算空间立体的体积，三重积分的利用三重积分计算空间立体的体积，三重积分的利用三重积分计算空间立体的体积，三重积分的“先二后一先二后一先二后一先二后一”计算方法；计算方法；计算方法；计算方法；l l曲线积分与曲面积分，格林公式和高斯公式的应用；曲线积分与曲面积分，格林公式和高斯公式的应用；曲线积分与曲面积分，格林公式和高斯公式的应用；曲线积分与曲面积分，格林公式和高斯公式的应用；l l常数项级数的收敛与绝对收敛，傅立叶级数的收敛性定理，常数项级数的收敛与绝对收敛，傅立叶级数的收敛性定理，常数项级数的收敛与绝对收敛，傅立叶级数的收敛性定理，常数项级数的收敛与绝对收敛，傅立叶级数的收敛性定理，幂级数的收敛域与和函数。幂级数的收敛域与和函数。幂级数的收敛域与和函数。幂级数的收敛域与和函数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量的方向余弦向量的方向余弦机动 目录 上页 下页 返回 结束 与三坐标轴的夹角,为其方向角方向角.机动 目录 上页 下页 返回 结束 方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.向量的运算设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.向量关系:平面与直线（包括坐标轴）的位置关系平面与直线（包括坐标轴）的位置关系l l主要通过向量间的关系来衡量线线关系，线面关系，面面关系；l l问题根源仍然是对向量关系的正确理解；面与面的关系面与面的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:1 1、线面之间的相互关系、线面之间的相互关系、线面之间的相互关系、线面之间的相互关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 直线2 2、线与线的关系、线与线的关系、线与线的关系、线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面:垂直：平行：夹角公式：3.3.面与线间的关系面与线间的关系面与线间的关系面与线间的关系直线:机动 目录 上页 下页 返回 结束 实例分析实例分析例例1.求与两平面 x 4 z=3 和 2 x y 5 z=1 的交线提示提示:所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程平行,且 过点(3,2,5)的直线方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例2.2.求直线求直线在平面上的投影直线方程.提示提示：过已知直线的平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例3.3.设一平面平行于已知直线设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面求该平面法线的的方向余弦.提示提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 所求为平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程的方程l l主要利用书中结论:即绕着哪个轴旋转,这个轴对应的字母不变,变化的是另一个字母;例例1求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例2.2.直线直线绕 z 轴旋转一周,求此旋转转曲面的方程.提示提示:在 L 上任取一点旋转轨迹上任一点,则有得旋转曲面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的极限二元函数的极限l l方法:主要根据定义求极限、讨论极限；利用定义求导数；机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1.1.设设求证：证证：故总有要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：二元函数的连续，偏导数存在，可微及二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关系偏导数连续之间的关系多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导根根据据定定义义必必要要条条件件充分条件充分条件反例反例思考题思考题提示提示:利用 故f 在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.1.1.证明证明证明证明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 而所以 f 在点(0,0)不可微!机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分l l隐函数的一阶求导方法：公式法;推导法;注意两者的区别;l l隐函数求二阶导数时,只能利用推导法;机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数求导（特别是抽象函数的求导复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）问题）1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如例如,2.全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题思考题解答思考题解答例例例例1.1.设设其中 f 与F分别具解法解法1 方程两边对 x 求导,得有一阶导数或偏导数,求机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法解法解法2 2 方程两边求微分,得化简消去 即可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例2 2.设设有二阶连续偏导数,且求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 有连续的一阶偏导数,及分别由下两式确定求又函数答案答案:(2001考研）机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习练习练习3.3.设设例例例例3 3.设设解法解法1 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导解法解法解法解法2 2 利用公式利用公式设则两边对 x 求偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 为简便起见,引入记号例例例例4.4.设设 f 具有二阶连续偏导数,求解解:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面的切平面方程 求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 有光滑曲面在其上一定点的切平面的法向量是的切平面的法向量是?曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程切平面方程切平面方程复习 目录 上页 下页 返回 结束 曲面时,则在点故当函数 法线方程法线方程令特别特别特别特别,当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式 在点有连续偏导数时,切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 法向量法向量用将法向量的方向余弦：法向量的方向余弦：法向量的方向余弦：法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,复习 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1 1.求球面求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束 方向导数与梯度问题方向导数与梯度问题 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3.关系关系方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 梯度在方向 l 上的投影.指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点A1.1.函数函数提示提示:则(考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.函数在点处的梯度解解:则注意 x,y,z 具有轮换对称性(考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解令令故故方向余弦为方向余弦为故故多元函数的条件极值问题多元函数的条件极值问题例例例例1.1.1.1.在第一卦限作椭球面在第一卦限作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.解解:设切点为则切平面的法向量为即切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题归结为求在条件下的条件极值问题.设拉格朗日函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 切平面在三坐标轴上的截距为令令由实际意义可知为所求切点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 唯一驻点例例例例2.2.