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弹塑性力学的基本理论及在工程上的应用综述 大 连 海 洋 大 学 学院：海洋与土木工程学院 专业：港口海岸及近海工程 姓名：李瑞振 学号：20132199 论文题目：弹塑性力学的基本理论及在工程上的应用 指导教师：高潮 摘要：工程技术人才必须具有坚实的力学基础，而弹塑性力学是力学基础的重要环节，是高等工程类人才知识结构中必不可少的部分。对研究生而言，弹塑性力学是工程工程技术基础学科，是工科院校工程力学土木工程等专业必须的一门课程，大土木工程专业，特别是港口，海岸及近海工程专业的硕士研究方向一般是是港工结构、海洋结构、岩土、岩土与结构相互作用等方面，这些方向都是以弹塑性力学的知识为基础，弹塑性理论在工程上具有广泛的应用。 关键词：弹塑性理论；工程；应用 Abstract: Engineering and technical personnel must have the solid foundation and mechanics, elastic-plastic mechanics is an important link inmechanics, is essential for higher engineering talents knowledge structure in the part. For graduate students, elastic and plastic mechanics is afoundation engineering, is a course in Engineering Colleges of engineering mechanics, civil engineering and other professional must, in civil engineering, especially in port, coastal and offshore engineering research direction is generally is harbor engineering structure, marine structures,rock, rock the interaction between soil and structure and so on, the direction is based on elastic-plastic mechanics knowledge as the foundation, elastic and plastic theory is widely used in engineering. Keywords: elastic-plastic theory; engineering application 引言： 弹性力学和塑性力学是固体力学的两个重要部分，固体力学是研究材料及其构成的物体结构在外部干扰下的力学响应的科学对按其研究对象而区分为不同的学科分支。 弹性力学又称弹性理论，它是固体力学最基本也是最主要的内容，从宏观现象规律的角度，利用连续数学的工具研究任意形状的弹性物体受力后的变形、各点的位移、内部的应变与应力的一门科学，它的研究对象是“完全弹性体”。 塑性力学又称塑性理论，是研究物体塑性的形成及其应力和变形规律的一门科学，它是继弹性力学之后，对变形体承载能力认识的发展深化。 一、 弹塑性力学的基本理论 1、1应力理论 1、11 应力和应力张量 在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。 为了说明应力的概念，假想把受组平衡力系作用的物体用一平面A分成A和B两部分(图2.1)。如将B部分移去，则B对A的 作用应代之以B部分对A部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A与B之间在截面C的内力，且为 分布力。