四元数值递归细胞神经网络的伪概自守解_朱永森.pdf

H J S F X Y X B4四元数值递归细胞神经网络的伪概自守解朱永森1,牛梦月2,赵雪漪1,3(1.汉江师范学院 数学与计算机科学学院,湖北 十堰 4 4 2 0 0 0;2.河南省安阳市第一中学,河南 安阳 4 5 5 0 0 0;3.应用数学湖北省重点实验室(湖北大学),湖北 武汉 4 3 0 0 0 0)摘 要 通过压缩不动点定理和微分不等式技巧,得到确保四元数值递归细胞神经网络的伪概自守解存在的充分条件.关键词 四元数值递归细胞神经网络;伪概自守解;压缩不动点定理 d o i1 0.1 9 5 7 5/j.c n k i.c n 4 2-1 8 9 2/g 4.2 0 2 2.0 6.0 0 2 中图分类号O 1 7 5 文献标识码A 文章编号2 0 9 63 7 3 4(2 0 2 2)0 60 0 0 40 5引 言目前四元数值神经网络系统的动力学研究已成为最重要的主题之一,然而大多数都在研究神经网络系统的概周期解、伪概周期解、概自守解等解的存在性和稳定性1-9,但学者很少考虑连接权重都是四元数值的神经网络.本文研究下面这类带有分布时滞和变时滞的四元数值递归细胞神经网络:xpt()=-dpt()xpt()+nq=1ap qt()fqxqt()()+nq=1bp qt()gqxqt-p qt()()()+nq=1cp qt()0Kp q()hqxqt-()()d+Ipt()(1)其中p,qIn:=1,2,n,tR,n表示该细胞神经网络中神经元的数量;xpt()H表 示 第p个 神 经 元 在t时 刻 的 状 态;dpt()H表示当与网络和外部输入断开时,第p个神经元在t时刻将其电势重置为静态的速率;ap qt(),bp qt(),cp qt()H表示在t时刻时的连接权重,p qt()0表示t时刻第p个神经元沿第q个神经元轴突的传输延迟;Ipt()H表示t时刻第p个神经元的外部输入;fq,gq,hq:HH是信号传输的激活函数;Kp q()R对应于传输延迟内核.系统(1)的初始条件如下所示:xps()=ps(),s(-,0,pIn.(2)其中ps()=Rp(s)+iIp(s)+jJp(s)+kKp(s),lp(s)-(,0,R(),lR,I,J,K:=.本文研究系统(1)的伪概自守解的存在性.我们的结果和方法是新的,我们的方法可以用来研究其他类型四元数值细胞神经网络的概周期解、伪概周期解、-伪概周期解、概自守解等解的存在性.1 准备工作 下面,我们将给出一些定义和引理.设B C R,Rn()是 从R到Rn的 所 有 有 界连续函数的集合,U C R,R()是从R到R2 0 2 2年1 2月汉江师范学院学报D e c.2 0 2 2第4 2卷第6期J o u r n a l o fH a n j i a n gN o r m a lU n i v e r s i t yV o l.4 2 N o.6 收稿日期2 0 2 2-0 1-0 6 基金项目 湖北省教育厅科学研究计划指导性项目“带有四元数值自反馈连接权重的四元数值神经网络的伪概周期解及其全局指数稳定性”(项目编号:B 2 0 2 1 2 8 3);汉江师范学院科学研究计划一般项目“带有四元数值自反馈连接权重的四元数值神经网络的伪概自守解及其全局指数稳定性”(项目编号:X J 2 0 2 1 0 3 0 7);应用数学湖北省重点实验室(湖北大学)开放基金资助“超网络的牵制同步研究”(项目编号:H B AM 2 0 2 1 0 3).作者简介 朱永森(1 9 9 2-),男,河南鹿邑人,汉江师范学院数学与计算机科学学院助教,硕士,主要从事非线性微分方程的研究.H J S F X Y X B5的 所 有 一 致 连 续 函 数 的 集 合;H=x=xR+i xI+j xJ+k xK,其 中xR,xI,xJ,xK是实数,i,j,k满足哈密顿法则:i j=-j i=k,j k=-k j=i,k i=-i k=j,i2=j2=k2=-1.定义1.11 0 函数fB C R,Rn()称为概 自 守 函 数,若 对 任 意 的 实 数 序 列sn()nN,都存在子序列sn()nN,使得对任意的tR有gt():=l i mnft+sn()且对任意的tR有l i mngt-sn()=ft()都 成 立.为 便 于 后 面 的 证 明,我 们 用A A(R,Rn)表示这类概自守函数的全体.定义1.21 1 函数fB C R,Rn()称为伪概自守函数,若它可以表示为f=f1+f0,这里f1A A R,Rn(),f0P A A0(R,Rn),其中P A A0R,Rn()=fB C R,Rn()|l i mr+12rr-rft()d t=0用P A A(R,Rn)表示这类伪概自守函数的全体.定义1.3 四元数值函数x=xR+ixI+j xJ+k xKB C R,Hn()称为伪概自守函数,xlP A A(R,Rn),l.引理1.1 如果f,gP A A R,Rn(),则f+g,f gP A A R,Rn().引理1.2 如果P A A R,R(),R,则-()P A A R,R().