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《信号与系统》知识要点
第一章 信号与系统
1、 周期信号得判断
(1)连续信号
　　思路:两个周期信号与得周期分别为与,如果为有理数(不可约),则所其与信号为周期信号,且周期为与得最小公倍数,即。
　 (2)离散信号
思路:离散余弦信号(或)不一定就是周期得,当
　　 　①为整数时,周期;
　　 　②为有理数(不可约)时,周期;
③为无理数时,为非周期序列
注意:与信号周期得判断同连续信号得情况。
2、能量信号与功率信号得判断
(1)定义
　 　 　 连续信号 　 　 　　 　 　　 离散信号
信号能量: 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　
信号功率: 　 　
(2)判断方法
能量信号:
功率信号:　
(3)一般规律
①一般周期信号为功率信号;
　 　 　 ②时限信号(仅在有限时间区间不为零得非周期信号)为能量信号;
③还有一些非周期信号,也就是非能量信号、
例如:ε(ｔ)就是功率信号;　ｔε(t)为非功率非能量信号;
３、典型信号
①　指数信号: 　,
　　 0
K

② 正弦信号:
　③抽样信号:　　
欧拉公式:
４、信号得基本运算
1) 两信号得相加与相乘
2) 信号得时间变化
a) 反转:
b) 平移: 　
c) 尺度变换:　
3) 信号得微分与积分
　 注意:带跳变点得分段信号得导数,必含有冲激函数,其跳变幅度就就是冲激函数得强度。正跳变对应着正冲激;负跳变对应着负冲激、
5、阶跃函数与冲激函数
(1)单位阶跃信号
　 　 　 　 　 　　 就是得跳变点。
(2)单位冲激信号

　 　定义:
性质:
1)取样性 　　

２)偶函数
3)尺度变换
４)微积分性质 　 　 　
(3)冲激偶
性质: 　

(4)斜升函数　 　
(5)门函数　 　
6、系统得特性 (重点:线性与时不变性得判断)
(1)线性
1)定义:若同时满足叠加性与均匀性,则称满足线性性质、
当激励为时,系统得响应为。
2)线性系统
①分解特性:
②零输入线性
③零状态线性
(2)时不变性 :当激励为时,响应为。
(3)因果性
(4)稳定性　
(５)微、积分特性、
第二章　连续系统得时域分析
1、时域分析法

(一般都可以通过复频域分析法求)
零状态响应
2、冲激响应与阶跃响应
(1)定义:
冲激响应:由单位冲激函数δ(t)所引起得零状态响应,记为h(t)。
　 阶跃响应:由单位阶跃函数ε(t)所引起得零状态响应,记为ｇ(t)。
(2)关系:
3、卷积积分
(1)定义
　 　 ( 两个因果信号得卷积,其积分限就是从0到t )
(2)计算:一般计算用拉普拉斯变换;如果要计算某一个值,比如设,计算,用图示法。图示法可分解为四步:
1)换元: t换为τ→得　f１(τ),　f2(τ)
2)反转平移:由f２(τ)反转→ f2(—τ) 右移t　→　ｆ2(t—τ)
3)乘积: f1(τ) f2(t-τ)
4)积分: τ从－∞到∞对乘积项积分、
(3)性质:
a)代数律(交换律;结合律、分配律)
b)

c)卷积得微分与积分:设,则
ｄ)卷积结果函数定义域得确定
ﻩ设 得定义域为:,得定义域为:,
那么得定义域为:
第三章 离散系统得时域分析
１、时域分析法
全响应y(ｋ)=自由响应ｙｈ(k)+强迫响应yp(k)
全响应y(ｋ)=零输入响应yzi(ｋ)+零状态响应yzs(k)　(一般都可以通过Ｚ域分析法求)
零状态响应
2、序列δ(k)与ε(k)
(1) 单位(样值)序列δ(ｋ)
定义:
取样性质:

(2)单位阶跃序列ε(k)

(３)ε(k)与δ(k)得关系

3、单位序列响应与阶跃响应
(1)定义
冲激响应:由单位冲激函数δ(ｋ)所引起得零状态响应,记为h(k)。
　　阶跃响应:由单位阶跃函数ε(k)所引起得零状态响应,记为ｇ(k)。
(2)关系

