信号与系统(郑君里)复习要点.pdf

1信号与系统复习信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。书中最重要的三大变换几乎都有。第一章第一章 信号与系统信号与系统1、信号的分类、信号的分类连续信号和离散信号连续信号和离散信号周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号连续周期信号连续周期信号 f(t)满足满足 f(t)=f(t+mT)，离散周期信号离散周期信号 f(k)满足满足 f(k)=f(k+mN)，m=0,1,2,两个周期信号两个周期信号 x(t)，y(t)的周期分别为的周期分别为 T1和和 T2，若其周期之比，若其周期之比 T1/T2为有理数，则其和信为有理数，则其和信号号 x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为仍然是周期信号，其周期为 T1和和 T2的最小公倍数。的最小公倍数。能量信号和功率信号能量信号和功率信号因果信号和反因果信号因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（、信号的基本运算（+-）2.1 信号的（信号的（+-）2.2 信号的时间变换运算信号的时间变换运算（反转、平移和尺度变换）（反转、平移和尺度变换）3、奇异信号、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质单位冲激函数的性质f(t)(t)=f(0)(t)，f(t)(t a)=f(a)(t a)例：例：3.2 序列序列(k)和和(k)f(k)(k)=f(0)(k)f(k)(k k0)=f(k0)(k k0)4、系统的分类与性质、系统的分类与性质4.1 连续系统和离散系统连续系统和离散系统 4.2 动态系统与即时系统动态系统与即时系统4.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统线性性质线性性质T af()=a T f()(齐次性齐次性)T f1()+f2()=T f1()+T f2()（可加性可加性）当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：y()=yf()+yx()=T f(),0+T 0，x(0)(可分解性可分解性)0(d)()(ftttf)(d)()(aftattf?d)()4sin(91ttt)0(d)()(fttft)0()1(d)()()()(nnnfttft4)2(2)2(ddd)()2(0022tttttttt)(1|1)()()(taaatnnn)(|1)(taat)(|1)(00attatat)0()()(fkkfk2Ta f(),0=a T f(),0 Tf1(t)+f2(t),0=T f1(),0+T f2(),0(零状态线性零状态线性)T0,ax1(0)+bx2(0)=aT0,x1(0)+bT0,x2(0)(零输入线性零输入线性)4.4 时不变系统与时变系统时不变系统与时变系统T0，f(t-td)=yf(t-td)(时不变性质时不变性质)直观判断方法：直观判断方法：若若 f()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。LTI 连续系统的微分特性和积分特性连续系统的微分特性和积分特性微分特性：微分特性：若若 f(t)yf(t)，则则 f(t)y f(t)积分特性：积分特性：若若 f(t)yf(t)，则则4.5 因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统5、系统的框图描述、系统的框图描述第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析1、LTI 连续系统的响应连续系统的响应1.1 微分方程的经典解微分方程的经典解y(t)(完全解完全解)=yh(t)(齐次解齐次解)+yp(t)(特解特解）描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求求（1）当当 f(t)=2e-t，t0；y(0)=2，y(0)=-1 时的全解时的全解；（2）当当 f(t)=e-2t，t0；y(0)=1，y(0)=0 时的全解时的全解2、冲激响应、冲激响应系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法系数平衡法系数平衡法 系统方程两端对应系数相等系统方程两端对应系数相等由单位阶跃响应求单位冲激响应，即由单位阶跃响应求单位冲激响应，即()()dttdt例例 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应求其冲激响应 h(t)。3、阶跃响应、阶跃响应系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。4、卷积积分、卷积积分4.1 定义定义 1212()()()()f tf tff t4.2 任意任意信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应4.3 卷积积分的求法卷积积分的求法 按照定义按照定义 图解法图解法4.