如从C面上点P处取出一包括P点在内的微 小面积元素?S，而?S上的内力矢量为?F，则内力 的平均集度为?F?S，如令?S无限缩小而趋于点 P，则在内力连续分布的条件下?F?S趋于一定的 极限?o，即 ?F lim? ?S?0?S 1.12二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式 上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P是从一个三维空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后再讨论空间问题就比较容易了。 当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某个坐标轴(例如z轴)无关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。 （1） 平面应力问题 如果考虑如图所示物体是一个很薄的 平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即 xy平面，z方向的体力分量Z及面力分量Fz均 为零，则板面上(z?/2处)应力分量为 (?z)?0 z?2 (?zx)z? 2?(?zy)z? 2?0 因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布， 平面应力问题 所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此， 在垂直于z轴的任一微小面积上均有 ?z?0， ?zx?zy?0 根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有?yx?xz?0。因而对于平面应力状态的应力张量为 ?x ?ij?yx ?0?xy?y 00?0? 0? ?zx?zy?0，?y 如果z方向的尺寸为有限量，仍假设?z?0，且认为?x， 和?xy(?yx)为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。 （2）平面应变问题 如果物体纵轴方向(oz坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿z轴均匀分布地作用在垂直于oz方向，如图2.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略端部效应，则因外载沿z轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位移与所在z方向的位置无关，即z方向各点的位移均相 同。令u、v、w分别表示一点在x、y、z坐标方向 的位移分量，则有w为常数。等于常数的位移w并不 伴随产生任一xy平面的翘曲变形，故研究应力、应变 问题时，可取w?0。此外，由于物体的变形只在xy平 面内产生，因此w与z无关。故对于平面应变状态有 u?u(x,y)? v?v(x,y)? w?0?图2.4 平面应变问题 由对称条件可知，在xy平面内?xz(?zx)和?yz(?zy) 恒等于零，但因z方向对变形的约束，故?z一般并不 为零，所以其应力张量为 ?x ?ij?yx ?0 ?xy?y00?0? ?z? 实际上?z并不是独立变量，它可通过?x和?y求得，因此不管是平面应变问 题还是平面应力问题，独立的应力分量仅有3个，即?x、?y和?xy(=?yx)，对于平面应变问题的求解，可不考虑?z。 （3）平衡微分方程 物体在外力作用下处于平衡状态时，由各点应力分量与体力分量之间的关系所导出的方程称为平衡微分方程。如图所示的平面应力问题，除面力外，在这个微单元体上还有体力的作用单位体积的体力在二个坐标轴上的投影为X,Y而固体的质量密度为?。自弹性体内任一点P处附近截取一单元体， a b 平面应力状态微元体的应力 它在x，y方向的尺寸分别为dx和dy。为了计算方便，在z方向取单位长度，如图b所示。该单元体受有其相邻部分对它作用的应力和单元体的体力。由于在一般情况下应力分量是位置坐标的函数，因此在单元体左、右或上、下两对面上的应力不相等，而具有一微小的增量。若作用于ab上的正应力和剪应力分别为?x，则作用于cd面上的正应力应随之变化。