点线面的位置关系与平行关系讲义.doc

点、线、面位置关系以及线面平行关系　
【知识点梳理】
１、公理及推论
公理1：如果一条直线得两点在一个平面内,那么这条直线就是所有得点都在这个平面内．
用符号语言表示公理１:.
公理1作用：判断直线就是否在平面内。
公理2:如果两个不重合得平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点得公共直线。
符号:平面α与β相交,交线就是a，记作α∩β=ａ．
符号语言：。
公理2作用：①它就是判定两个平面相交得方法.
②它说明两个平面得交线与两个平面公共点之间得关系：交线必过公共点．
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线得重要依据.
公理3：经过不在同一条直线上得三点，有且只有一个平面.
推论：一直线与直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一面.
公理３及其推论作用:①它就是空间内确定平面得依据；②它就是证明平面重合得依据.
公理4：平行于同一条直线得两条直线互相平行.
2、空间直线与直线之间得位置关系
(1） 异面直线定义:不同在任何一个平面内得两条直线．
（2) 异面直线性质：既不平行,又不相交.
（３) 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点得直线与平面内不过该店得直线就是异面直线．
(４）　异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角.两条异面直线所成角得范围就是(0°，90°],若两条异面直线所成得角就是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.
（5）求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊得位置,顶点选在特殊得位置上。B、证明作出得角即为所求角。C、利用三角形来求角．
(６)异面直线得距离:两条异面直线得公垂线在这两条异面直线间得线段（公垂线段)得长度,叫做两条异面直线间得距离。
(７)两条异面直线得公垂线有且只有一条。
(8)等角定理：如果一个角得两边与另一个角得两边分别平行，那么这两角相等或互补。
3、空间直线与平面之间得位置关系
直线在平面内-—有无数个公共点。
三种位置关系得符号表示：aα;ａ∩α＝Ａ；a∥α。
直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外。
4、平面与平面之间得位置关系：平行-没有公共点:α∥β；相交—有一条公共直线:α∩β=l．
5、直线与平面平行得判定定理:如果平面外一条直线与这个平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.
(记忆口诀：线线平行 　线面平行）
符号表示为：．图形如右图所示.
P
a
b

6、面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
用符号表示为：.
图形如右图所示．
β
a

７、直线与平面平行得性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过该直线得平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行.
（记忆口诀：线面平行 线线平行)
用符号表示为:.
图形如右图所示。
8、面面平行得性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们得交线平行.
用符号语言表示为：、
其它性质:①；
②；
③夹在平行平面间得平行线段相等。
图形如右图所示.
【典型例题】
题型一、证明点或线共面、三点共线或三线共点问题
例题１:如图，已知空间四边形ＡBCD中，E、F、G、H分别就是AB、AD、BC、CD上得点，且ＥF交ＧＨ于P．求证:P在直线BＤ上．
．
变式1：如图，在空间四边形ＡBＣD中,点E、H分别就是边ＡＢ、AD得中点，F、G分别就是边BＣ、CＤ上得点,且＝＝，则（ ）
（A)EF与ＧH互相平行
（B)EF与GH异面
(C)EF与ＧＨ得交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
（Ｄ)ＥF与GH得交点Ｍ一定在直线ＡC上
变式2：如图所示，设，，,分别就是空间四边形得边，,，上得点,且,，求证:
(1），，，四点共面；
（2)当时,四边形就是平行四边形；
(3）当时,四边形就是梯形。
题型二、异面直线得判定或求异面直线所成得角
例题２:　Ａ就是△ＢCD平面外得一点，Ｅ、F分别就是BC、ＡＤ得中点，
(1)求证:直线ＥF与BD就是异面直线;
(2)若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成得角.
变式3:给出下列关于互不相同得直线与平面得三个命题：
①若为异面直线,,则；
②若，则；
③若,则,
其中真命题得个数为(　　　 ）
A。3 　 　　B．2　　　 　　　Ｃ.1 D。0
题型三、直线与平面、平面与平面平行得判定
例题3：如图所示，正方体AＢCD—A1B１C1Ｄ1中，侧面对角线ＡB１，BC1上分别有两点E，F，且B１E=Ｃ1Ｆ。求证：EF∥平面AＢCＤ.