引理1.38 如果C1R,R(),A A R,R(),A A R,R+()U C R,R(),则-()()A A R,R().引理1.4 如果C1R,R(),P A A R,R(),A A R,R+()U C R,R(),则-()()P A A R,R().证 由于P A A R,R(),则可以表示 为t()=1t()+0t(),这 里1A A R,R(),0P A A0(R,R).因此t-t()()=1t-t()()+0t-t()()由引理1.3可知1t-t()()A A R,R(),且l i mr+12rr-r0t-t()()d t=l i mr+12rr-h-r-h0s()d s=0其中h=s u pt0,+(t().因此0t-t()()P A A0(R,R),故-()()P A A R,R().引理1.51 1 如果fC R,Rn()满足利 普 希 茨 条 件,P A A R,Rn(),则f()()P A A R,Rn().引理1.6 如果fCR,R()满足利普希 茨 条 件,xC1R,R(),x,xP A A R,R(),A A R,R+()U C R,R(),则fx-()()()P A A R,R().设x=xR+i xI+j xJ+k xKH,其中xlR,l,我们可以将函数f:HH表示为fx()=fxR,xI,xJ,xK()+i fIxR,xI,xJ,xK()+j fJxR,xI,xJ,xK()+k fkxR,xI,xJ,xK(),其中fl:R4R,l.根据哈密顿法则,系统(1)可以分解为实值系统:Xpt()=-Dpt()Xpt()+nq=1Ap qt()Fqt,X+nq=1Bp qt()Gqt,p q,X+nq=1Cp qt()0Kp q()Hqt,Xd+pt(),pIn.(1.1)其中Dpt()=dRpt()-dIpt()-dJpt()dIpt()dRpt()-dKpt()-dKpt()dJpt()dJpt()dKpt()dRpt()dKpt()-dJpt()dIpt()-dIpt()dRpt(),Ap qt()=aRp qt()-aIp qt()-aJp qt()aIp qt()aRp qt()-aKp qt()-aKp qt()aJp qt()aJp qt()aKp qt()aRp qt()aKp qt()-aJp qt()aIp qt()-aIp qt()aRp qt(),Bp qt()=bRp qt()-bIp qt()-bJp qt()bIp qt()bRp qt()-bKp qt()-bKp qt()bJp qt()bJp qt()bKp qt()bRp qt()bKp qt()-bJp qt()bIp qt()-bIp qt()bRp qt(),Cp qt()=cRp qt()-cIp qt()-cJp qt()cIp qt()cRp qt()-cKp qt()-cKp qt()cJp qt()cJp qt()cKp qt()cRp qt()cKp qt()-cJp qt()cIp qt()-cIp qt()cRp qt(),Fqt,X=fRqt,XfIqt,XfJqt,XfKqt,X,Gqt,p q,X=gRqt,p q,XgIqt,p q,XgJqt,p q,XgKqt,p q,X,朱永森,牛梦月,赵雪漪:四元数值递归细胞神经网络的伪概自守解H J S F X Y X B6Hqt,X=hRqt,XhIqt,XhJqt,XhKqt,X ,Xpt()=xRpt()xIpt()xJpt()xKpt(),pt()=IRpt()IIpt()IJpt()IKpt(),Xt()=X1t(),X2t(),Xnt()().系统(1.1)的初始条件如下所示:Xps()=ps(),s(-,0,pIn,(1.2)其中ps()=Rps(),Ips(),Jps(),Kps()()T,lps()B C-(,0,R(),pIn,l.备注1.1若Xt()=X1t(),X2t(),Xnt()()=(XR1t(),XI1t(),XJ1t(),XK1t(),XR2t(),XI2t(),XJ2t(),XK2t(),XRnt(),XInt(),XJnt(),XKnt()R4n是 系 统(1.1)的 解,则xt()=x1t(),x2t(),xnt()(),xpt()=XRp(t)+iXIp(t)+j XJp(t)+k XKp(t),pIn也是系统(1)的解;若xt()=x1t(),x2t(),xnt()(),pIn是系统(1)的解,则xt()=(XR1t(),XI1t(),XJ1t(),XK1t(),XR2t(),XI2t(),XJ2t(),XK2t(),XRnt(),XInt(),XJnt(),XKnt()也是系统(1.1)的解.因此研究系统(1)的伪概自守解,我们只需考虑系统(1.1)的伪概自守解.下面我们引入以下符号:f=s u ptRft(),f=i n ftRft()其中ft()B C R,R().