该变化可根据Taylor级数展开，即 ?xcd?xab?x?xdx? ab?x?ydy?0(dx2,dy2) ab 由于ab,cd线元上的应力分量均可用相应线元中点处的应力分量表示，以及略去二阶以上的微量后，由上式得cd边上的正应力为 ?x?xdx ?x 同理，如ab边上的切应力为?xy，ad边上的正应力和切应力分别为?y，?yx可得cd边上的切应力及bc边的应力分量可类推分别得 ?xy? ?xy?xdx ?y? ?y?y ?yx ?ydy dy?yx? 微单元体在面力及体力作用下处于平衡，必须满足静力平衡的三个方程式。如果考虑到质点运动，而按照牛顿第二定律，方程式的右边还应包括这个微单元体的质量与加速度在该坐标轴上的投影的乘积(即惯性力的投影)。 （4） 一点的应力状态 所谓一点的应力状态是指受力变形物体内一点的不同截面上的应力变化的状况。现以平面问题为例说明一点处应力状态。在受力物体中取一个如图2.6所示的微小三角形单元，其中AC，AB与坐标轴x,y重合，而BC的外法线与zz轴成?角。取坐标x',y'，使BC的外法线方向与x'方向重合(如图2.6)。如果?x,?y,?xy已知，则BC面上的正应力?x，和切应力?xy可用已知量表示。因?角''' 的任意性，若BC面趋于点 A时，则可认为求得了描绘过点4处的应力状态的表达式。 实际上，这里所讨论的问题是一点处不同方向的面上的应 力的转换，即BC面无限趋于点A时，该面上的应力如何 用与原坐标相平行的面上的应力来表示。在这种问题的分 析中，可不必引入应力增量和体力，因为它们与应力相比 属于小量。 （5）边界条件 当物体处于平衡状态时，除物体内部各点要满足平衡微分方程式(2.2-4)外，还应满走解条件。定解条件一般包括初始条件、边界条件或其它能确定唯一解答的补充条件。对于弹塑性静力学问题，定解条件主要是边界条件，所以弹塑性力学问题也就是数学物理方程中的边值问题。其它如约束条件、位移单值条件等也是常遇到的定解条件。 在弹塑性力学中，给定面力的边界，用S?表示，结定位移的过界，用Su表 示，如图所示。本节主要讨论弹塑性力学平面问题的边界条件。 a.位移边界条件 所谓位移边界条件，就是在给定位移的边界上，物体的位移分量必须等于边 界上的已知位移。 设平面弹塑性体在Su边界上给定x、y方向上的位移分别为u和v；，它们是 _ 边界坐标的已知函数；而位移分量u、v则是坐标的待求函数。当把它们代入Su边界的坐标时，则必等于该点所给定的位移，即 u?u， v?v 在Su对于三维问题，在Su边界的位移边界条件为 ui?ui 此处i?(x,y,z)，且对应于u、v、w。 b.应力边界条件 弹塑性体在外力作用下，处于平衡状态的条件，除物体内部各点的应力分量应满足平衡方程式外，物体边界上各点也必须都是平衡的。由后者将导出应力边界条件。所谓应力边界条件就是在给定面力S?的边界上应力分量与面力分量之间的关系。实质上，它是弹塑性体内部各点的平衡条件在其边界上的延续。因此，应力边界条件就是物体边界上点的平衡条件。 设平面弹性体在S?上给定面力X、Y，它们是边界坐标的已知函数；而应力分量?x、?y、?z则是坐标的待求函数。它们之间的关系可由边界上微元体的平衡条件求出。不失一般性，在物体的边界上取一微元体(一般取为三角形微元，因为它可以描述任意曲线边界)如图b所示，它在平面问题中显然是三角板(平面应力)或三棱柱(平面应变)。 当物体的边界线与某一坐标轴平行(或垂直)时，应力边界条件变得十分简单，即应力分量的边界值就等于对应的面力分量，应力分量的符号取决于边界面的外法线方向。当边界面的外法线方向与坐标正向一致时，等式右边取正号，否则取负号。但应注意，面力本身还有正负号。其规定与应力符号法则相同。 对于三维问题，由力的平衡条件可得 _ ?xl?xym?xzn?X?_? ?xyl?ym?yzn?Y? ?xzl?yzm?zn?Z?_? 需要指出的是：在垂直x轴的边界面上，应力边界条件中不出现?y，而在垂直y轴的边界上不出现?x。当作用在边界面上的面力不连续时，应分段或展开成级数写出其边界条件；没有给定位移的自由边界，实际上是给定面力为零的应力边界，不能遗漏。 c.混合边界条件 在一般情况下，若用S表示整个物体的表面积， 则往往在其中一部分面积S?上给出了面力，而在 另一部分面积Su上给定的是位移。如图所示悬臂梁， 固定端部分属于Su部分，它给定位移而末给定外力； 其余边界均属S?部分，它的外力已给定 (包括外力 受均布载荷悬臂梁等于零的部分)。显然，在Su上各点应满足位移边界条件式，在S?