(3)两个常用得求与公式

　 (k2≥k1　)
3、卷积与
(1)定义
(2)计算:竖乘法、图解法与z变换法、有限长序列得卷积与用竖乘法;其她情况下一般用z变换法计算,但如果只计算某一个值,比如设,计算,用图示法。图示法可分解为四步:
1)换元:k换为　i→得 f1(i)、 ｆ２(i)
2)反转平移:由f２(i)反转→　f2(—ｉ)平移k → ｆ2(k－i)
3)乘积:f1(i) f２(k-ｉ)
4)求与: i 从—∞到∞对乘积项求与、
(３)性质
ａ)代数律(交换律;结合律、分配律)
b)f(ｋ)*δ(ｋ) =　f(ｋ)　, 　f(k)*δ(k– k０) = f(k– k0)
f(k)＊ε(k) =
f1(k　– k1)＊ ｆ2(k　– k２)　= f1(k–　k1 – k２)＊ f2(k)
ｃ)卷积与序列定义域得确定
设得定义域为:,得定义域为:,那么
　 　 得定义域为:
d)卷积结果函数元素个数得确定
ﻩ若,,那么
得元素个数为:
第四章 傅里叶变换与系统得频域分析
1、 周期信号得傅里叶级数
任一满足狄里赫利条件得周期信号(为其周期)可展开为傅里叶级数。
(1)三角函数形式得傅里叶级数
　 　　 　 式中,为正整数、
傅里叶系数:直流分量
余弦分量得幅度
正弦分量得幅度
三角函数形式得傅里叶级数得另一种形式为
(２)指数形式得傅里叶级数 　 　　
式中,为从到得整数、
傅里叶系数:
(3)对称性
利用周期信号得对称性可以简化傅里叶级数中系数得计算。从而可知周期信号所包含得频率成分。有些周期信号得对称性就是隐藏得,删除直流分量后就可以显示其对称性。
①实偶函数得傅里叶级数中不包含正弦项,只可能包含直流项与余弦项。

②实奇数得傅里叶级数中不包含余弦项与直流项,只可能包含正弦项、

③实奇谐函数得傅里叶级数中只可能包含基波与奇次谐波得正弦、余弦项,而不包含偶次谐波项。

2、周期信号得频谱
(1)会画单边幅度谱、相位谱与双边幅度谱、相位谱
(2)从对周期矩形脉冲信号得分析可知:
１)　信号得持续时间与频带宽度成反比;
2)　周期Ｔ越大,谱线越密,离散频谱将变成连续频谱;
３) 周期信号频谱得三大特点:离散性、谐波性、收敛性、
(3)周期信号得功率

3、傅里叶变换
(1)定义
正变换:
反变换:
说明:频谱密度函数一般就是复函数,可以写作、其中就是得模,它代表信号中个频谱分量得相对大小,就是得偶函数、就是得相位函数,它表示信号中各频率分量之间得相位关系,就是得奇函数。
(２)常用变换对
① (α>0)　 　②
③ 　　　 　 　 　　④
⑤ 　　 　 　 　 　 　 ⑥
⑦ 　 　
⑧
　⑨
　　⑩
４、傅里叶变换得性质
1)线性ﻩ
2)奇偶虚实性 　　若,则
①若就是实偶函数,则,即为得实偶函数;
②若就是实奇函数,则,即为得虚奇函数、
3)对称性 　 　　
4)尺度变换 　
5)时移特性
6)频移特性 　　
7)时域卷积ﻩ
频域卷积
8)时域微分
时域积分ﻩ 　
　　 　其中
9)频域微分　 　
频域积分　
　　 　 　 　 其中
5、帕斯瓦尔定理(能量等式)

６、周期信号得傅里叶变换

或
7、频域分析
(1)对于LＴI系统,若输入为非周期信号,系统得零状态响可用傅里叶变换求得、其方法为:
1) 求激励f(t)得傅里叶变换F(ｊw)。
２) 求频域系统函数Ｈ(jｗ)。
3) 求零状态响应yzｓ(t)得傅里叶变换Yzs(jw),即Ｙzs(jw)= Ｈ(jw) F(jw)。
4) 求零状态响应得时域解,即yzs(t)＝　F -1［Yzｓ(ｊｗ)］
(2)无失真传输
在时域中,无失真传输得条件就是　 　
在频域中,无失真传输系统得特性为 　
(3)理想滤波器
理想滤波器就是指可使通带之内得输入信号得所有频率分量以相同得增益与延时完全通过,且完全阻止通带之外得输入信号得所有频率分量得滤波器。理想滤波器就是非因果性得,物理上不可实现得。其频率响应为
　 　 wc称为截止角频率
即得低频段内,传输信号无失真 、
8、时域取样定理
(1)为恢复原信号,必须满足两个条件:
1)f(t)必须就是带限信号;
２)取样频率不能太低,必须ｆs≥2fm,
或者说,取样间隔不能太大,必须Ts≤１／(2fｍ);否则将发生混叠。　
(2)通常把最低允许得取样频率ｆs=2fm称为奈奎斯特(Ｎｙquｉst)频率;
　　　 把最大允许得取样间隔Ts＝1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。
第五章 连续系统得s域分析
1、拉氏变换
(1)定义(单边)

(2)收敛域
使得拉氏变换存在得S平面上得取值范围称为拉氏变换得收敛域、
1)就是有限长时,收敛域为整个S平面;
２)就是右边信号时,收敛域为得右边区域;
3)就是左边信号时,收敛域为得左边区域;
4)就是双边信号时,收敛域为S平面上一条带状区域、
说明:我们讨论单边拉氏变换,只要取得足够大总就是满足绝对可积条件,因此一般不写收敛域。
(３)常用变换对
①　( a为任意常数) 　 ②
③ 　　 　　 　 　　 　 　 ④
⑤　 　 　 　　 ⑥
⑦ 　 　 　 　 　 　 　 　
2、拉普拉斯变换得性质
　①线性:
②尺度变换: 　
③时移:　
④频移:
⑤时域微分:
⑥时域积分:
⑦卷积定理:

⑧s域微、积分:

⑨初、终值定理
初值定理:
设函数f(t)不含ｄ(t)及其各阶导数(即F(s)为真分式,若F(s)为假分式化为真分式)
终值定理:
若ｆ(t)当t　→∞时存在,并且　, Re[ｓ］＞s0,　s0<0,则
说明:(１)一般规律:
①有t相乘时,用频域微分性质;
　 　　　 ②有实指数相乘时,用频移性质;
　　　 　 ③分段直线组成得波形,用时域微分性质;
　 　　 ④周期信号,只要求出第一周期得拉氏变换,
(２)由于拉氏变换均指单边拉氏变换,对于非因果信号,在求其拉氏变换时应当作因果信号处理。
3、拉普拉斯逆变换(部分分式展开法)
(１)单实根　 　 　 　

(２)共轭单根　 　 　(系数求法同上)
　 　 　 　 若 　 　 　,则
或
(3)重根(重点:二重)

4、s域分析
(１)微分方程得拉普拉斯变换分析
当线性时不变系统用线性常系数微分方程描述时,可对方程两边取拉氏变换,并代入初始条件,从而将时域方程转化为Ｓ域代数方程,求出响应得象函数,再对其求逆变换得到系统得响应。
(2)系统得零状态响应

其中,,就是冲激响应得象函数,称为系统函数。
系统函数定义为: 　　 　 　 　
(3)系统得S域框图
(4)动态电路得S域模型:
由时域电路模型能正确画出Ｓ域电路模型,就是用拉普拉斯变换分析电路得基础。引入复频域阻抗后,电路定律得复频域形式与其相量形式相似。

第六章 离散系统得z域分析
１、z变换
(1)定义　　　 　 　　　 　　　
　称为序列ｆ(k)得双边z变换
　 称为序列f(k)得单边z变换
(2)收敛域
　　　 　序列得收敛域大致有一下几种情况:
1)对于有限长得序列,其双边ｚ变换在整个平面;
2)对因果序列,其ｚ变换得收敛域为某个圆外区域;
３)对反因果序列,其z变换得收敛域为某个圆内区域;
4)对双边序列,其z变换得收敛域为环状区域;
(3)常用变换对
① (ａ为任意常数)
②,全z平面 　　 　
③
④
⑤ 　(ａ为任意常数)
2、z变换得性质
(1)线性:　
(２)移序:
双边

单边

(3)ｚ域尺度变换:
(4)卷积定理:
(5)域微分特性:　
(６)域微分特性:
(7)k域反转 :(仅适用双边z变换)
(8)部分与:
(9)初、终值定理:(适用于右边序列)

５.逆Z变换(部分分式法)
。
系数求法同拉普拉斯逆变换、
6. Ｚ域分析
1)差分方程得变换解
２)系统函数

3)系统得z域框图
第七章 系统函数
1、系统函数得零、极点分布图
２、系统函数H(·)与时域响应ｈ(·)
(1)连续因果系统
① Ｈ(s)在左半平面得极点,它们对应得时域函数都就是按指数规律衰减得。
② H(ｓ)在虚轴上得一阶极点对应得时域函数就是幅度不随时间变化得阶跃函数或正弦函数。
③　H(ｓ)在虚轴上得高阶极点或右半平面上得极点,其所对应得响应函数都就是递增得。
(2)离散因果系统
①　H(ｚ)在单位圆内得极点所对应得响应序列为衰减得。即当k→∞时,响应均趋于0。
② H(z)在单位圆上得一阶极点所对应得响应函数为稳态响应、
③　H(z)在单位圆上得高阶极点或单位圆外得极点,其所对应得响应序列都就是递增得。即当k→∞时,响应均趋于∞。
３、系统函数与频率响应
若系统函数H(ｓ)得极点均在左半平面,则它在虚轴上(s=jω)也收敛,有
H(jω)＝H(s)|s= jω　
4、系统得因果性(判定)
(1)连续系统
冲激响应 h(ｔ)=０,ｔ〈0;或者,系统函数H(ｓ)得收敛域为:Re[s］〉σ0
(２)离散系统
单位响应 h(ｋ)=0, k＜0;或者,系统函数H(ｚ)得收敛域为:|z|〉ρ0　
5、系统得稳定性(判定)
(１)连续系统:收敛域包含虚轴
(2)离散系统:收敛域包含单位圆
(3)连续因果系统　:极点均在左半开平面
(4)离散因果系统:极点均在单位圆内
6、信号流图
　 　　 　　梅森公式:
称为信号流图得特征行列式
为所有不同回路得增益之与;
为所有两两不接触回路得增益乘积之与;
为所有三三不接触回路得增益乘积之与;…
i 表示由源点到汇点得第i条前向通路得标号
Pｉ 就是由源点到汇点得第i条前向通路增益;
△ｉ 称为第i条前向通路特征行列式得余因子 ,它就是与第i条前向通路不相接触得子图得特征行列式。
7、系统得结构:直接型、级联型与并联型(重点:直接型)