为了便于以后的证明,我们将作出以下假设:(M 1)对任一ul,vlR,存在正数lq,lq,lq使得flquR,uI,uJ,uK()-flqvR,vI,vJ,vK()RquR-vR+IquI-vI+JquJ-vJ+KquK-vK,glquR,uI,uJ,uK()-glqvR,vI,vJ,vK()RquR-vR+IquI-vI+JquJ-vJ+KquK-vK,hlquR,uI,uJ,uK()-hlqvR,vI,vJ,vK()RquR-vR+IquI-vI+JquJ-vJ+KquK-vK和flq0,0,0,0()=glq0,0,0,0()=hlq0,0,0,0()=0,其中flq,glq,hlqCR4,R(),qIn,l.(M 2)dRpC R,R+()是概自守函数.pCR,R4 1(),Dp,Ap q,Bp q,Cp qCR,R4 4(),p qA A R,R+()U C R,R(),其中p,qIn.(M 3)对任意p,qIn,延迟内核Kp q:RR+是 连 续 的 且 绝 对 可 积,0Kp q()dMp q.(M 4)存在常数使得m a xpInm a xlp+IlpdRp,m a xpInpdRp:=1,其中p=Vp+Wp+Tp+Sp,Vp=dIp+dJp+dKp,Wp=nq=1aRp q+aIp q+aJp q+aKp q()Rq+Iq+Jq+Kq(),Tp=nq=1bRp q+bIp q+bJp q+bKp q()Rq+Iq+Jq+Kq(),Sp=nq=1Mp q(cRp q+cIp q+cJp q+cKp q)(Rq+Iq+Jq+Kq),pIn.2 主要结果 设Y=ft()fP A A R,R4n(),其中f=s u ptRft()=s u ptRs u p1h4nfht(),易知Y是巴拿赫空间.定理2.1 假设(M 1)-(M 4)成立,则系统(1.1)在Y0=Y,上存在唯一的伪概自守解.证 设=(R1t(),I1t(),J1t(),K1t(),R2t(),I2t(),J2t(),K2t(),Rnt(),Int(),Jnt(),Knt()P A A R,R4n(),由引理1.1、1.2、1.6可知nq=1Ap qt()Fqt,+nq=1Bp qt()Gqt,p q,P A A R,R4().通过1 1 中引理8类似的论证,可知nq=1Cp qt()0Kp q()Hqt,dP A AR,R4()因此,nq=1Ap qt()Fqt,+nq=1Bp qt()Gqt,p q,朱永森,牛梦月,赵雪漪:四元数值递归细胞神经网络的伪概自守解H J S F X Y X B7+nq=1Cp qt()0Kp q()Hqt,d+pt()P A A R,R4().我们定义映射T:YY,Y0,所以T=(T1R1t(),T2I1t(),T3J1t(),T4K1t(),T1R2t(),T2I2t(),T3J2t(),T4K2t(),T1Rnt(),T2Int(),T3Jnt(),T4Knt()其中T1Rpt()=t-e-tsdRp()ddIps()Ips()+dJps()Jps()+dKps()Kps()+nq=1(aRp qs()fRqs,-aIp qs()fIqs,-aJp qs()fJqs,-aKp qs()fKqs,)+nq=1(bRp qs()gRqs,p q,-bIp qs()gIqs,p q,-bJp qs()gJqs,p q,-bKp qs()gKqs,p q,)+nq=1cRp qs()0Kp q()hRqs,d(-cIp qs()0Kp q()hIqs,d-cJp qs()0Kp q()hJqs,d-cKp qs()0Kp q()hKqs,d)+IRps()d s,pIn,(2.1)这里T2Ipt()、T3Jpt()、T4Kpt()可类 似 推 出,对 于p,qIn,l,flqs,=flqRqs(),Iqs(),Jqs(),Kqs()(),glqs,p q,=glqRqs-p qs()(),(Iqs-p qs()(),Jqs-p qs()(),Kqs-p qs()(),hlqs,=hlqRqs-(),Iqs-(),(Jqs-(),Kqs-().易知Y0是Y的一个闭凸子集.下面我们将证明T是一个Y0到Y0的自映射.Y0,我们有s u ptRT1Rpt()s u ptRt-e-tsdRp()ddIps()Ips()+dJps()Jps()+dKps()Kps()+nq=1aRp qs()fRqs,-aIp qs()fIqs,-aJp qs()fJqs,-aKp qs()fKqs,+nq=1bRp qs()gRqs,p q,-bIp qs()gIqs,p q,-bJp qs()gJqs,p q,-bKp qs()gKqs,p q,+nq=1cRp qs()0Kp q()hRqs,d-cIp qs()0Kp q()hIqs,d-cJp qs()0Kp q()hJqs,d-cKp qs()0Kp q()hKqs,d+IRps()d ss u ptRt-e-tsdRp()ddIpIps()+dJpJps()+dKpKps()+nq=1aRp q+aIp q+aJp q+aKp q()(RqRqs()+IqIqs)(+JqJqs()+KqKqs()+nq=1(bRp q+bIp q+bJp q+bKp