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第二章2、1 判断下列序列就是否就是周期序列。若就是,请确定它得最小周期。(1)x(n)=Acos()(2)x(n)=(3)x(n)=Asin()解 (1)对照正弦型序列得一般公式x(n)=Acos(),得出。因此就是有理数,所以就是周期序列。最小周期等于N=。 (2)对照复指数序列得一般公式x(n)=expn,得出。因此就是无理数,所以不就是周期序列。 (3)对照正弦型序列得一般公式x(n)=Acos(),又x(n)=Asin()Acos()Acos(),得出。因此就是有理数,所以就是周期序列。最小周期等于N=2、2在图2、2中,x(n)与h(n)分别就是线性非移变系统得输入与单位取样响应。计算并列得x(n)与h(n)得线性卷积以得到系统得输出y(n),并画出y(n)得图形。解 利用线性卷积公式y(n)=按照折叠、移位、相乘、相加、得作图方法,计算y(n)得每一个取样值。(a) y(0)=x(O)h(0)=1 y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n2(b) x(n)=2(n)-(n-1) h(n)=-(n)+2(n-1)+ (n-2)y(n)=-2(n)+5(n-1)= (n-3)(c) y(n)= =u(n)2、3 计算线性线性卷积(1) y(n)=u(n)*u(n)(2) y(n)=u(n)*u(n)解:(1) y(n)= =(n+1),n0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)= =,n0即y(n)=u(n)2、4 图P2、4所示得就是单位取样响应分别为h(n)与h(n)得两个线性非移变系统得级联,已知x(n)=u(n), h(n)=(n)-(n-4), h(n)=au(n),|a|1,求系统得输出y(n)、解 (n)=x(n)*h(n) =(n-k)-(n-k-4) =u(n)-u(n-4)y(n)=(n)*h(n) =u(n-k)-u(n-k-4) =,n32、5 已知一个线性非移变系统得单位取样响应为h(n)=au(-n),0a1 用直接计算线性卷积得方法,求系统得单位阶跃响应。2、6 试证明线性卷积满足交换率、结合率与加法分配率。证明 (1)交换律X(n) * y(n) = 令k=n-t,所以t=n-k,又-k,所以-t,因此线性卷积公式变成x(n) * y(n) =y(n) * x(n)交换律得证、(2)结合律x(n) * y(n) * z(n)= * z(n)=z(n-t)=x(k) y(t-k)z(n-t)=x(k) y(m)z(n-k-m)=x(k)y(n-k) * z(n-k)=x(n) * y(n) * z(n)结合律得证、 (3)加法分配律 x(n) * y(n) + z(n)= x(k)y(n - k) +z(n - k)=x(k)y(n-k)+ x(k)z(n - k)=x(n) * y(n) + x(n) *z(n)加法分配律得证、2、7 判断下列系统就是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明(1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sinn+(3)y(n)= (4)y(n)= (5)y(n)= x(n)g(n)解 (1)设y(n)=2x(n)+3,y(n)=2x(n)+3,由于 y(n)=2x(n)+x(n)+3 y(n)+ y(n) =2x(n)+x(n)+6 故系统不就是线性系统。 由于y(n-k)=2x(n-k)+3,Tx(n-k)=2x(n-k)+3,因而y(n-k) = Tx(n-k)故该系统就是非移变系统。设|x(n)|M,则有|y(n)|=|2x(n)+3|2M+3|故该系统就是稳定系统。 因y(n)只取决于现在与过去得输入x(n),不取决于未来得输入,故该系统就是因果系统。(2)设 y1(n)=ax1(n)sinn+ y2(n)=bx2(n)sinn+由于 y(n)=Tax1(n)+ bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)sinn+=ax1(n)sinn+bx2(n)sinn+=ay1(n)+by2(n)故该系统就是线性系统。由于 y(n-k)=x(n-k)sin(n-k)+Tx(n-k)=x(n-k)sinn+因而有 Tx(n-k)y(n-k)帮该系统就是移变系统。设 |x(n)|M,则有|y(n)|=|x(n)sin(n-k)+|=|x(n)| sin(n-k)+|M|sin(n- k)+|M故系统就是稳定系统。 因y(n)只取决于现在与过去得输入x(n),不取决于未来得输入,故该系统就是因果系统。(3)设 y1(n)= ,y2(n)=,由于y(n)=Tax1(n)+ bx2(n)= =a+ b=ay1(n)+by2(n)故该系统就是线性系统。因 y(n-k)= = =Tx(n-t)所以该系统就是非移变系统。设 x(n)=M y(n)= =,所以该系统就是不稳定系统。因y(n)只取决于现在与过去得输入x(n),不取决于未来得输入,故该系统就是因果系统。(4)设 y1(n)= ,y2(n)=,由于y(n)=Tax1(n)+ bx2(n)= = a+b=ay1(n)+by2(n)故该系统就是线性系统。因 y(n-k)= = Tx(n-t)= 所以该系统就是移变系统。设x(n)=M,则y(n)= (n-n)M=,所以该系统不就是稳定系统。显而易见,若nn。则该系统就是因果系统;若nn。则该因果系统就是非因果系统。(5)设y(n)=x(n)g(n),y(n)=x(n)g(n),由于 y(n)=Tax(n)+bx(n)=(ax(n)+bx(n)g(n) =ax(n)g(n)+b(n)=ay(n)+by(n)故系统就是线性系统。