人教版高数必修四第10讲：简单的三角恒等变换(教师版)—东直门仉长娜.doc

简单的三角恒等变换_1、会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换；2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.一、降幂公式： 1、公式推导：试以表示解析：我们可以通过二倍角和来做此题（二倍角公式中以a代2a，代a）解：因为，可以得到；因为，可以得到两式相除可以得到点评：以上结果还可以表示为： ww#w.z%并称之为半角公式（不要求记忆），符号由角的象限决定.降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.二、积化和差公式：1、公式推导:（）； （）证明：（）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手；两式相加得；即；（）由（）得；设，那么来&源:*%把的值代入式中得三、本章公式梳理： 例1 已知.证明一:,cos4Asin2B+sin4Acos2B=sin2Bcos+B.cos4A(1-cos2B)+sin4Acos2B=(1-cos2B)cos2B,即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B.cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0.(cos2A-cos2B)2=0.cos2A=cos2B.sin2A=sin2B.cos2B+sin2B=1.证明二:令=sin,则cos2A=cosBcos,sin2A=sinBsin.两式相加,得1=cosBcos+sinBsin,即cos(B-)=1.B-=2k(kZ),即B=2k+(kZ).cos=cosB,sin=sinB.cos2A=cosBcos=cos2B,sin2A=sinBsin=sin2B.=cos2B+sin2B=1. 点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.练习： 在锐角三角形ABC中,ABC是它的三个内角,记S=,求证:S90,90A90-B0.tanAtan(90-B)=cotB0,tanAtanB1.S0.tan(-2)0.又(0,),-20,得0-2.由tan=tan(-2),得=-2,即+2=.例3 求证:证明:证法一:左边=右边.原式成立.证法二:右边=1-=左边.原式成立.点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力.练习：1.求证:.分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于,此式右边就是tan2.证明:原等式等价于.而上式左边=tan2右边.上式成立,即原等式得证.2.已知sin=msin(2+),求证:tan(+)=tan.分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2+可化为结论式中的+与的和,不妨将+作为一整体来处理.证明:由sin=msin(2+)sin(+)-=msin(+)+sin(+)cos-cos(+)sin=m0sin(+)cos+cos(+)sin(1-m)sin(+)cos=(1+m)cos(+)sintan(+)=tan.练习：1.若sin=,在第二象限,则tan的值为( )A.5 B.-5 C. D.2.设56,cos=,则sin等于( )A. B. C. D.3.已知sin=,3,则tan_.解答:1. A 2.D 3.-3例4 化简:.解:原式=tan. 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练 化简:sin50(1+tan10).解:原式=sin50=2sin50=2cos40=1.例5 已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值.解:由sinx-cosx=,得(sinx-cosx)2=,即1-2sinxcosx=,sinxcosx=.sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)=(1+)=.点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.练习： (2007年高考浙江卷,12) 已知sin+cos=,且,则cos2的值是_.答案:一、选择题1(文)(2010山师大附中模考)设函数f(x)cos2(x)sin2(x)，xR，则函数f(x)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数答案A解析f(x)cos(2x)sin2x为奇函数，周期T.(理)(2010辽宁锦州)函数ysin2xsinxcosx的最小正周期T()A2 B C. D.答案B解析ysin2xsinxcosxsin2xsin，最小正周期T.2(2010重庆一中)设向量a(cos，)的模为，则cos2()A B C. D.