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 交换律交换律结合律结合律分配律分配律积分性质积分性质 ttxxyxxfd)(d)(fd)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff3微分性质微分性质 任意时间函数与冲激函数的卷积任意时间函数与冲激函数的卷积f(t)*(t)=(t)*f(t)=f(t)；f(t)*(t)=f(t)；f(t)*(t)卷积的时移性质卷积的时移性质 f1(t t1)*f2(t t2)=f1(t t1 t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t t1 t2)=f(t t1 t2)第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析1、LTI 离散系统的响应离散系统的响应1.1 差分与差分方程差分与差分方程1.2 差分方程的经典解（和微分方程相类似）差分方程的经典解（和微分方程相类似）1.2.1y(k)=yh(k)+yp(k)当特征根当特征根为为单根单根时，齐次解时，齐次解 yn(k)形式为：形式为：Ck当特征根当特征根为为 r 重根重根时，齐次解时，齐次解 yn(k)形式为：形式为：(Cr-1kr-1+Cr-2kr-2+C1k+C0)k 当特征根当特征根为一对共轭复根为一对共轭复根 时，齐次解时，齐次解 yn(k)形式为：形式为：1.2.2 特解特解 yp(k):特解的形式与激励的形式雷同特解的形式与激励的形式雷同(r1）。所有特征根均不等于所有特征根均不等于 1 时时;yp(k)=Pmkm+P1k+P0有有 r 重等于重等于 1 的特征根时的特征根时;yp(k)=krPmkm+P1k+P0（2）激励激励 f(k)=ak 当当 a 不等于特征根时不等于特征根时;yp(k)=Pak 当当 a 是是 r 重特征根时重特征根时;yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+P1k+P0)ak（3）激励）激励 f(k)=cos(k)或或 sin(k)且且所有特征根均不等于所有特征根均不等于 ej ；yp(k)=Pcos(k)+Qsin(k)若描述某系统的差分方程为若描述某系统的差分方程为 y(k)+4y(k 1)+4y(k 2)=f(k)已知初始条件已知初始条件 y(0)=0，y(1)=1；激励激励 f(k)=2k，k0。求方程的全解。求方程的全解。1.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应2、单位序列响应和阶跃响应、单位序列响应和阶跃响应2.1 单位序列响应单位序列响应 nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd2121211,2jecos()sin()kCkDk42.1.1 定义定义2.1.2 求法求法递推求初始值，求齐次差分方程的解递推求初始值，求齐次差分方程的解例例 已知某系统的差分方程为已知某系统的差分方程为 y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求单位序列响应求单位序列响应 h(k)。例例 若方程为：若方程为：y(k)y(k 1)2y(k 2)=f(k)f(k 2)求单位序列响应求单位序列响应 h(k)2.2 阶跃响应阶跃响应2.2.1 定义定义2.2.2 求法求法3 常用序列常用序列01()()(1)()()()(1)()1()(1)()21()(1)1ikikikkiikkkkkiikkiik kkaaiaa4 离散信号的卷积和离散信号的卷积和4.1 任意序列的分解任意序列的分解f(k)4.2 列作用下的零状态响应列作用下的零状态响应4.3 定义定义4.4 卷积和的求法卷积和的求法 4.4.1 图解法图解法卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元：k 换为换为 i得得 f1(i)，f2(i)（2）反转平移反转平移：由：由 f2(i)反转反转 f2(i)右移右移 k f2(k i)（3）乘积乘积：f1(i)f2(k i)（4）求和求和：i 从从 到到对乘积项求和。对乘积项求和。注意：注意：k 为参变量。为参变量。4.1.2 不进位乘法求卷积不进位乘法求卷积0)()()(jkjjkhihkg，h(k)=g(k)iikif)()(ifikhifky)()()(iikfifkf)()()(215例例 f1(k)=0，2，1，5，0 k=1 f2(k)=0，3，4，0，6，0 k=04.2 卷积和的性质卷积和的性质4.2.1 法的三律：法的三律：(1)交换律交换律,(2)分配律分配律,(3)结合律结合律.4.2.4f1(k k1)*f2(k k2)=f1(k k1 k2)*f2(k)第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析1 傅里叶级数傅里叶级数1.1 傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式 1.2 波形的对称特性和谐波特性波形的对称特性和谐波特性A.f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标 展开为余弦级数展开为余弦级数B.f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点 展开为正弦级数展开为正弦级数C f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t)=f(tT/2)傅里叶级数中只含奇次谐波分量傅里叶级数中只含奇次谐波分量D f(t)为偶谐函数为偶谐函数f(t)=f(tT/2)只有直流只有直流(常数常数)和偶次谐波。