上各点应满足应力边界条件式。 对于混合边界条件，可以分别给在边界面的不同区域上，也可以给在同一区域的不同方向上。也即，对于边界上的一个点，在某一确定方向上，必须且只能给出Su和S?中的一种，既不能同时给定，也不能同时不给 定；而同点在两个互相垂直方向止，可以是 其中一个为S? ，另一个为Su. 1.2应变状态理论 在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。 1.21坐标与位移 设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴 (X、Y、Z)上的投影为(x,y,z)，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(u、v、w)，这些位移分量可看作是坐标(x,y,z)的函数。于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。即 ?x?u(x,y,z)? ?y?v(x,y,z)? ?z?w(x,y,z)? 上式中函数u、v、w以及它们对坐标(x,y,z)的偏导数假设是连续的，确定了变量()与之间的关系。因为物体中变形前各点对应看变形后的各点， ，可得如下三个方程 因此式(3.1-1)是单值的，可看成是坐标的一个变换。 如果在上式中，假设 决定了一条曲线，曲线上各点( ，在物体变形前为平行于轴的直线 ) )上(图3.1)。由此可见，变形前物体上与坐标轴平行的坐标线，在 变形后的物体上一般将成为曲线。换句话说，如果用没有变形状态的坐标(末表征物体上各点的位置，到变形终了状态将是曲线坐标；反之，如果用 表示各点的坐标，则对巳变形物体是笛卡尔坐标，而对于变形前的物体将是曲线坐标。 由以上可见，描述连续介质变形的方法有上述两种，分别称为Lagrange法Euler 法。Lagrange描述法是用变 形前的坐标 (后的坐标 )做自变 做自变量。 量，而Euler法则是用变形 在固体力学中，通常物 体的初始形状、固定情况以 及载荷是一定的，需要确定 的是物体各点的位移u、v、 w和应力。对于小变形一 般采用Lagrange坐标法；而 对于大变形有时用Euler法。 在数值计算中，通常采用矢量 来表示，因为要计算变形前后 两次应变的变化，所以用Euler 法比较方便。在以后的讨论中， 我们采用Lagrange坐标法。 图 3.1 变形表示法 1.22 变形体的应变 设物体中变形前相距十分近的两点 的坐标分别为别 变形后由矢量 表示线元。那么， ， 。那么，矢量 和 ，变形后移位至 ，变形后的平方为 (a) (b) 根据(3.1-1)式，点此处 。变形前的坐标分 所表示的线元在物体 在方向有 (c) )处展开为Taylor级数，即 两点所产生的增量，将其在( 是因 略去(d)式中的高阶微量( 由(3.1-1)式知， 同理可得 ,所以 ，?，并将(d)式代入(c)式，则可得 (d) (3.1-3a) (3.1-3b) (3.1-3)式表示用物体的任意线元在变形前的投影表出它在变形后的投影。我们的目的是为了计算 式中 与之差，于是由(a)式和(e)式可得 (f) (3.1-4) 式(3.1-4)实际上就是应变在各坐标方向的分量，它是非线性的。如果知道了变形体各点的位移u、w，则可由该式求得各点的应变分量，式(3.1-4)可采用张量表示为 (3.1-5) 1.3线元的长度变化 引入符号 是点 (3.1-6) 和N间由变形引起的距离的增加量对二者间变形前的距离的 在点N方向的相对伸长度。 的表达式为 比我们把这个量称作点根据式(a)和式(f)，并注意(3.1-2)式，则可得伸长度 = 式中 ，是矢量 (3.1-7) 的方向余弦。如果在(g)式中令 ，那么有 (3.1-8a) 此处 伸长度为 因此，应变分量 1.4线元方向的变化 变形物体中的线段，在变形时不仅长度要改变，而且方向也会发生变化。矢量与坐标轴(X，Y，Z)形成的方向余弦分别为、；而矢量与坐标轴夹角的方向余弦分别为 利用(3.1-6)式解得= (3.1-9) 、度，它们称为正应变。 、 (3.1-8b) 描述了变形前平行于坐标轴的那些线元的伸长表示点在x方向的相对伸长度。