答案B解析|a|2cos22cos2，cos2，cos22cos21.3已知tan3，则cos()A. B C. D答案B解析coscos2sin2，故选B.4在ABC中，若sinAsinBcos2，则ABC是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D既非等腰又非直角的三角形答案B解析sinAsinBcos2，cos(AB)cos(AB)(1cosC)，cos(AB)cos(C)1cosC，cos(AB)1，AB，AB0，ABC为等腰三角形5(2010绵阳市诊断)函数f(x)2sin(x)|cosx|的最小正周期为()A. B C2 D4答案C解析f(x)2cosx|cosx|，画出图象可知周期为2.6(2010揭阳市模考)若sinxcosx，x(0，)，则sinxcosx的值为()A B C. D.答案D解析由sinxcosx两边平方得，12sinxcosx，sin2xcosx，sinxcosx，故选D.7(文)在锐角ABC中，设xsinAsinB，ycosAcosB，则x，y的大小关系是()Axy BxyCxy Dxy答案D解析AB，cos(AB)0，即cosAcosBsinAsinB0，xy，故应选D.(理)(2010皖南八校)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos(2BC)2sinAsinBc2 Ba2b2a2 Db2c2a2答案B解析cos(2BC)2sinAsinB0，且ABC，cos(AB)2sinAsinB0，cos(A)cosBsin(A)sinB2sinAsinB0，cosAcosBsinAsinB0，0AB，由余弦定理得，cosC0，a2b2c20，故应选B.8(2010吉林省调研)已知a(cosx，sinx)，b(sinx，cosx)，记f(x)ab，要得到函数ysin4xcos4x的图象，只需将函数yf(x)的图象()A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度答案D解析ysin4xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)cos2x，将f(x)ab2sinxcosxsin2x，向右平移个单位得，sin2sinsincos2x，故选D.9(2010浙江金华十校模考)已知向量a(cos2，sin)，b(1,2sin1)，若ab，则tan的值为()A. B. C. D.答案C解析abcos22sin2sin12sin22sin2sin1sin，sin，cos，tan，tan.10(2010湖北黄冈模拟)若，则等于()A2cos B2cosC2sin D2sin答案C解析，.(sincos)(sincos)2sin.二、填空题11(2010广东罗湖区调研)若sin，则cos2_.答案解析sin，cos，cos22cos21.12(2010江苏无锡市调研)函数y的最大值与最小值的积是_答案解析ysin2xcos2xsin4x，所以最大与最小值的积为.13(2010浙江杭州质检)函数ysin(x10)cos(x40)，(xR)的最大值是_答案1解析ysinxcos10cosxsin10cosxcos40sinxsin40(cos10sin40)sinx(sin10cos40)cosx，其最大值为1.14(文)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CDAB于点D，且AD3DB，设COD，则tan2_.答案解析设OCr，AD3DB，且ADDB2r，AD，OD，CDr，tan，tan，tan(负值舍去)，tan2.(理)_.答案4解析4.三、解答题15(文)(2010北京理)已知函数f(x)2cos2xsin2x4cosx.(1)求f()的值；(2)求f(x)的最大值和最小值解析(1)f()2cossin24cos12.(2)f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)4cosx3cos2x4cosx13(cosx)2，xR因为cosx1,1，所以当cosx1时，f(x)取最大值6；当cosx时，f(x)取最小值.(理)(2010广东罗湖区调研)已知a(cosxsinx，sinx)，b(cosxsinx,2cosx)，设f(x)ab.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x时，求函数f(x)的最大值及最小值解析(1)f(x)ab(cosxsinx)(cosxsinx)sinx2cosxcos2xsin2x2sinxcosxcos2xsin2xsin.f(x)的最小正周期T.(2)0x，2x，当2x，即x时，f(x)有最大值；当2x，即x时，f(x)有最小值1.16(文)设函数f(x)cossin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A、B、C为ABC的三个内角，若cosB，f()，且C为锐角，求sinA的值解析(1)f(x)cossin2xcos2xcossin2xsinsin2x，所以函数f(x)的最大值为，最小正周期为.