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：解：设为抛物面上任一点，则 P 的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 到平面令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算，对称性的应用，及积二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换分次序的交换l l交换积分次序（X型、Y型、极坐标）选择或填空题目,大题里也可能有,需要先交换次序然后在计算积分l l二重积分计算（直角坐标和极坐标）l l奇偶对称性的运用机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 作题注意事项作题注意事项l l确定积分次序是选定坐标系后紧接要认真考虑的确定积分次序是选定坐标系后紧接要认真考虑的确定积分次序是选定坐标系后紧接要认真考虑的确定积分次序是选定坐标系后紧接要认真考虑的问题，总的原则还是兼顾积分区域和被积函数特问题，总的原则还是兼顾积分区域和被积函数特问题，总的原则还是兼顾积分区域和被积函数特问题，总的原则还是兼顾积分区域和被积函数特征全面考虑，一般应避免分区积分和对某个变量征全面考虑，一般应避免分区积分和对某个变量征全面考虑，一般应避免分区积分和对某个变量征全面考虑，一般应避免分区积分和对某个变量不可先积分的情形出现。不可先积分的情形出现。不可先积分的情形出现。不可先积分的情形出现。l l坐标变换后区域的对应主要由它们边界的对应所坐标变换后区域的对应主要由它们边界的对应所坐标变换后区域的对应主要由它们边界的对应所坐标变换后区域的对应主要由它们边界的对应所确定。确定。确定。确定。l l若二次积分限是常数，则可直接交换积分次序，若二次积分限是常数，则可直接交换积分次序，若二次积分限是常数，则可直接交换积分次序，若二次积分限是常数，则可直接交换积分次序，积分限不变。积分限不变。积分限不变。积分限不变。总结规律总结规律l l选择适当的坐标系，是二重积分中应当首选择适当的坐标系，是二重积分中应当首先考虑的重要问题。一般来说，应根据积先考虑的重要问题。一般来说，应根据积分区域和被积函数的特征来综合考虑：分区域和被积函数的特征来综合考虑：（1 1）当区域）当区域D D为中心在原点的圆形、扇形或为中心在原点的圆形、扇形或圆环形等；被积函数为圆环形等；被积函数为x x2 2+y+y2 2的函数时选用的函数时选用极坐标系；极坐标系；（2 2）当区域为矩形、三角形等直线形区域时）当区域为矩形、三角形等直线形区域时选用直角坐标系。选用直角坐标系。例例例例1.1.如图所示交换下列二次积分的顺序:解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例2.2.计算二重积分计算二重积分其中D 为圆周所围成的闭区域.提示提示:利用极坐标原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3解解 先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图例例例例4.4.计算二重积分计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解解:(1)利用对称性.围成.机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)(2)积分域如图积分域如图:将D 分为添加辅助线利用对称性,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用三重积分计算立体体积,三重积分的”先二后一”计算方法l l被积函数为被积函数为被积函数为被积函数为1 1的三重积分几何上表示立体的体积的三重积分几何上表示立体的体积的三重积分几何上表示立体的体积的三重积分几何上表示立体的体积l l方法方法方法方法:投影法投影法投影法投影法(先单后重先单后重先单后重先单后重)例例1 1 解解例例例例2.2.计算三重积分计算三重积分其中是由 xoy平面上曲线所围成的闭区域.提示提示:利用柱坐标原式绕 x 轴旋转而成的曲面与平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例3.3.解解:在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线积分、格林公式曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)利用对称性简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧);(4)利用两类曲线积分的联系公式.基本技巧基本技巧基本技巧基本技巧机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1.1.计算计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,解法解法1 令则这说明积分与路径无关,故a 为半径的上半圆周.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法解法解法2 2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考思考:(2)若 L 同例2,如何计算下述积分:(1)若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答思考题解答思考题解答:(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面积分、高斯公式曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)统一积分变量 代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面机动 目录 上页 下页 返回 结束 基本技巧基本技巧基本技巧基本技巧(1)利用对称性简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1.1.设设 是曲面是曲面解解:取足够小的正数,作曲面取下侧 使其包在 内,为 xoy 平面上夹于之间的部分,且取下侧,取上侧,计算则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例2.2.证明证明:设(常向量)则单位外法向向量,试证设 为简单闭曲面,a 为任意固定向量,n 为的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例3.3.计算曲面积分计算曲面积分其中,解解:思考思考:本题 改为椭球面时,应如何计算?提示提示:在椭球面内作辅助小球面内侧,然后用高斯公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 数项级数收敛性的判别，幂级数的收敛区间、收敛数项级数收敛性的判别，幂级数的收敛区间、收敛数项级数收敛性的判别，幂级数的收敛区间、收敛数项级数收敛性的判别，幂级数的收敛区间、收敛半径，幂级数求和函数、傅立叶级数的收敛定理半径，幂级数求和函数、傅立叶级数的收敛定理半径，幂级数求和函数、傅立叶级数的收敛定理半径，幂级数求和函数、傅立叶级数的收敛定理l l判别是针对选择题，绝对收敛与条件收敛；l l收敛区间、收敛半径是针对填空题；l l幂级数求和函数是针对大题中的计算题；l l傅立叶级数的收敛定理使用一般是最后一道大题，计算时验证是否满足条件，满足后才进行展开（注意收敛点和非收敛点的不同）机动 目录 上页 下页 返回 结束 数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 任意项级数审敛法任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法判别法:若且则交错级数收敛,概念概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.求下列级数的敛散区间:练习练习:机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:当因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.故收敛区间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1.1.解解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在 原级数=其收敛半径注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 求部分和式极限幂级数和函数的求法幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等 初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）数项级数 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例2.2.求幂级数求幂级数法法1 易求出级数的收敛域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习练习练习:解解:(1)显然 x=0 时上式也正确,故和函数为而在x0 求下列幂级数的和函数：求下列幂级数的和函数：级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束(4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然 x=0 时,和为 0;根据和函数的连续性,有x=1 时,级数也收敛.即得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由上式得由上式得机动 目录 上页 下页 返回 结束 温馨提示l l填空题、选择题是得分重点，会做的一定仔细的做正确；l l三大题是基本题目，决定是及格、不及格还是高分；l l三大题后的，尽量做，即使不会做，也要根据题目内写上所用相关公式；总之，会做的题目尽量准确；不会的题目尽量写上所用相关公式。机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意l l注意学校通知，查看考前答疑时间；机动 目录 上页 下页 返回 结束