和偶次谐波。1.3 傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式 2 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点(1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性。谱线位置是基频性。谱线位置是基频 的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。一般具有收敛性。总趋势减小。例：周期信号例：周期信号 f(t)=试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期 T，基波角频率，基波角频率，画出它的单边频谱图。，画出它的单边频谱图。3 傅里叶变换傅里叶变换3.1 定义定义3.2 常用函数的傅里叶变换常用函数的傅里叶变换（1）单边指数函数）单边指数函数 f(t)=e t(t)，0 实数实数4.2.2f（k)*(k)=f(k)，f(k)*(k k0)=f(k k0)4.2.3.f(k)*(k)=kiif)(4.2.5 f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbntjnnFtfe)(221()edTjntTnFf ttT n=0,1,2，1211cossin243436ttjjtjFtjtjt1e1dee)(0)(06（2）双边指数函数）双边指数函数 f(t)=et ,0（3）门函数）门函数(矩形脉冲矩形脉冲)（4）冲激函数）冲激函数 (t)、(t)（5）常数）常数 1（6）符号函数）符号函数（7）阶跃函数）阶跃函数3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质（1）线性）线性（2）时移性质）时移性质(Timeshifting Property)（3）对称性质）对称性质(Symmetrical Property)（4）频移性质）频移性质(Frequency Shifting Property)（5）尺度变换性质）尺度变换性质(Scaling Transform Property)（6）卷积性质）卷积性质(Convolution Property)（7）时域的微分和积分）时域的微分和积分（8）频域的微分和积分）频域的微分和积分2200211deedee)(jjttjFtjttjt2,02,1)(tttgjtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(21de)()(ttttjjttttttjtj0eddde)()()(2)(2de1ttj220022sgn()lim()limjtFjj111()sgn()()22ttj a f1(t)+b f2(t)a F1(j)+b F2(j)00()e()jtf ttF jF(jt)2f()00()e()jtF jf t1()|f atFjaaIf f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j)Then f1(t)f2(t)F1(j)*F2(j)12()()()()nnftjF j()()d(0)()tF jf xxFj 0(0)()()dFF jf tt7（9）怕赛瓦尔关系）怕赛瓦尔关系（10）奇偶性）奇偶性(Parity)4 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换5 连续系统的频域分析连续系统的频域分析5.15.2 无失真传输无失真传输 y(t)=K f(ttd)Y(j)=Ke j tdF(j)例：系统的幅频特性例：系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是生失真的是6 抽样定理抽样定理第五章第五章 连续系统的连续系统的 s 域分析域分析(jt)n f(t)F(n)(j)1(0)()()()dftf tF jxxjt1(0)()d2fF jd)(21d)(22jFttfEnnTntjnnTnFjFFtf)(2)(e)(22de)(1TTtjnTnttfTFY(j )=F(j )H(j )(a)(b)1 10 0-1 10 05 5-5 500|H H(j j)|()5 5-5 5(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)89二、求解方法二、求解方法1、部分分式展开法、部分分式展开法（1）F(s)为单极点（单根）为单极点（单根）11101110.