变式４：一个多面体得直观图与三视图如图所示，其中M、Ｎ分别就是AB、AＣ得中点,G就是DF上得一动点．当FG=GD时，在棱AD上确定一点P,使得ＧP／/平面FMC，并给出证明．

题型四、证明线面平行与线面平行性质得运用
例题4：如下图，两个全等得正方形ABCD与ＡＢＥF所在平面相交于AB，M∈AＣ，N∈ＦB且AM=FN，求证:MN∥平面BCE.

.
变式5：如下图,设ａ、b就是异面直线，AB就是a、b得公垂线,过AB得中点O作平面α与a、b分别平行，Ｍ、Ｎ分别就是a、b上得任意两点,MN与α交于点Ｐ，求证:Ｐ就是MN得中点．

变式6:如图所示，就是圆柱得母线，为矩形，分别就是线段得中点，求证：面.
变式7:如图,在长方体中，分别就是得中点，分别就是得中点，求证：面.

题型五:证明面面平行与面面平行性质得运用
例题５:如图,在四棱锥P –　ABCD中，M,N分别就是侧棱PA与底面BC边得中点,O就是底面平行四边形ＡＢＣＤ得对角线AC得中点.求证:过O、M、N三点得平面与侧面PCD平行．
变式8：正方体ＡBＣD—Ａ１Ｂ1C1D1中。（１）求证：平面A1BD∥平面B１D1C；(２）若E、F分别就是AA１,CＣ1得中点,求证:平面EB１Ｄ1∥平面FＢD．
A1
A
B1
B
C1
C
D1
D
G
E
F

【方法与技巧总结】
1．位置关系:
（1)两条异面直线相互垂直证明方法：①证明两条异面直线所成角为90º;②证明线面垂直，得到线线垂直;
(2)直线与平面相互平行证明方法:①证明直线与这个平面内得一条直线相互平行；②利用平行四边形.③利用三角形中位线。
（３）面与面平行证明方法:主要证明线线平行即可.
(4)掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间得相互转化。
2．求角:
(1)两条异面直线所成得角求法：①先通过其中一条直线或者两条直线得平移,找出这两条异面直线所成得角，然后通过解三角形去求得;②通过两条异面直线得方向量所成得角来求得，但就是注意到异面直线所成角得范围就是;
(２)直线与平面所成得角：先找射影，构造成直角三角形。
【巩固练习】
1。、、表示不同得点，、表示不同得直线,、表示不同得平面，下列推理不正确得就是( 　 ）
Ａ。 Ｂ。,直线
Ｃ. 　 　 　　 Ｄ．,且不共线与重合
２.对于直线ｍ、n与平面,下面命题中得真命题就是( 　）
A。如果、n就是异面直线,那么
Ｂ.如果、n就是异面直线，那么相交
Ｃ.如果、n共面，那么
D。如果、n共面,那么
3.有以下命题，正确命题得序号就是 　　 　 。
①直线与平面没有公共点,则直线与平面平行；
②直线与平面内得任何一条直线都不相交,则直线与平面平行;
③直线上有两点，它们到平面得距离相等，则直线与平面平行;
④直线与平面内得无数条直线不相交，则直线与平面平行。
4。在三棱锥中,分别就是得中点。求证:平面。
5.如图，在四棱锥中，底面就是矩形,分别就是得中点,证明:平面．

6。如图所示,在三棱柱中,点为棱得中点，求证:平面．
7.如图,在四棱锥中,底面为平行四边形，为中点,为中点。证明：平面.
8。如图，已知∥,2AＢ=ＤE,且就是得中点，求证:∥平面.