类似有点在y、z方向的相对，并注意到(3.1-3)式可得 (3.1-10) 式(3.1-10)表示任意线元在变形后的方向，即变形后 形前 弦为的方向余弦表示。如果变形前线元，的方向余弦可以用变与X轴平行，则该线元的方向余，那么由(3.1-10)式知，该线元变形后的方向余弦为 此处 (3.1-11) 是变形前与X轴平行线元的伸长度。由上式可以看出，对于任意线元，因各个方向的位移、 因为线元 上给出了点w不相同，因此方向要改变(图3.2)；同时各个方向的伸长度也不相同，方向也要改变。 在变形后成为已变形物体 上坐标曲线的切线方向的 上坐标曲线上的线元，所以式(3.1-11)实际 方向余弦。类似地可以由 (3.1-11)式得出已变 形物体上坐标曲线和的切线的方向余弦。 如果用、表示点在坐标 切线方向的三个单位矢量，那么该三个单位矢 图3.2 线元的方向余弦 量相对于笛卡尔坐标的方向余弦可由(3.1-11)式 如同线元那样得到类似的(3.1-11)式。具体列于表3.1。 的方向余弦表示变形前的方向余 类似于(3.1-9)的方法也导出用 弦，读者可自行推导。 1.5剪切度与切应变 如图所示，设变形前物体中经过点的两条任意纤维和、 ，此两纤维在 、点移动到 和、 和、 的切线的方向余弦分别为、 ；变形后，物体中的变成纤维 和、 纤维和 和、 ， 。点 ， 纤维的方向余弦也变为、 由前面可知，变形后两纤维的方向余弦可用变形前的方向余弦表示，同时由解析几何知 剪切变形 则可求得变形后纤维 和 注意(3.1-5)式，则可得 注意，式中纤维和纤维和 的伸长度 、 和 (3.1-13) 由(3.1-7)确定，但必须用变形前物体的 、 。 之间夹角的方向余弦。将(3.1-10)式代入上式，并 (3.1-12) 的方向余弦、和、 3.2 应变张量与转动张量 一般来说，物体中各点的变形由(3.1-5)式中 的6个分量可完全确定，因 为知道了这6个分量就等于知道了伸长度和剪切度。 在变形理论分析中，通常还需引入9个参数，即 2.1微元体的转动 变形物体在变形过程中，由前节已经知道，线元不 仅产生尺度变化，而且线元的方向也发生变化。但是在 变形时起变化的不仅线元的相对方向，而且还有它的绝 对方向，因为从初始状态的物体中割离出来的无限小微 元体，到终了状态时，除了产生形变外，还有些转动 。把这术语应用到 微元体上(它在产生位移过程中不仅位置要发生改变， 而且还改变了大小和形状)， 线元绕轴角度变 意指所有属于微元体的许多个线元转动的平均值。同时，约定 动角，此处轴是变形前和线元 位置)和它在变形后 垂直的轴，是线元在垂直轴平面上投影之间的夹角。 作为绕轴的转 (在变形前的 3.3主应变和应变不变量 3.1应变张量的坐标变换 同一个变形可在不同的坐标系中研讨。在所有各种情况下，可以用前面所确定的六个应变分量把变形的特征充分地表示出来，但这六个应变分量的值却随坐标轴方向的选择而变更。 3.2主应变和应变不变量 现在讨论在那一个方向伸长度 由上式可见，求 存在如下关系 会具有极值。设取轴平行这个方向 的极值，也即要确定的值，之间 或 的极值归结为求使得在该方向上使(3.3-5)式中的第一式有极值。由(3.3-1b)式于知， 34 应变率张量和应变增量张量 4.1应变率张量 在小变形条件下，应变张量可简写为 (3.4-1) 而当介质处在运动状态时，以 很小， 表示质点的速度，表示速度的三个分，由于量，以时间作为起点，则经过无限小时间段以后，位移为及其对坐标的导数也很小，因此可以应用小变形公式，即 (3.4-2) 4.2应变增量张量 应当指出，对于固体材料，当温度不变时或变形是缓慢的，则其力学行为与应变率关系不大，只有在受到动载荷时，因变形速率很快，材料的力学性质才会与应变速率有关，这类材料通常称为应变率敏感材料。因此，根据第一章中的基本假设，时间因素对物体的弹塑性力学行为不发生影响(即不考虑粘性效应)，而且这里的并不代表真实的时间，仅仅代表加载变形的过程。于是，对于这里 。于是采用应变增量 更能表示不受时间参数选择的特点。 所讨论的问题主要关心的不是应变速率而是应变增量代替应变率 二、 弹塑性力学在工程上的应用 弹性和塑性理论是现代固体力学的分支，弹性和塑性理论的任务，一般就是在实验所建立的关于材料变形的力学基础上，用严谨的数学方法来研究各种形状的变形固体在外荷载作用下的应力、应变和位移。