q)(RqRq(s-p q(s)+IqIq(s-p q(s)+JqJqs-p qs()()+KqKqs-p qs()()+nq=10|Kp q()|(cRp q+cIp q+cJp q+cKp q)RqRqs-()(+IqIqs-()+JqJqs-()+KqKqs-()d+IRpd ss u ptRt-e-tsdRp()ddIp+dJp+dKp()Y+nq=1aRp q+aIp q+aJp q+aKp q()Rq+Iq+Jq+Kq()Y+nq=1bRp q+bIp q+bJp q+bKp q()Rq+Iq+Jq+Kq()Y+nq=1Mp qcRp q+cIp q+cJp q+cKp q()(Rq+Iq+Jq+Kq)Y+IRpd s1dRpVpY+WpY+TpY+SpY+IRp()=p+IRpdRp,pIn.类似地,可得s u ptRT1lpt()p+IlpdRp,pIn,lI,J,K.此外,可类似推得s u ptRTilpt()p+IlpdRp,pIn,l,i=1,2,3,4.(2.2)由(2.2)式和假设(M 4)可知TY,则TY0,因此T是一个Y0到Y0的自映射.下面我们证明T:Y0Y0是压缩映射.,Y0,我们有s u ptRT1Rpt()-T1Rpt()s u ptRt-e-tsdRp()ddIp+dJp+dKp()-Y+nq=1aRp q+aIp q+aJp q+aKp q()Rq+Iq+Jq+Kq()-Y朱永森,牛梦月,赵雪漪:四元数值递归细胞神经网络的伪概自守解H J S F X Y X B8+nq=1bRp q+bIp q+bJp q+bKp q()Rq+Iq+Jq+Kq()-Y+nq=1Mp qcRp q+cIp q+cJp q+cKp q()(Rq+Iq+Jq+Kq)-Yd s1dRp(Vp-Y+Wp-Y+Tp-Y+Sp-Y)=pdRp-Y,pIn.类似地,可得s u ptRT1lpt()-T1lpt()pdRp-Y,pIn,lI,J,K.此外,可类似推得s u ptRTilpt()-Tilpt()pdRp-Y,pIn,l,i=1,2,3,4.(2.3)由(2.3)式和假设(M 4)可知T-TYpdRp-Y-Y.(2.4)故T:Y0Y0是压缩映射.因此映射T在Y0中有唯一的不动点.所以,系统(1.1)在Y0中有唯一的伪概自守解.备注3.1假设(M 1)-(M 4)成立,系统(1.1)有唯一的伪概自守解,则系统(1)也有唯一的伪概自守解.参考文献1 王增赟,宋嗣琪.四元数神经网络的固定时间同步分析J.北部湾大学学报,2 0 2 2,3 7(0 2).2 陈星宇.几类四元数神经网络的同步与稳定性探究D.成都:电子科技大学,2 0 2 2.3 余 好.两类四元数值神经网络的紧概自守解D.昆明:云南大学,2 0 2 1.4 杨 仪,陈小龙,周杰琳.一类具有离散时滞和分布时滞的四元数神经网络同步性研究J.南京师大学报(自然科学版),2 0 2 0,4 3(0 3).5 丁 清,宋银芳.具有变时滞的四元数惯性B AM神经网络的反周期解J.长江大学学报(自然科学版),2 0 2 0,1 7(0 6).6Y.L i,X.M e n g.E x i s t e n c ea n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fp s e u d oa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rn e u-t r a l t y p eq u a t e r n i o n-v a l u e dn e u r a l n e t w o r k sw i t hd e-l a y s i n t h e l e a k a g e t e r mo n t i m e s c a l e sJ.C o m p l e x i-t y,2 0 1 7,(1 0).7Y.L i,J.Q i n,B.L i.A n t i-p e r i o d i cS o l u t i o n sf o rQ u a t e r n i o n-V a l u e d H i g h-O r d e r H o p f i e l d N e u r a lN e t w o r k sw i t h T i m e-V a r y i n g D e l a y sJ.N e u r a lP r o c e s s i n gL e t t e r s,2 0 1 9,(4 9).8B.L ia n dY.L i.E x i s t e n c ea n dG l o b a lE x p o n e n t i a lS t a b i l i t yo fA l m o s tA u t o m o r p h i cS o l u t i o n f o rC l i f f o r d-V a l u e d H i g h-O r d e r H o p f i e l d N e u r a lN e t w o r k sw i t hL