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2019年上海市长宁区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1．（4分）化简m3+m3的结果等于（　　）
A．m6 B．2m6 C．2m3 D．m9
2．（4分）下列二次根式中，最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）某校随机抽查若干名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，把所得数据绘制成频数分布直方图（如图），则仰卧起坐次数不小于15次且小于20次的频率是（　　）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
4．（4分）下列方程中，有实数解的是（　　）
A． B．2x2﹣x+1＝0 C．x2+4＝0 D．
5．（4分）下列命题中，真命题的是（　　）
A．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等
B．如果两个圆没有公共点，那么这两个圆外离
C．如果一条直线上有一个点到圆心的距离等于半径，那么这条直线与圆相切
D．如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦
6．（4分）已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠ADB＝∠CBD，AB∥CD B．∠ADB＝∠CBD，∠DAB＝∠BCD
C．∠DAB＝∠BCD，AB＝CD D．∠ABD＝∠CDB，OA＝OC
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】
7．（4分）今年春节黄金周上海共接待游客约5090000人，5090000这个数用科学记数法表示为　 　．
8．（4分）计算：＝　 　．
9．（4分）如果反比例函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（﹣1，2），那么这个反比例函数的图象在第　 　象限．
10．（4分）方程组的解是　 　．
11．（4分）掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是　 　．
12．（4分）如果二次函数（m为常数）的图象有最高点，那么m的值为　 　．
13．（4分）某商品经过两次涨价后，价格由原来的64元增至100元，如果每次商品价格的增长率相同，那么这个增长率是　 　．
14．（4分）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是　 　小时．
睡眠时间（小时）
6
7
8
9
学生人数
8
6
4
2
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，联结AE、BD交于点F，若＝，＝，用、表示＝　 　．

16．（4分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．分别以点A、C为圆心画圆，如果点B在⊙A上，⊙C与⊙A相交，且点A在⊙C外，那么⊙C的半径长r的取值范围是　 　．
17．（4分）我们规定：一个多边形上任意两点间距离的最大值称为该多边形的“直径”．现有两个全等的三角形，边长分别为4、4、．将这两个三角形相等的边重合拼成对角线互相垂直的凸四边形，那么这个凸四边形的“直径”为　 　．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别是点A'、B'，若点B'恰好在线段AA'的延长线上，则AA'的长等于　 　．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
20．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，CF⊥BD，垂足为点F，延长CF与边AB交于点E．求：
（1）∠ACE的正切值；
（2）线段AE的长．

22．（10分）某文具店每天售出甲、乙两种笔，统计后发现：甲、乙两种笔同一天售出量之间满足一次函数的关系，设甲、乙两种笔同一天的售出量分别为x（支）、y（支），部分数据如表所示（下表中每一列数据表示甲、乙两种笔同一天的售出量）．
甲种笔售出x（支）
…
4
6
8
…
乙种笔售出y（支）
…
6
12
18
…
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写出函数的定义域）
（2）某一天文具店售出甲、乙两种笔的营业额分别为30元和120元，如果乙种笔每支售价比甲种笔每支售价多2元，那么甲、乙两种笔这天各售出多少支？
23．（12分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E在边CB的延长线上，且∠EAC＝90°，AE2＝EB•EC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）延长DB、AE交于点F，若AF＝AC，求证：AE＝BF．

24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，且与x轴相交于点A，点A的横坐标为6，抛物线顶点为点B．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点B的坐标；
（2）过点O作OP∥AB，在直线OP上点取一点Q，使得∠QAB＝∠OBA，求点Q的坐标；
（3）将该抛物线向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，此时点A移动到点D的位置，CB：DB＝3：4，求m的值．

25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在边AC上（点P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于另一点D，ED⊥DP，交边BC于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若BE＝x，AD＝y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；
（3）延长ED交CA的延长线于点F，联结BP，若△BDP与△DAF相似，求线段AD的长．