弹塑性理论研究的对象是弹性体，指的是一种物体在每一种给定的温度下，存在着应力和应变的单值关系，与时间无关。通需这一关系是线性的，当外力取消后，应变即行消失，物体能够恢复原来的状态。同时物体内的应力也完全消失。 弹塑性理论在工程上有着广泛的应用，经常结合有限元软件分析结构及杆件产生的内力、位移、变形等判断结构是否满足安全性，耐久性等其他方面的要求。 2.1弹塑性力学在材料上的应用 2.11三轴围压下砂浆弹塑性损伤变形的研究 水泥砂浆可以视为无粗骨料的混凝土，在工程上有着广泛的应用，其力学性能的研究也得到广泛的关注。 砂浆材料作为一种类岩石材料，其三轴围压作用下的力学行为作为表征其材料性质的一个重要方面。大量的实验结果表明，应力状态对脆性材料的力学性能有着重要影响。一般情况下，对于许多脆性材料，在单轴加载或低围压下，表现出明显的脆性特性；而随着围压的增大，试件的强度和韧性都有着显著地提高。然而，据目前的研究现状而言，对于砂浆材料三轴压缩状态下的力学响应的研究成果较少，在模拟方面大多数是基于唯象模型，缺乏结构的信息，模型结构没有材料内部的结构变化相联系。因此，利用基于微观物理机制的本构模型研究三轴压缩状态下的砂浆材料的力学响应有着非常重要的科学意义。 砂浆的弹塑性损伤变形的研究是基于对泛函数和Cauchy-born准则，抽象出弹簧束构元和体积构元，组集两种构元的力学响应，给出了材料的弹性损伤的本 构关系；考虑滑移作为主要的弹塑性变形机制，提出了滑移构元，给出了材料的塑性本构关系利用变形分解机制，得到了三种构元共同描述的弹塑性损伤的本构关系。阐述了给定应变条件下弹塑性损伤本构关系的迭代流程。从材料细观变形角度解释了随着围压增加，材料的承载能力增加的现象，初步验证了弹塑性理论处理非比例加载的问题。 2.12 基于弹塑性理论计算钢筋锈胀力 以弹塑性为基础，视钢筋混凝土为半脆性材料，取外半径为（R+r）、内径为R的厚壁圆环为研究对象，根据厚壁简原理假定材料是体积不可压缩，外部混凝土受到钢筋的锈蚀的挤压经过弹性阶段、弹塑性阶段、塑性阶段三种状态。由于混凝土的非均质性、在混凝土开裂之前会存在一定的塑性，故裂缝出现在弹塑性阶段，在弹塑性阶段弹塑性区与弹性区的交界处应力?x将达到最大。 2.2 基于弹塑性力学理论分析工程构件的内力变形等 2.21钢筋混凝土壳体结构弹性理论分析 壳体结构是由曲面形板与边缘构件组成的空间结构。壳体结构有很好的空间传力性能，能以较小的构件厚度形成承载力高、刚度大的承重结构，能覆盖或围护大跨度的空间而不需要中间支柱，能兼承重结构和围护结构的双重作用，从而节约结构材料。 壳体结构可做成各种形状，以适应工程造型的需要，因而广泛的应用于工程结构中（大跨度建筑物顶盖、中小跨度屋面板、工程结构与衬砌）。 壳体结构理论的基本假定：（1）“薄膜理论”通常应用于整个壳体结构的绝大部分。（2）考虑弯曲效应的“弯曲理论”可用于分析荷载或结构不连续处邻近的局部区域所发生的不连续应力。 壳体结构的基本方程：（1）几何方程 采用正交曲线坐标系，根据壳体理论的基本假设，由弹性体在正交曲线坐标下的集合方程，可以推导薄壳的几何方程，共三个方程（2）物理方程 根据壳体理论的第三个基本假设，不考虑z轴方向的应力对变形的影响，将内力用中面形变量，积分推导后可以得出薄壳的物理方程的内力表达式，由表达式可以得到，在薄壳体中，由薄膜力N1,N2,和S引起的应力沿壳厚均匀分布，弯矩和扭转引起的弯矩应力沿厚度直线分布。（3）平衡方程 在曲线坐标系下，考虑壳微元，同时将外荷载折算为单位中面面积的荷载分量，和。 2.22自由杆件对简支梁的多次弹塑性撞击 柔性结构的弹塑性撞击是航空、航天、船舶、和机械领域中普遍存在的问题，对此类问题的研究分析，是工程领域的一项长期又艰巨的重要的任务。 可以通过弹塑性理论对自由杆件多次弹塑性撞击进行分析，将单轴压结模型应用于模拟多次撞击的分离过程中接触区的弹塑性接触行为，推导出弹性杆件和弹塑性梁的动力学方程并采用有限差分方法加以求解，研究了弹性自由杆撞击弹塑性简支梁的全过程。研究发现整个撞击过程实际上是一个复杂的多次弹塑性 撞击过程，存在两个以上的明显撞击区，每个撞击区包含了形式多样的复杂撞击过程，相对于第一个撞击区，剩余撞击区的撞击冲量不可忽略所以多个撞击区将对撞击系数产生重要影响。撞击产生的纵向应力波在弹性杆件中的传播和反射，直接影响多次弹塑性撞击。