资源描述
►基础梳理
1．充分条件和必要条件．
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2．充要条件．
一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
♨思考：如何从集合与集合之间的关系上理解充分条件、必要条件和充要条件？
答案：对于集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，分别是使命题p和q为真命题的对象所组成的集合.
,►自测自评
1．已知集合A，B，则“A⊆B”是“A∩B＝A”的(C)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的(C)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件．
解析：由a＝2能得到(a－1)(a－2)＝0，但由(a－1)·(a－2)＝0得到a＝1或a＝2，而不是a＝2，所以a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分不必要条件．
1．在△ABC中，“A>30°”是“sin A>”的(B)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当A＝170°时，sin 170°＝sin 10°<，所以“过不去”；但是在△ABC中，sin A>⇒30°<A<150°⇒A>30°，即“回得来”．
2．(2014·湛江一模)“x>2”是“(x－1)2>1”的(B)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．“b2＝ac”是“ a，b，c成等比数列”的________条件．
解析：因为当a＝b＝c＝0时，“b2＝ac”成立，但是a，b，c不成等比数列；
但是“a，b，c成等比数列”必定有“b2＝ac”．
答案：必要不充分
4．求不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件．
解析：当a＝0时，2x＋1>0不恒成立．
当a≠0时，ax2＋2x＋1>0恒成立
⇔⇔a>1.
∴不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件是a>1.
5．已知p：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，q：2x2－3x－2≥0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解析：令M＝{x|2x－3x－2≥0}
＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}
⇒
N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}
＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}⇒{x|x≤a－2或x≥a}，已知q⇒p且p⇒/ q，得M?N.
所以或⇔≤a<2或<a≤2⇔≤a≤2.
即所求a的取值范围是.
1．(2013·深圳二模)设x，y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的(A)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的(B)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．若等比数列{an}的公比为q，则“q>1”是“an＋1>an(n∈N)”的(D)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：可以借助反例说明：①如数列：－1，－2，－4，－8，…公比为2，但不是增数列；②如数列：－1，－，－，－，…是增数列，但是公比为<1.
4．(2013·东莞二模)已知p：直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行，q：a＝－1，则p是q的(A)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
5．已知直线a、b 和平面α，则a∥b的一个必要不充分条件是(D)
A．a∥α，b∥α
B．a⊥α，b⊥α
C．a∥α，b⊂α
D．a、b与平面α成等角
6．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是(B)
A．k∈(－， )
B．k∈(－， )
C．k∈(－∞，－)∪(，＋∞)
D．k∈(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系．依题意知圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点⇔d＝>1⇔k∈(－，)．
7．已知命题p：不等式x2＋1≤a的解集为∅，命题q：f(x)＝ax(a>0且a≠1)是减函数，则p是q的____________________．
解析：命题p相当于命题：a<1，命题q相当于：0<a<1.所以，p是q的必要不充分条件．
答案：必要不充分条件
8．已知条件p：x2＋x－2>0，条件q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：令A＝{x|x2＋x－2>0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|x>a}，∵p是q的充分不必要条件，∴B?A，∴a≥1.
答案：a≥1
9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a<b，q：<1.
答案：(1)充要条件
(2)充分不必要条件
(3)既不充分也不必要条件
10．是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解析：由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1，
令A＝{x|x>2或x<－1}，
由4x＋p<0，得B＝.
当B⊆A时，即－≤－1.
即p≥4，
此时x<－≤－1⇒x2－x－2>0，∴当p≥4时，4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件．
11．已知p：－2≤－1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
分析：(1)用集合的观点考察问题，先写出綈p和綈q，然后，由綈q⇒綈p，但綈p⇒/綈q来求m的取值范围；
(2)将綈p是綈q的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件再求解．
解析：方法一 由x2－2x＋1－m2≤0，
得1－m≤x≤1＋m，
∴綈q：A＝{x|x>1＋m，或x<1－m，m>0}．
由－2≤1－≤2，得－2≤x≤10，
∴綈p：B＝{x|x＞10，或x＜－2}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，结合数轴
∴A?B⇔
方法二 ∴綈p是綈q的必要不充分条件，
∴綈q⇒綈p，且綈p⇒/ 綈q.
∴p⇒q，且q⇒/ p，即p是q的充分不必要条件．
结合数轴
∵p：C＝{x|－2≤x≤10}，
q：D＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}
∴C?D，∴∴m≥9.
所以实数m的取值范围是{m|m≥9}．
12．求证：关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0<a<4.
证明：ax2－ax＋1>0(a≠0)恒成立
⇔⇔0<a<4.
►体验高考
1．(2014·安徽卷)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的(B)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由ln(x＋1)<0得－1<x<0，故选B.
2．(2014·广东卷)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(C)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B⇔sin A≤sin B.
3．(2014·浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(A)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(2014·北京卷)设a、b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的(D)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(2013·福建卷)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的(A)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若x＝2且y＝－1，则x＋y－1＝0；反之，若x＋y－1＝0，x，y有无数组解，如x＝3，y＝－2等，不一定有x＝2且y＝－1，故选A.
6．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的(A)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
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