2019年上海市长宁区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1．（4分）化简m3+m3的结果等于（　　）
A．m6 B．2m6 C．2m3 D．m9
【分析】直接利用合并同类项法则计算得出答案．
【解答】解：m3+m3＝2m3．
故选：C．
2．（4分）下列二次根式中，最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：，故A选项不是最简二次根式；
是简二次根式；
，故C 选项不是最简二次根式；
，故D 选项不是最简二次根式，
故选：B．
3．（4分）某校随机抽查若干名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，把所得数据绘制成频数分布直方图（如图），则仰卧起坐次数不小于15次且小于20次的频率是（　　）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【分析】结合频数分布直方图，根据频率＝频数÷总数，直接代入求解即可．
【解答】解：仰卧起坐次数不小于15次且小于20次的频率是：＝0.1；
故选：A．
4．（4分）下列方程中，有实数解的是（　　）
A． B．2x2﹣x+1＝0 C．x2+4＝0 D．
【分析】对分式方程进行解方程然后验根，对一元二次方程运用根的判别式进行判断，对无理方程先化为一元二次方程再运用根的判别式进行判断即可．
【解答】解：A．原方程变形为x+2＝x2﹣4，整理得 x2﹣x﹣6＝0，解得x＝3或﹣2，x＝3时，左边＝1≠右边，x＝﹣2时，x2﹣4＝0，因此原方程无解，故A错误；
B．△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，因此因此原方程无解，故B错误；
C．△＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×4＝﹣16＜0，因此因此原方程无解，故C错误；
D．原方程变形为6﹣x＝x2，移项得，x2+x﹣6＝0，．△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，因此因此原方程有两个不相等的实数根，故D正确；
故选：D．
5．（4分）下列命题中，真命题的是（　　）
A．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等
B．如果两个圆没有公共点，那么这两个圆外离
C．如果一条直线上有一个点到圆心的距离等于半径，那么这条直线与圆相切
D．如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦
【分析】A没强调在同圆或等圆中，不正确；
B两个圆没有公共点，这两个圆的位置是内含或外离，只说外离不正确；
C直线和圆相交时，交点与圆心的距离也等于半径，说这条直线与圆相切是错的；
D垂径定理的推论，正确．
【解答】解：A没强调在同圆或等圆中，不正确；
B两个圆没有公共点，这两个圆的位置是内含或外离，只说外离不正确；
C直线和圆相交时，交点与圆心的距离也等于半径，说这条直线与圆相切是错的；
D垂径定理的推论，正确．
故选：D．
6．（4分）已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠ADB＝∠CBD，AB∥CD B．∠ADB＝∠CBD，∠DAB＝∠BCD
C．∠DAB＝∠BCD，AB＝CD D．∠ABD＝∠CDB，OA＝OC
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：A、∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∵∠DAB＝∠BCD，
∴∠BAD+∠ABC＝∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∠DAB＝∠BCD，AB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、∵∠ABD＝∠CDB，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OB＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】
7．（4分）今年春节黄金周上海共接待游客约5090000人，5090000这个数用科学记数法表示为　5.09×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5090000＝5.09×106，
故答案是：5.09×106．
8．（4分）计算：＝　　．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣2﹣1
＝4﹣
＝3．
故答案为：3．
9．（4分）如果反比例函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（﹣1，2），那么这个反比例函数的图象在第　二、四　象限．
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用反比例函数的性质，即可得出这个函数图象所在的象限．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过点（﹣1，2），
∴k＝﹣1×2＝﹣2＜0，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∴这个函数图象在第二、四象限．
故答案为：二、四．
10．（4分）方程组的解是　或　．
【分析】首先把方程①变形为x＝﹣3﹣y，然后利用代入法消去x，得到关于y的一元二次方程，解方程求出y，然后就可以求出x，从而求解．
【解答】解：，
解：由①得，x＝﹣3﹣y③，
把③代入②得，（﹣3﹣y）y＝2，
解得：y1＝﹣1，y2＝﹣2，
把y1＝﹣1，y2＝﹣2分别代入③得，x1＝﹣2，x2＝﹣1，
∴原方程组的解为或，
故答案为：或．
11．（4分）掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是　　．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数，
共有六种可能，其中2、3、5是素数，
所以概率为＝，
故答案为：．
12．（4分）如果二次函数（m为常数）的图象有最高点，那么m的值为　﹣2　．
【分析】根据二次函数的定义结合其有最高点确定m的值即可．
【解答】解：∵二次函数（m为常数）的图象有最高点，
∴，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．（4分）某商品经过两次涨价后，价格由原来的64元增至100元，如果每次商品价格的增长率相同，那么这个增长率是　25%　．
【分析】设这个增长率为x，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个增长率为x，
依题意，得：64（1+x）2＝100，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
故答案为：25%．
14．（4分）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是　7　小时．
睡眠时间（小时）
6
7
8
9
学生人数
8
6
4
2
【分析】根据中位数的定义进行求解即可．
【解答】解：∵共有20名学生，把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第10和11个数的平均数，
∴这些测试数据的中位数是＝7小时；
故答案为：7．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，联结AE、BD交于点F，若＝，＝，用、表示＝　﹣+　．