()()().mmmmnnna sasa saB sF sA ssbsbsbnniipsKpsKpsKpsKsAsBsF.)()()(221110（2）若）若 F(s)包含共轭复根时包含共轭复根时(p1,2=j)（3）F(s)有重极点（重根）有重极点（重根）若若 A(s)=0 在在 s=p1 处有处有 r 重根，重根，三、系统的三、系统的 s 域分析方法域分析方法思路：用拉普拉斯变换微分特性思路：用拉普拉斯变换微分特性例例 1 描述某描述某 LTI 系统的微分方程为系统的微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+6 f(t)已知初始状态已知初始状态 y(0-)=1，y(0-)=-1，激励，激励 f(t)=5cost(t)，求系统的全响应求系统的全响应 y(t)四、系统函数四、系统函数系统函数系统函数 H(s)定义为定义为 系统的系统的 s 域框图域框图 第六章第六章 离散系统的离散系统的 z 域分析域分析ipsiisFpsK)()()(e11tpsLtpii22()()()()()()(j)(j)B sB sF sD ssD s ss)(jj221sFsKsKje|je|jj)(j1j1211sKsKsKsKsF)(.)()()()()(111112111psKpsKpsKsAsBsFrrr K11=(s p1)rF(s)|s=p1，K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1 1)()(dd)!1(11111psrrrrsFpssrK)(e!1)(11111ttnpsLtpnn)0()()()(101)(pippiiiyssYstyniniipmjjjppiiiisFsbysasYsa00100)(1)()0()()()()()()()()0()(0000)(101sFsAsBsAsMsFsasbsaysasYniiimjjjniiinipippii)()()()()(fdefsAsBsFsYsHH(s)=L h(t)1!)(nnsnttL111213)26()1(tf)26(dd)2(tft附：部分重要内容（无附：部分重要内容（无 z 变换）变换）第一章：第一章：1 连续时间信号与离散时间信号连续时间信号与离散时间信号2 模拟信号与数字信号模拟信号与数字信号3 信号的运算信号的运算（1）移位、反褶与尺度变换）移位、反褶与尺度变换（2）微分和积分）微分和积分（3）两信号相加或相乘）两信号相加或相乘4（1）单位阶跃信号）单位阶跃信号)(tu（2）单位冲激信号）单位冲激信号)(t ()1t dtOt1212 tf14 抽样性：抽样性：()()(0)t f t dtf 00()()()ttf t dtf t 偶对称性：偶对称性：()()tt 尺度变换性：尺度变换性：1()()|atta 相乘性质：相乘性质：()()(0)()f ttft 000()()()()f tttf ttt 冲激偶信号冲激偶信号 ()()dttdt5 线性时不变系统线性时不变系统（1）叠加性与均匀性）叠加性与均匀性（2）时不变性）时不变性（3）因果性）因果性第二章第二章1系统的状态（起始状态，初始条件）系统的状态（起始状态，初始条件）2 系统的全响应系统的全响应（1）求解方法：经典法，双零法）求解方法：经典法，双零法（2）系统响应的分解：自由响应，强迫响应，零状态响应，零输入响应）系统响应的分解：自由响应，强迫响应，零状态响应，零输入响应3线性系统的特性线性系统的特性（1）响应的可分解性响应的可分解性 系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。（2）零状态线性零状态线性 当起始状态为零时，系统的零状态响应当起始状态为零时，系统的零状态响应对外加激励信号对外加激励信号呈现线性。呈现线性。)(trzs)(te（3）零输入线性零输入线性 当外加激励为零时，系统的零输入响应当外加激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性关系。对于各起始状态呈线性关系。)(trzi第三章第三章1 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数（1）三角函数形式的傅里叶级数）三角函数形式的傅里叶级数（当时）()0t0t 15（2）指数形式的傅里叶级数）指数形式的傅里叶级数2 傅里叶变换定义为傅里叶变换定义为正变换正变换()()()j tFf f tf t edt逆变换逆变换11()()()2j tF tfffed3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 (1)对称性对称性若若，则，则()()Ff f t()2()f F tf (2)线性性线性性若若，则，则()()(1,2,)if f tFinL11()()nniiiiiifa f ta F(3)奇偶虚实性奇偶虚实性若若，则，则()()()FRjX是实偶函数是实偶函数，即，即为为的实偶函数。的实偶函数。()f t()()fR()f是实奇函数是实奇函数，即，即为为的虚奇函数。