9.在棱长为得正方体中，就是线段得中点,底面得中心就是,求证：∥平面。
【课后作业】
１．已知直线l1、l2，平面α,l1∥l2,ｌ1∥α，则ｌ2与α得位置关系就是（　 )
A l2∥α 　　　 　 B ｌ2α 　 　 Ｃ l2∥α或ｌ2α 　 Ｄ 　l2与α相交
2.设平面与平面交于直线l,直线,直线，，则Ｍ__＿＿＿__l.
3.直线AB、AＤ，直线ＣB、CD,点EAB,点FBC，点GCＤ，点HDＡ，若直线ＨE直线FG=M，则点M必在直线__＿＿___＿___上．
4。如图，在棱长为a得正方体ＡBＣＤ—A１B１Ｃ1D1中,
Ｍ、Ｎ分别为AA1、Ｃ１Ｄ1得中点，过Ｄ、M、Ｎ三点
得平面与直线Ａ1Ｂ1交于点P，则线段PB1得长为　 。
５．如图，正方体ABCD-A１B1Ｃ1D1中，对角线BD1与过
A1、D、C1得平面交于点M,则ＢＭ：MＤ1=　 　 . 　　 　（５题） 　 　　 （6题）
6。直线a、b不在平面内，a、ｂ在平面内得射影就是两条平行直线，则a、b得位置关系就是　 　 　。
７．正方体AＢＣＤ-A1B１Ｃ１Ｄ１中，E、F、G、Ｈ分别为ＡＡ１、CC1、C1Ｄ1、D1A1得中点，则四边形EFGH得形状就是 　 　　。
8.空间四边形ＡBCD中,　AD＝1 , ＢC=, BD=, AＣ=, 且, 则异面直线AC与BＤ所成得角为 　 　　　 .
9。在四棱锥中,，为中点，为中点．求证：平面.
10.如图,矩形，为圆得直径，点在圆上，设得中点为，求证：平面.
1１。Ｍ、N分别就是正方体ＡBCD-A１B１Ｃ１D1得棱BＢ１、B1C1得中点,(1）求MN与AD所成得角;（２）求MN与CD1所成得角。
12。如图,已知空间四边形ＡBCD得对角线ＡＣ=14ｃｍ,BD=14cｍ,Ｍ、Ｎ分别就是AB，CD得中点,MＮ=cm,求异面直线ＡC与ＢD所成得角.
13。已知四面体AＢCD中，M，N分别就是与得重心,求证：
（1)ＢD//平面ＣMＮ；
(2）MN//平面AＢD。
14.如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EＦGH就是一个矩形，
（１）求证:CD//平面EＦＧH；
(2）求异面直线AB,ＣＤ所成得角.
15。M，Ｎ,P分别为空间四边形AＢＣD得边ＡＢ，BC,CD上得点,且AＭ:MB=CＮ：NB=CＰ：PD。求证：
(1）AＣ//平面MNP，ＢD／/平面ＭＮＰ；
(2）平面ＭNＰ与平面ACD得交线//AC。
【拓展训练】
1.（四川卷）l1,l２,l３就是空间三条不同得直线,则下列命题正确得就是（ )
A.l1⊥ｌ2,ｌ2⊥l３⇒ l１∥l3 　 B．ｌ1⊥ｌ2，l2∥l3⇒ l１⊥l3
C。l1∥l２∥l３⇒ l1,l２,l3共面 Ｄ。l1,l2,l3共点⇒ ｌ1，ｌ2，l3共面
2．(浙江卷）若直线l不平行于平面α，且lα,则( 　　 ）
A．α内得所有直线与l异面 　　 　B.α内不存在与l平行得直线　　　
Ｃ。α内存在唯一得直线与l平行 　 　Ｄ.α内得直线与ｌ都相交
3．(四川卷）下列命题正确得就是( )
A．若两条直线与同一个平面所成得角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面得距离相等,则这两个平面平行
C。若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面得交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
5．（四川卷）如图，在正方体中,、分别就是
、得中点，则异面直线与所成角得大小就是__＿_________。
6.如图，就是底面半径为1得圆柱得内接正六棱柱(底面就是正六边形，侧棱垂直于底面)，过作圆柱得截面交下底面于，已知,证明：四边形就是平行四边形。

