人教版高数必修四第10讲：简单的三角恒等变换(教师版)—东直门仉长娜.doc

简单的三角恒等变换

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1、会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换；
2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.

一、降幂公式：

1、公式推导：试以表示．
解析：我们可以通过二倍角和来做此题．（二倍角公式中以a代2a，代a）
解：因为，可以得到；
因为，可以得到．
两式相除可以得到．
点评：⑴以上结果还可以表示为：
[ww#w~.z%zst@ep^.com]
并称之为半角公式（不要求记忆），符号由角的象限决定.
⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.
⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.
二、积化和差公式：

1、公式推导:（１）；
（２）．
证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
；．
两式相加得；
即；
（２）由（１）得①；设，
那么．[来&源~:*zzstep.co@m%]
把的值代入①式中得．

三、本章公式梳理：

例1 已知.
证明一:∵,
∴cos4A·sin2B+sin4A·cos2B=sin2B·cos+B.
∴cos4A(1-cos2B)+sin4A·cos2B=(1-cos2B)cos2B,
即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B.
∴cos4A-2cos2Acos2B+cos4B0.
∴(cos2A-cos2B)2=0.∴cos2A=cos2B.∴sin2A=sin2B.
∴cos2B+sin2B=1.
证明二:令=sinα,
则cos2A=cosBcosα,sin2A=sinBsinα.
两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1.
∴B-α=2kπ(k∈Z),即B=2kπ+α(k∈Z).
∴cosα=cosB,sinα=sinB.
∴cos2A=cosBcosα=cos2B,sin2A=sinBsinα=sin2B.
∴=cos2B+sin2B=1.
点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.
练习： 在锐角三角形ABC中,ABC是它的三个内角,记S=,求证:S<1.
证明:∵S=
又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°.
∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0,
∴tanA·tanB>1.∴S<1.
例2 证明=tan(+).
解：方法一：从右边入手，切化弦，得
tan(+)=,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos+sin,得

方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得

由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos,得
=tan(+).

点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.
练习：已知α,β∈(0,)且满足:3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.
解法一:3sin2α+2sin2β=13sin2α=1-2sin2β,即3sin2α=cos2β, ①
3sin2α-2sin2β=03sinαcosα=sin2β, ②
①2+②2:9sin4α+9sin2αcos2α=1,即9sin2α(sin2α+cos2α)=1,
∴sin2α=.∵α∈(0,),∴sinα=.
∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin2α+cos2α)=3×=1.
∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.
解法二:3sin2α+2sin2β=1cos2β=1-2sin2β=3sin2α,
3sin2α-2sin2β=0sin2β=sin2α=3sinαcosα,
∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β
=cosα·3sin2α-sinα·3sinαcosα=0.
∵α,β∈(0),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.
解法三:由已知3sin2α=cos2β,sin2α=sin2β,
两式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(-2β).
∵α∈(0,),∴tanα>0.∴tan(-2β)>0.
又∵β∈(0,),∴<-2β<.
结合tan(-2β)>0,得0<-2β<.
∴由tanα=tan(-2β),得α=-2β,即α+2β=.
例3 求证:
证明:证法一:左边=
==右边.∴原式成立.
证法二:右边=1-
=
==左边.∴原式成立.
点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力.
练习：
1.求证:.
分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于,此式右边就是tan2θ.
证明:原等式等价于.
而上式左边
==tan2右边.∴上式成立,即原等式得证.
2.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=tanα.
分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理.
证明:由sinβ=msin(2α+β)sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]
sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m0[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα](1-m)·sin(α+β)cosα=(1+m)·cos(α+β)sinα
tan(α+β)=tanα.
练习：
1.若sinα=,α在第二象限,则tan的值为( )
A.5 B.-5 C. D.
2.设5π<θ<6π,cos=α,则sin等于( )
A. B. C. D.
3.已知sinθ=,3π<θ<,则tan_________________.
解答:
1. A 2.D 3.-3
例4 化简:.
解:原式==tan.
点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.
变式训练
化简:sin50°(1+tan10°).
解:原式=sin50°
=2sin50°·
=2cos40°·=1.
例5 已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值.
解:由sinx-cosx=,得(sinx-cosx)2=,
即1-2sinxcosx=,∴sinxcosx=.
∴sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)
=(1+)=.
点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.
练习： (2007年高考浙江卷,12) 已知sinθ+cosθ=,且≤θ≤,则cos2θ的值是______________.
答案:

一、选择题
1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f(x)＝cos2(x＋)－sin2(x＋)，x∈R，则函数f(x)是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
[答案]　A
[解析]　f(x)＝cos(2x＋)＝－sin2x为奇函数，周期T＝＝π.
(理)(2010·辽宁锦州)函数y＝sin2x＋sinxcosx的最小正周期T＝(　　)
A．2π B．π C. D.
[答案]　B
[解析]　y＝sin2x＋sinxcosx＝＋sin2x
＝＋sin，∴最小正周期T＝π.
2．(2010·重庆一中)设向量a＝(cosα，)的模为，则cos2α＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
[答案]　B
[解析]　∵|a|2＝cos2α＋2＝cos2α＋＝，
∴cos2α＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－.
3．已知tan＝3，则cosα＝(　　)
A. B．－ C. D．－
[答案]　B
[解析]　cosα＝cos2－sin2＝

＝＝＝－，故选B.
4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是(　　)
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．既非等腰又非直角的三角形
[答案]　B
[解析]　∵sinAsinB＝cos2，
∴[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝(1＋cosC)，
∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，
∴cos(A－B)＝1，
∵－π．4π
[答案]　C
[解析]　f(x)＝－2cosx＋|cosx|
＝，画出图象可知周期为2π.
6．(2010·揭阳市模考)若sinx＋cosx＝，x∈(0，π)，则sinx－cosx的值为(　　)
A．± B．－ C. D.
[答案]　D
[解析]　由sinx＋cosx＝两边平方得，1＋2sinxcosx＝，∴sin2x＝－<0，∴x∈，
∴(sinx－cosx)2＝1－sin2x＝且sinx>cosx，
∴sinx－cosx＝，故选D.
7．(文)在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是(　　)
A．x≤y B．x＜y
C．x≥y D．x＞y
[答案]　D
[解析]　∵π>A＋B＞，∴cos(A＋B)＜0，即cosAcosB－sinAsinB＜0，∴x＞y，故应选D.
(理)(2010·皖南八校)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos(2B＋C)＋2sinAsinB<0，那么a、b、c满足的关系是(　　)
A．2ab>c2 B．a2＋b2a2 D．b2＋c2)＋2sinA·sinB<0，
∴cos(π－A)cosB－sin(π－A)sinB＋2sinAsinB<0，
∴－cosAcosB＋sinAsinB<0，即cos(A＋B)>0，
∴0，
由余弦定理得，cosC＝<0，
∴a2＋b2－c2<0，故应选B.
8．(2010·吉林省调研)已知a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，记f(x)＝a·b，要得到函数y＝sin4x－cos4x的图象，只需将函数y＝f(x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
[答案]　D
[解析]　y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos2x，
将f(x)＝a·b＝2sinxcosx＝sin2x，向右平移个单位得，sin2＝sin＝－sin＝－cos2x，故选D.
9．(2010·浙江金华十校模考)已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈，若a·b＝，
则tan的值为(　　)
A. B. C. D.
[答案]　C
[解析]　a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝，∴sinα＝，
∵<α<π，∴cosα＝－，∴tanα＝－，
∴tan＝＝.
10．(2010·湖北黄冈模拟)若≤α≤，则＋等于(　　)
A．－2cos B．2cos
C．－2sin D．2sin
[答案]　C
[解析]　∵≤α≤，∴≤≤.
∴＋
＝＋
＝＋
＝－(sin＋cos)－(sin－cos)
＝－2sin.
二、填空题
11．(2010·广东罗湖区调研)若sin＝，则cos2θ＝________.
[答案]　－
[解析]　∵sin＝，∴cosθ＝，
∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－.
12．(2010·江苏无锡市调研)函数y＝的最大值与最小值的积是________．
[答案]　－
[解析]　y＝＝
＝·＝＋
＝sin2x·cos2x＝sin4x，
所以最大与最小值的积为－.
13．(2010·浙江杭州质检)函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．
[答案]　1
[解析]　y＝sinxcos10°＋cosxsin10°＋cosxcos40°－sinxsin40°＝(cos10°－sin40°)sinx＋(sin10°＋cos40°)cosx，其最大值为

