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内切球和外接球例题
高考数学中的内切球和外接球问题
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ ..
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，则该球的体积为______________. .
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则此球的表面积为 ..
例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. C.
A. B. C. D.
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有 ∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.∴外接球的半径..
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_______________.
解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为，则有.∴.故其外接球的表面积.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【例题】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长即： 所以球的表面积为
例 6.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体满足条件，即，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为，从而外接球的直径也为，所以此球的表面积便可求得，故选A.
例7．在等腰梯形中，，，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）.
A. B. C. D.
解析： 因为，，所以，即三棱锥为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，故选C.
例8 .已知球的面上四点A、B、C、D，，，，则球的体积等于 .
解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于，，联想长方体中的相应线段关系，构造长方体，又因为，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.
2、构造长方体
例9.已知点A、B、C、D在同一个球面上，，，若，则球的体积是 .
解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是为球的直径，O为球心，为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C两点间的球面距离是.
三.多面体几何性质法
例1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A. B. C. D.
解 设正四棱柱的底面边长为，外接球的半径为，则有，解得.
∴.∴这个球的表面积是.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例11.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为 .
解 设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得.
又，∴球心必在所在的直线上.
∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由，得.∴.∴是外接圆的半径，也是外接球的半径.故.
五 .确定球心位置法
例11.在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为
A. B. C. D.
解 设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，∴外接球的半径.故.选C.
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，,求球的体积。
解：且，，，, 因为 所以知所以 所以可得图形为：
在中斜边为,在中斜边为,取斜边的中点，在中,在中所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心, ,所以该外接球的体积为