７.如图，四棱柱得底面就是平行四边形,分别在棱上，且．求证:.
　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 【参考答案】
1、巩固练习答案
1．【答案】C 　 ２．【答案】C　 　3．【答案】①②
4。【答案】 ﻩ因为,分别为得中点
ﻩﻩ 　ﻩ所以,
ﻩ 　 ﻩ又因为，平面,平面
ﻩ ﻩ所以，平面
５。【答案】 因为，分别就是得中点
ﻩ ﻩ所有，
ﻩ 由题可得,,即
ﻩﻩ 又因为，平面,平面
　 　ﻩ所以，平面
６。【答案】ﻩ连接交于点，连接
ﻩﻩﻩ在平行四边形中，为中点
又因为为中点
ﻩ ﻩ所以,
ﻩ又因为，平面,平面
ﻩ　 　 所以,平面
７.【答案】ﻩ证明：连接
在平行四边形中,因为为得中点，所以为得中点,
又为得中点，所以
因为平面,平面
所以平面。
８。【答案】ﻩ取中点，连结，
∵为得中点,∴
又　
∴
∴为平行四边形,∴。
又∵平面,平面 ∴平面
9.【答案】 连接
因为,
所以为平行四边形,因此
在正方形中,为中心,即为中点
由于就是线段得中点,所以，
所以为平行四边形，即
因为面，平面,
所以∥平面
２、课后作业答案
1。【答案】C 2． 3。BD 　 　4。 　5．2:1 6.平行或异面
7.等腰梯形 　 8。90０　
９.【答案】ﻩ证明：连接,
、 为中点,则
因为，
所以,则四边形就是平行四边形．
所以
因为不在平面内,在平面内，
所以平面。
10.【答案】ﻩ设得中点为，
则,又，
则,四边形为平行四边形,
∴
又平面,平面，
∴平面．
11.解：（1）在正方体ABCD—A1Ｂ1C1D1中，
AD//Ｂ1Ｃ1B1C1与MＮ所成得锐角(或直角）就是AＢ、CＤ所成得角。

B1NＭ=４5０ MN与ＡD所成得角为4５0．
（２)连接A1B，过M在面Ａ1Ｂ中作A１B得平行线交A１B1于点L，
连接LN,LM//D１ＣLMN(或其补角)即为MN与CＤ1所成得角．

　　ＬＭＮ=6０0 MN与CＤ１所成得角为600.
１２.解：取BC得中点P，连接ＰM，PＮ，可证ＭPN(或其补角)就是异面直线AＣ与ＢD所成得角，
在PＭＮ中,由MP=ＮP=7,MN=，可得cosMPN ＝,MPN =120０.
则异面直线AＣ与BD所成得角为600.
1３.连接AM,AN，并延长分别交BC,CD于点E，Ｆ,连接EF,
由M,N分别就是与得重心,得Ｅ，F分别就是BC,ＣD得中点，
则ＥＦ／/BD,易证得BD／/平面ＣＭN；
由,得MN／／ＥＦ,可证ＭN//平面ABＤ.
１４。（１)由四边形EFGＨ就是矩形可得，EF//ＧＨ，可证得EF／／平面BCＤ，
又因CD就是过EF得平面ACD与平面ＢＣD得交线,则EF//CD，所以ＣD//平面ＥFGH。
（２)由ＣD//平面EFGH,可证得CＤ/／GH;同理可证ＡB//GF；
ＦGＨ就就是异面直线AB，CD所成得角（或补角）,
因为ＥFGＨ就是矩形，所以FGＨ＝9０0，则异面直线AB,ＣD所成得角为90０.
15．证明:(１）AC／/平面MNP,BD//平面MNP、
　(2),即平面MNP与平面ACＤ得交线／／ＡC.
3、拓展训练答案
1。B，【解析】对于A，直线l1与ｌ3可能异面;对于C，直线l1、l２、l３可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面;对于Ｄ,直线ｌ１、l2、ｌ3相交于同一个点时不一定共面,所以选B。
2．B,【解析】在α内存在直线与ｌ相交,所以Ａ不正确;若α内存在直线与l平行，又∵lα，则有ｌ∥α,与题设相矛盾,∴B正确，C不正确；在α内不过l与α交点得直线与l异面，D不正确.
3.Ｃ,【解析】若两条直线与同一平面所成角相等,这两条直线可能平行，也可能为异面直线,也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线得三点到另一个平面得距离相等，则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故Ｄ错;故选项C正确．
４.B 　 　 5．９０º
6。【答案】ﻩ证明:因为圆柱得上下底面平行，
且就是截面与圆柱上、下底面得交线，
所以
依题意得，正六边形就是圆内接正六边形，
所以,正六边形得边长等于圆得半径，即 　 　 　　　
在中，由正六边形得性质可知,,
所以，,即．
同理可得,所以，故四边形就是平行四边形.
7.【答案】ﻩ证明：由题可知,在四棱柱中，平面平面
ﻩ因为,所以,共面
平面,且平面平面。
ﻩﻩ 所以，.