＝
＝＝1.

14．(文)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则tan2＝________.

[答案]　
[解析]　设OC＝r，∵AD＝3DB，且AD＋DB＝2r，∴AD＝，∴OD＝，∴CD＝r，∴tanθ＝＝，
∵tanθ＝，∴tan＝(负值舍去)，
∴tan2＝.
(理)＝________.
[答案]　－4
[解析]　＝
＝＝－4.
三、解答题
15．(文)(2010·北京理)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[解析]　(1)f()＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx
＝3cos2x－4cosx－1
＝3(cosx－)2－，x∈R
因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝时，f(x)取最小值－.
(理)(2010·广东罗湖区调研)已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)，设f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值及最小值．
[解析]　(1)f(x)＝a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx
＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx
＝cos2x＋sin2x＝
＝sin.
∴f(x)的最小正周期T＝π.
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值；当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最小值－1.
16．(文)设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝，f()＝－，且C为锐角，求sinA的值．
[解析]　(1)f(x)＝cos＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋＝－sin2x，
所以函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.
(2)f()＝－sinC＝－，所以sinC＝，
因为C为锐角，所以C＝，
在△ABC中，cosB＝，所以sinB＝，
所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝×＋×＝.
(理)已知角A、B、C为△ABC的三个内角，＝(sinB＋cosB，cosC)，＝(sinC，sinB－cosB)，·＝－.
(1)求tan2A的值；
(2)求的值．
[解析]　(1)∵·＝(sinB＋cosB)sinC＋
cosC(sinB－cosB)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－，
∴sinA＋cosA＝－①
两边平方并整理得：2sinAcosA＝－，
∵－<0，∴A∈，
∴sinA－cosA＝＝②
联立①②得：sinA＝，cosA＝－，∴tanA＝－，
∴tan2A＝＝＝－.
(2)∵tanA＝－，
∴＝＝
＝＝13.
17．(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f(x)＝sin2ax－sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.
(1)求m和a的值；
(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈，求点A的坐标．
[解析]　(1)f(x)＝sin2ax－sinaxcosax
＝－sin2ax＝－sin＋，
由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，
所以m＝－或m＝，
由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，
所以m＝－或m＝，a＝2.
2)∵f(x)＝－sin＋，
∴令sin＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，
∴x＝－(k∈Z)，
由0≤－≤　(k∈Z)，得k＝1或k＝2，
因此点A的坐标为或.
(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a＝(sinx,1)，b＝(1，cosx)，记f(x)＝a·b，f ′(x)是f(x)的导函数．
(1)求函数F(x)＝f(x)f ′(x)＋f 2(x)的最大值和最小正周期；
(2)若f(x)＝2f ′(x)，求的值．
[解析]　(1)f(x)＝sinx＋cosx，
∴f ′(x)＝cosx－sinx，
∴F(x)＝f(x)f ′(x)＋f 2(x)
＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx
＝cos2x＋sin2x＋1＝1＋sin，
∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，F(x)max＝1＋.
最小正周期为T＝＝π.
(2)∵f(x)＝2f ′(x)，∴sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，
∴cosx＝3sinx，∴tanx＝，
∴＝＝＝2