【分析】根据＝+，求出，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴＝＝，＝＝，
∵DE＝DC，
∴＝﹣＝﹣，
∴＝+＝﹣，
∵DE∥AB，
∴EF：AF＝DE：AB＝1：2，
∴EF＝AE，
∴＝﹣＝﹣+
∴＝+＝﹣﹣+＝﹣+
故答案为﹣+．

16．（4分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．分别以点A、C为圆心画圆，如果点B在⊙A上，⊙C与⊙A相交，且点A在⊙C外，那么⊙C的半径长r的取值范围是　4＜r＜10　．
【分析】根据勾股定理求出斜边AC，根据点和圆的位置关系求出⊙A的半径，再求出⊙C的半径即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得：AC＝＝10，
∵点B在⊙A上，
∴⊙A的半径是6，
设⊙A交AC于D，则AD＝6，CD＝10﹣6＝4，
∵点A在⊙C外，
∴⊙C的半径小于10，
即r的取值范围是4＜r＜10，
故答案为：4＜r＜10．
17．（4分）我们规定：一个多边形上任意两点间距离的最大值称为该多边形的“直径”．现有两个全等的三角形，边长分别为4、4、．将这两个三角形相等的边重合拼成对角线互相垂直的凸四边形，那么这个凸四边形的“直径”为　6或3　．
【分析】①如图1，由题意得，AB＝AC＝BD＝CD＝4，BC＝2，求得四边形ABDC是菱形，根据菱形的性质得到AD⊥BC，BO＝CO＝AC＝，AO＝OD，根据勾股定理得到AO＝＝＝3；
②如图2，由题意得，AB＝AC＝AD＝4，BC＝CD＝2，得到AC垂直平分BD，求得AC⊥BD，BO＝DO，设AO＝x，则CO＝4﹣x，根据勾股定理得到BD＝2BO＝3，于是得到结论．
【解答】解：①如图1，由题意得，AB＝AC＝BD＝CD＝4，BC＝2，
∴四边形ABDC是菱形，
∴AD⊥BC，BO＝CO＝AC＝，AO＝OD，
∴AO＝＝＝3，
∴AD＝6＞2＝BC，
∴这个凸四边形的“直径”为6；
②如图2，由题意得，AB＝AC＝AD＝4，BC＝CD＝2，
∴AC垂直平分BD，
∴AC⊥BD，BO＝DO，
设AO＝x，则CO＝4﹣x，
由勾股定理得，AB2﹣AO2＝BC2﹣CO2，
∴42﹣x2＝（2）2﹣（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴AO＝，
∴BO＝＝，
∴BD＝2BO＝3，
∵BD＝3＞4＝AC，
∴这个凸四边形的“直径”为3，
综上所述：这个凸四边形的“直径”为6或3，
故答案为：6或3．

18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别是点A'、B'，若点B'恰好在线段AA'的延长线上，则AA'的长等于　　．

【分析】由旋转的性质可得AC＝A'C＝5，AB＝A'B'＝5，BC＝B'C＝8，由等腰三角形的性质可得AF＝A'F，由勾股定理列出方程组，可求AF的长，即可求AA'的长．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥AA'于点F，

∵旋转
∴AC＝A'C＝5，AB＝A'B'＝5，BC＝B'C＝8
∵CF⊥AA'，
∴AF＝A'F
在Rt△AFC中，AC2＝AF2+CF2，
在Rt△CFB'中，B'C2＝B'F2+CF2，
∴B'C2﹣AC2＝B'F2﹣AF2，
∴64﹣25＝（8+AF）2﹣AF2，
∴AF＝
∴AA'＝
故答案为：
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先计算括号内的分式减法，再计算除法运算，化简后，代入x的值求解．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
当时，原式＝＝＝．
20．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
由①得x＜3；
由②得x≥0；
∴不等式组的解集为0≤x＜3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，CF⊥BD，垂足为点F，延长CF与边AB交于点E．求：
（1）∠ACE的正切值；
（2）线段AE的长．

【分析】（1）由直角三角形ABC，且CF垂直于BD，利用同角的余角相等得到∠ACE＝∠CBD，根据AC的长确定出CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可；
（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，在直角三角形EHA中，利用锐角三角函数定义表示出tanA，进而表示出AE，在直角三角形CEH中，利用锐角三角函数定义表示出CH，由CH+AH表示出AC，根据已知AC的长求出k的值，即可确定出所求．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，
又∵CF⊥BD，
∴∠CFB＝90°，
∴∠BCE+∠CBD＝90°，
∴∠ACE＝∠CBD，
∵AC＝4且D是AC的中点，
∴CD＝2，
又∵BC＝3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°．
∴tan∠BCD＝＝，
∴tan∠ACE＝tan∠CBD＝；
（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，

在Rt△EHA中，∠EHA＝90°，
∴tanA＝，
∵BC＝3，AC＝4，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴tanA＝＝，
∴＝，
设EH＝3k，AH＝4k，
∵AE2＝EH2+AH2，
∴AE＝5k，
在Rt△CEH中，∠CHE＝90°，
∴tan∠ECA＝＝，
∴CH＝k，
∴AC＝AH+CH＝k＝4，
解得：k＝，
∴AE＝．
22．（10分）某文具店每天售出甲、乙两种笔，统计后发现：甲、乙两种笔同一天售出量之间满足一次函数的关系，设甲、乙两种笔同一天的售出量分别为x（支）、y（支），部分数据如表所示（下表中每一列数据表示甲、乙两种笔同一天的售出量）．
甲种笔售出x（支）
…
4
6
8
…
乙种笔售出y（支）
…
6
12
18
…
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写出函数的定义域）
（2）某一天文具店售出甲、乙两种笔的营业额分别为30元和120元，如果乙种笔每支售价比甲种笔每支售价多2元，那么甲、乙两种笔这天各售出多少支？
【分析】（1）根据待定系数法即可求出y与x的函数关系式．
（2）根据题意列出关系式即可求出答案．
【解答】解：（1）设函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由图象过点（4，6），（6，12），
得：，
解之得：，
所以y关于x的解析式为：y＝3x﹣6．
（2）设甲种笔售出x支，则乙种笔售出（3x﹣6）支，由题意可得：
整理得：x2﹣7x﹣30＝0
解之得：x1＝10，x2＝﹣3（舍去）3x﹣6＝24
答：甲、乙两种这天笔各售出10支、24支．
23．（12分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E在边CB的延长线上，且∠EAC＝90°，AE2＝EB•EC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）延长DB、AE交于点F，若AF＝AC，求证：AE＝BF．

【分析】（1）根据AE2＝EB•EC证明△AEB∽△CEA，即可得到∠EBA＝∠EAC＝90°，从而说明平行四边形ABCD是矩形；
（2）根据（1）中△AEB∽△CEA可得，再证明△EBF∽△BAF可得，结合条件AF＝AC，即可证AE＝BF．
【解答】证明：（1）∵AE2＝EB•EC
∴
又∵∠AEB＝∠CEA
∴△AEB∽△CEA
∴∠EBA＝∠EAC
而∠EAC＝90°
∴∠EBA＝∠EAC＝90°
又∵∠EBA+∠CBA＝180°
∴∠CBA＝90°
而四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
即得证．