e a k a g eD e l a y sJ.C o m p l e x i t y,2 0 1 9,(2 0 1 9).9Y.L i,H.W a n g,X.M e n g.A l m o s ta u t o m o r p h i cs y n c h r o n i z a t i o n o fq u a t e r n i o n-v a l u e d h i g h o r d e rH o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k s w i t ht i m e-v a r y i n ga n dd i s t r i b u t e dd e l a y sJ.I MAJ o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lC o n t r o l a n dI n f o r m a t i o n,2 0 1 9,3 6(3).1 0T.D i a g a n a.A l m o s tA u t o m o r p h i cT y p ea n dA l m o s tP e r i o d i cT y p eF u n c t i o n si n A b s t r a c tS p a c e sM.S p r i n g e r,2 0 1 3.1 1J.X i a n ga n dY.L i.P s e u d oa l m o s ta u t o m o r p h i cs o l u-t i o n so fq u a t e r n i o n-v a l u e dn e u r a ln e t w o r k sw i t hi n f i-n i t e l yd i s t r i b u t e dd e l a y s v i a a n o n-d e c o m p o s i n gm e t h o dJ.A d v.D i f f e r e n c eE q u.,2 0 1 9,(3 5 6).【编校:胡军福】P s e u d oA l m o s tA u t o m o rph i cS o l u t i o n so fQu a t e r n i o n-v a l u e dR e c u r r e n tC e l l u l a rN e u r a lN e t w o r k sZ HUY o n g-s e n1,N I U M e n g-y u e2,Z HAOX u e-y i1,3(1.S c h o o l o fM a t h sa n dC o m p u t e rS c i e n c e,H a n j i a n gN o r m a lU n i v e r s i t y,S h i y a n4 4 2 0 0 0,C h i n a;2.H e n a nA n y a n gN o.1M i d d l eS c h o o l,A n y a n g4 5 5 0 0 0,C h i n a;3.H u b e iK e yL a b o r a t o r yo fA p p l i e dM a t h e m a t i c s(H u b e iU n i v e r s i t y),Wu h a n4 3 0 0 0 0,C h i n a)A b s t r a c t:I nt h i sp a p e r,s u f f i c i e n t c o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o r t h ee x i s t e n c eo fp s e u d oa l m o s ta u t o m o r p h i cs o l u t i o n so fq u a t e r n i o n-v a l u e d r e c u r r e n t c e l l u l a rn e u r a l n e t w o r k sb yu s i n gc o n t r a c t i o n f i x e dp o i n t t h e o r e ma n dd i f f e r e n t i a l i n e q u a l i-t yt e c h n i q u e s.K eyw o r d s:Q u a t e r n i o n-v a l u e dr e c u r r e n t c e l l u l a rn e u r a l n e t w o r k s;p s e u d oa l m o s t a u t o m o r p h i cs o l u t i o n s;c o n t r a c-t i o nf i x e dp o i n t t h e o r e m朱永森,牛梦月,赵雪漪:四元数值递归细胞神经网络的伪概自守解