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基础巩固
一、选择题
1．若cosθ>0，sin2θ<0，则角θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[答案]　D
[解析]　∵cosθ>0，sin2θ＝2sinθcosθ<0，
∴sinθ<0，
∴角θ是第四象限角．
2．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　D
[解析]　本题考查了三角恒等变换与三角函数的求值．
tanθ＋＝＋＝＝＝4，
∴sin2θ＝.
3．函数f(x)＝cos4x－sin4x的最小正周期是(　　)
A． B．π
C．2π D．4π
[答案]　B
[解析]　f(x)＝cos4x－sin4x
＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)
＝cos2x，
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
4．若tanα＝3，则的值等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
[答案]　D
[解析]　由＝＝2tanα＝2×3＝6，故选D.
5．计算－等于(　　)
A．－2cos5° B．2cos5°
C．－2sin5° D．2sin5°
[答案]　C
[解析]　－＝－
＝－
＝(sin40°－cos40°)
＝2(sin40°－cos40°)
＝2sin(40°－45°)＝－2sin5°.
6．·＝(　　)
A．tanα B．tan2α
C．1 D．
[答案]　B
[解析]　原式＝·＝＝tan2α.
二、填空题
7．若tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ＝________.
[答案]　
[解析]　cos2θ＋sin2θ＝cos2θ＋sinθcosθ
＝＝＝
＝×＝.
8．tan－的值等于________．
[答案]　－2
[解析]　tan－＝
＝－
＝－2cot＝－2.
三、解答题
9．已知cosα＝－，α∈(π，)，求sin2α，cos2α，tan2α的值．
[解析]　∵cosα＝－，α∈(π，)，
∴sinα＝－＝－＝－，
∴sin2α＝2sinαcosα＝2×(－)×(－)＝，
cos2α＝2cos2α－1＝2×(－)2－1＝，
tan2α＝＝.

一、选择题
1．设a＝(，sinα)，b(cosα，)，且a∥b，则锐角α为(　　)
A．30° B．60°
C．75° D．45°
[答案]　D
[解析]　由题意，得×＝sinαcosα，
∴sinαcosα＝，
∴sin2α＝，
∴sin2α＝1.
∴α为锐角，
∴2α＝90°，∴α＝45°.
2．若α∈，则＋的值为(　　)
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
[答案]　D
[解析]　∵α∈，∴∈，
∴原式＝＋
＝－sin－cos－sin＋cos＝－2sin.
3．设a＝(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝， 则(　　)
A．ca>c.
4．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
[答案]　A
[解析]　令底角为α，则顶角β＝π－2α，且cosα＝，
∴sinα＝，∴sinβ＝sin(π－2α)＝sin2α
＝2sinαcosα＝2××＝.
二、填空题
5．函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是________．
[答案]　
[解析]　f(x)＝sin2(2x－)＝
＝－sin4x，
∴T＝＝.
6．已知θ为第三象限角，sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ＝________.
[答案]　
[解析]　sin4θ＋cos4θ＝，
∴(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，
∴1－sin22θ＝，
∴sin22θ＝.
∵θ为第三象限角，
∴2kπ＋π<θ<2kπ＋，k∈Z，
∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π，k∈Z，
∴sin2θ＝.
三、解答题
7．若cos(＋x)＝，nα＝.
(1)求sin(＋α)的值；
(2)求cos(－2α)的值．
[解析]　(1)∵α∈(，π)，sinα＝，
∴cosα＝－＝－，
∴sin(＋α)＝sincosα＋cossinα
＝×(－)＋×＝－.
(2)由(1)得sin2α＝2sinαcosα
＝2××(－)＝－，
cos2α＝2cos2α－1＝，
所以cos(－2α)＝coscos2α＋sinsin2α
＝(－)×＋×(－)＝－.
9．(2014·天津理，15)已知函数f(x)＝cosx·sin(x＋)－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值．
[解析]　(1)由已知，有
f(x)＝cosx·(sinx＋cosx)－cos2x＋
＝sinx·cosx－cos2x＋
＝sin2x－(1＋cos2x)＋
＝sin2x－cos2x
＝sin(2x－)．
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，
f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，
所以，函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－.

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