(2)f()sinC，所以sinC，因为C为锐角，所以C，在ABC中，cosB，所以sinB，所以sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.(理)已知角A、B、C为ABC的三个内角，(sinBcosB，cosC)，(sinC，sinBcosB)，.(1)求tan2A的值；(2)求的值解析(1)(sinBcosB)sinCcosC(sinBcosB)sin(BC)cos(BC)，sinAcosA两边平方并整理得：2sinAcosA，0)的图象与直线ym相切，相邻切点之间的距离为.(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y0)是yf(x)图象的对称中心，且x0，求点A的坐标解析(1)f(x)sin2axsinaxcosaxsin2axsin，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m或m，由题设知，函数f(x)的周期为，a2，所以m或m，a2.(2)f(x)sin，令sin0，得4xk(kZ)，x(kZ)，由0(kZ)，得k1或k2，因此点A的坐标为或.(理)(2010广东佛山顺德区检测)设向量a(sinx,1)，b(1，cosx)，记f(x)ab，f (x)是f(x)的导函数(1)求函数F(x)f(x)f (x)f 2(x)的最大值和最小正周期；(2)若f(x)2f (x)，求的值解析(1)f(x)sinxcosx，f (x)cosxsinx，F(x)f(x)f (x)f 2(x)cos2xsin2x12sinxcosxcos2xsin2x11sin，当2x2k，即xk(kZ)时，F(x)max1.最小正周期为T.(2)f(x)2f (x)，sinxcosx2cosx2sinx，cosx3sinx，tanx，2_基础巩固一、选择题1若cos0，sin20，sin22sincos0，sin0，角是第四象限角2若tan4，则sin2()ABCD答案D解析本题考查了三角恒等变换与三角函数的求值tan4，sin2.3函数f(x)cos4xsin4x的最小正周期是()ABC2D4答案B解析f(x)cos4xsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)cos2x，函数f(x)的最小正周期T.4若tan3，则的值等于()A2B3C4D6答案D解析由2tan236，故选D.5计算等于()A2cos5B2cos5C2sin5D2sin5答案C解析(sin40cos40)2(sin40cos40)2sin(4045)2sin5.6()AtanBtan2C1D答案B解析原式tan2.二、填空题7若tan，则cos2sin2_.答案解析cos2sin2cos2sincos.8tan的值等于_答案2解析tan2cot2.三、解答题9已知cos，(，)，求sin2，cos2，tan2的值解析cos，(，)，sin，sin22sincos2()()，cos22cos212()21，tan2.一、选择题1设a(，sin)，b(cos，)，且ab，则锐角为()A30B60C75D45答案D解析由题意，得sincos，sincos，sin2，sin21.为锐角，290，45.2若，则的值为()A2cosB2cosC2sinD2sin答案D解析，原式sincossincos2sin.3设a(sin17cos17)，b2cos2131，c， 则()AcabBbcaCabcDbaac.4已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是()ABCD答案A解析令底角为，则顶角2，且cos，sin，sinsin(2)sin22sincos2.二、填空题5函数f(x)sin2(2x)的最小正周期是_答案解析f(x)sin2(2x)sin4x，T.6已知为第三象限角，sin4cos4，则sin2_.答案解析sin4cos4，(sin2cos2)22sin2cos2，1sin22，sin22.为第三象限角，2k2k，kZ，4k224k3，kZ，sin2.三、解答题7若cos(x)，x，求：(1)cosxsinx的值；(2)的值解析(1)由x，得x2，又cos(x)，sin(x)，cosxsinxsin(x).(2)cosxcos(x)cos(x)cossin(x)sin.又由x，sinx，tanx7，原式.8(2014江苏，15)已知(，)，sin.(1)求sin()的值；(2)求cos(2)的值解析(1)(，)，sin，cos，sin()sincoscossin().(2)由(1)得sin22sincos2()，cos22cos21，所以cos(2)coscos2sinsin2()().9(2014天津理，15)已知函数f(x)cosxsin(x)cos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间，上的最大值和最小值解析(1)由已知，有f(x)cosx(sinxcosx)cos2xsinxcosxcos2xsin2x(1cos2x)sin2xcos2xsin(2x)所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，f()，f()，f()，所以，函数f(x)在闭区间，上的最大值为，最小值为.23