（2）∵△AEB∽△CEA
∴即，∠EAB＝∠ECA
∵四边形ABCD是矩形
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠ECA
∴∠EBF＝∠OBC＝∠ECA＝∠EAB
即∠EBF＝∠EAB
又∵∠F＝∠F
∴△EBF∽△BAF
∴
∴
而AF＝AC
∴BF＝AE
即AE＝BF得证．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，且与x轴相交于点A，点A的横坐标为6，抛物线顶点为点B．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点B的坐标；
（2）过点O作OP∥AB，在直线OP上点取一点Q，使得∠QAB＝∠OBA，求点Q的坐标；
（3）将该抛物线向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，此时点A移动到点D的位置，CB：DB＝3：4，求m的值．

【分析】（1）将点O，点A坐标代入解析式可求抛物线的表达式和顶点B的坐标；
（2）由点A，点B坐标可求直线AB解析式，即可求直线OP解析式为：y＝x，设点Q（3k，4k），可证四边形OQAP为等腰梯形，可得OB＝QA，由两点距离公式可求k的值，即可求点Q坐标；
（3）过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F，由题意可证△BCF∽△BDE，可得，可得，可得，可得关于m的方程，即可求m的值．
【解答】解：（1）∵点O（0，0）、A（6，0）在抛物线上
∴，
解得
∴抛物线的解析式为＝（x﹣3）2﹣4，
∴顶点B的坐标是（3，﹣4）
（2）如图，

∵A（6，0），B（3，﹣4）
∴直线AB解析式为：y＝x﹣8
∵OP∥AB
∴直线OP解析式为：y＝x
设点Q（3k，4k），
∵∠OBA＝∠QAB＞∠OAB，
∴k＞0
∵OP平行于AB，QA不平行于OB
∴四边形OQAP为梯形
又∵∠QAB＝∠OBA
∴四边形OQAP为等腰梯形
∴QA＝OB
∴（6﹣3k）2+（4k）2＝25
∴或k＝﹣1（舍去）
∴
（3）由（1）知
设抛物线向左平移m（m＞0）个单位后的新抛物线表达式为
∵新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，设点C的坐标为C（0，c）
∴0＜m＜3，﹣4＜c＜0，
如图，过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F

∴，且∠BFC＝∠BED＝90°
∴△BCF∽△BDE
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴或者m2＝3（舍去）
∴
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在边AC上（点P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于另一点D，ED⊥DP，交边BC于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若BE＝x，AD＝y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；
（3）延长ED交CA的延长线于点F，联结BP，若△BDP与△DAF相似，求线段AD的长．

【分析】（1）首先得出∠BDE+∠PDA＝90°，进而得出∠B+∠A＝90°，利用PD＝PA得出∠PDA＝∠A进而得出答案；
（2）由AD＝y得到：BD＝BA﹣AD＝5﹣y．过点E作EH⊥BD垂足为点H，构造Rt△EHB，所以，．通过解Rt△ABC知：．易得答案；
（3）需要分类讨论：①当∠DBP＝∠ADF时，即；
②当∠DBP＝∠F时，即，
借助于方程求得AD的长度即可．
【解答】（1）证明：∵ED⊥DP，
∴∠EDP＝90°．
∴∠BDE+∠PDA＝90°．
又∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠PAD＝90°．
∵PD＝PA，
∴∠PDA＝∠PAD．
∴∠BDE＝∠B．
∴BE＝DE．

（2）∵AD＝y，BD＝BA﹣AD＝5﹣y．
过点E作EH⊥BD垂足为点H，由（1）知BE＝DE，
∴．
在Rt△EHB中，∠EHB＝90°，
∴．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．
∴AB＝5．
∴．
∴，
∴．

（3）设PD＝a，则，
在等腰△PDA中，，易得
在Rt△PDF中，∠PDF＝90°，．
∴，．
若△BDP∽△DAF又∠BDP＝∠DAF
①当∠DBP＝∠ADF时，即，
解得a＝3，此时．
②当∠DBP＝∠F时，即，
解得，此时．
综上所述，若△BDP∽△DAF，线段AD的长为或．

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