的虚奇函数。()f t()()fjX()f(4)尺度变换特性尺度变换特性若若，则，则式中式中为非零实常数。为非零实常数。()()f f tF1()()f f atFaaa(5)时移特性时移特性若若，则，则()()f f tF00()()j tf f ttFe(6)频移特性频移特性若若，则，则()()f f tF00()()j tf f t eF(7)时域微分特性时域微分特性若若，则，则()()f f tF()()()df tfjFdt()()()nnnd f tfjFdt(8)频域微分特性频域微分特性若若，则，则()()f f tF1()()()dFfjt f td 1()()()nnnd Ffjtf td(9)时域积分特性时域积分特性16若若，则，则()()f f tF()()(0)()tFffdFj(10)时域卷积定理时域卷积定理若若，则，则1122()(),()()f f tFf f tF1212()*()()()f f tf tFF(11)频域卷积定理频域卷积定理若若，则，则1122()(),()()f f tFf f tF12121()()()()2f f tf tFF4.周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期信号周期信号的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的谐频的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的谐频()f t处，每个冲激的强度等于处，每个冲激的强度等于的傅里叶级数的相应系数的傅里叶级数的相应系数的的倍。即倍。即11(0,2,)L()f tnF21()2()nnf f tFn 其中其中还可用下式获得：还可用下式获得：nF1011()nnFFT上式说明：周期脉冲序列的傅里叶级数的系数上式说明：周期脉冲序列的傅里叶级数的系数单脉冲的傅里叶变换单脉冲的傅里叶变换在在频率点频率点nF0()F1n的值乘以的值乘以。11T5 抽样定理抽样定理（1）时域采样定理）时域采样定理第四章：第四章：1 拉普拉斯变换的定义及收敛域的确定拉普拉斯变换的定义及收敛域的确定单边拉普拉斯变换：单边拉普拉斯变换：正变换正变换0()()()stf tF sf tdte逆变换逆变换 1()()()2jstjF sf tF sdsje 2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质（1）线性性线性性若若,为常数时，则为常数时，则11()()f tF S22()()f tF S121 1221122()()()()f tf tF sF s（2）原函数微分原函数微分17若若则则()()f tF s()()(0)df tsF sfdt11()0()()(0)nnnn rrnrd f ts F ssfdt 式中式中是是 r 阶导数阶导数在在时刻的取值。时刻的取值。()(0)rf()rrd f tdt0（3）原函数积分原函数积分若若，则，则式中式中()()f tF s(1)(0)()()tfF sf t dtss0(1)(0)()ff t dt（4）延时性延时性若若，则，则()()f tF s000()()()stf tt u tteF s（5）s 域平移域平移若若，则，则()()f tF s()()atf t eF sa（6）尺度变换尺度变换若若，则，则（a0）()()f tF s1()()sf atFaa（7）初值定理初值定理lim()(0)lim()tosf tfsF s（8）终值定理终值定理lim()lim()tsf tsF s（9）卷积定理卷积定理若若，则有，则有11()()f tF s22()()f tF s1212()()()()f tf tF s F s=12121()()()()2f t f tF sF sj121()()2jjF p F sp dpj 3 拉普拉斯变换的逆变换拉普拉斯变换的逆变换部分分式展开法部分分式展开法4 系统函数系统函数（1）定义）定义（2）零极点分布）零极点分布（3）系统函数）系统函数的求解方法的求解方法()H s由冲激响应由冲激响应求得，即求得，即。()h t()()H sh t对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由获得。获得。()()()zsRsH sE s根据根据 s 域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为。()H s18（4）系统的稳定性）系统的稳定性时域判断条件时域判断条件频域判断条件频域判断条件第五章第五章1。利用系统函数。利用系统函数求响应求响应)(jH2。无失真传输无失真传输)()(0ttKetr 第七章第七章1。离散时间信号离散时间信号序列序列（1）单位样值信号）单位样值信号（2）单位阶跃序列）单位阶跃序列（3）矩阵序列）矩阵序列（4）正弦序列，余弦序列）正弦序列，余弦序列2。信号的基本运算。信号的基本运算（1）两信号相加）两信号相加（2）移位，反褶，尺度变换）移位，反褶，尺度变换3。卷积和的计算。卷积和的计算更多课程资料请到大学课程网更多课程资料请到大学课程网 www.0206.cc 学习学习