因y(n-k)=x(n-k),而 Tx(n-k)=x(n-k)g(n)y(n-k) 所以系统就是移变系统。 设|x(n)|M,则有 |y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)| 所以当g(n)有限时该系统就是稳定系统。 因y(n)只取决于现在与过去得输入x(n),不取决于本来得输入,故该系统就是因果系统。2、8 讨论下列各线性非移变系统得因果性与稳定性(1)h(n)=2u(-n) (4) h(n)=()u(n) (2) h(n)=-au(-n-1) (5) h(n)=u(n) (3) h(n)=(n+n), n0 (6) h(n)= 2Ru(n)解 (1)因为在n0时,h(n)= 20,故该系统不就是因果系统。 因为S=|h(n)|= |2|=1,故该系统就是稳定系统。(2) 因为在n1时才就是稳定系统。(3) 因为在nO时,h(n) 0,故该系统不就是因果系统。 因为S=|h(n)|= |(n+n)|=1,故该系统就是稳定系统。(4) 因为在nO时,h(n)=0,故该系统就是因果系统 。 因为S=|h(n)|= |()|,故该系统就是稳定系统。(5) 因为在nO时,h(n)=u(n)=0,故该系统就是因果系统 。 因为S=|h(n)|= |u(n)|= =,故该系统不就是稳定系统。(6) 因为在nO时,h(n)=0,故该系统就是因果系统 。 因为S=|h(n)|= |2|=2-1,故该系统就是稳定系统。2、9 已知y(n)-2cosy(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)=证明 题给齐次差分方程得特征方程为-2cos+1=0由特征方程求得特征根=cos+jsin=e,=cos-jsin= e齐次差分方程得通解为y(n)=c+c=ce+ce代入初始条件得y(0)=c+c=0y(1)= ce+ce=1由上两式得到c=,c=- c=-将c与c代入通解公式,最后得到y(n) =ce+ce=( e+ e)=2、10 已知y(n)+2y(n-1)+(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n)解 首先由初始条件求出方程中得系数a与b由可求出a=-1,b=-8于就是原方程为y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0由特征方程280求得特征根4 ,-2齐次差分方程得通解为y(n)=c+c= c4+c(-2)代入初始条件得y(n)= c+c= 4+2=3由上二式得到c,c将c与c代入通解公式,最后得到y(n)=c+c4-(-2) 2、11 用特征根法与递推法求解下列差分方程:y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y(1)=1解 由特征方程10求得特征根,通解为y(n)=c+cc()c()代入初始条件得求出c=,c=最后得到通解y(n)= c()+ c()=()-()2、12 一系统得框图如图P2、12所示,试求该系统得单位取样响应h(n)与单位阶跃响应解 由图可知y(n)=x(n)+ y(n-1)为求单位取样响应,令x(n)=(n),于就是有h(n)= (n)+ h(n-1)由此得到h(n)=u(n)阶跃响应为y(n)=h(n)*u(n)=y(k)u(n-k)=u(n)2、13 设序列x(n)得傅立叶变换为X(e),求下列各序列得傅立叶变换解 (1)Fax(n)+bx(n)=aX(e)+bX(e)(2)Fx(n-k)=eX(e)(3)Fex(n)=Xe(4)Fx(-n)=X(e)(5)Fx(n)=X(e)(6)Fx(-n)= X(e)(7)(8)jImx(n)=X(e)-X(e)(9)X(e)*X(e)(10)j2、14 设一个因果得线性非移变系统由下列差分方程描述y(n)-y(n-1)=x(n)+ x(n-1)(1) 求该系统得单位取样响应h(n)(2) 用(1)得到得结果求输入为x(n)e时系统得响应(3) 求系统得频率响应(4) 求系统对输入x(n)=cos(n+)得响应解 (1)令X(n)=(n),得到h(n)-h(n-1)/2=(n)+ (n-1)/2由于就是因果得线性非移变系统,故由上式得出 h(n)=h(n-1)/2+(n)+ (n-1)/2 ,n0递推计算出h(-1)=0 h(0)=h(-1)/2+(0)=1 h(1)=h(0)/2+1/2=1h(2)=h(1)/2=1/2h(3)=h(2)=()2h(4)= h(2)=()3. . .h(n)=(n)+ ()n-1u(n-1)或 h(n)= ()n u(n)-u(n-1)也可将差分方程用单位延迟算子表示成(1-D)h(n)=(1+D)(n)由此得到h(n)=(1+D)/(1-D)(n) =1+D+D2+ ()2 D3+()k-1 D3+ (n) =(n)+ (n-1)+ (n-2)+(n-3)+、 +()k-1(n-1)+ =(n)+ ()nu(n-1) 2)将代入得到(3)由(2)得出(4)由(3)可知故:2、15 某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述y(n)-ay(n-1)=x(n)-bx(n-1)试确定能使系统成为全通系统得b值(ba),所谓全通系统就是指其频率响应得模为与频率无关得常数得系统。解:令x(n)= (n),则h(n)=ah(n-1)=(n)-b8(n-1)或h(n)=ah(n-1)+ (n)- (n-1),n0由于就是线性得非移变系统,故对上式递推计算得出: h(-1)=0 h(0)=1 h(1)=ah(0)-b(0)=a-b h(2)=ah(1)=-ab h(3)=ah(2)=-b h(n)=ah(n-1)=-b,n0 h(n)=u(n)-bu(n-1)或系统得频率特性为H()= = = = 振幅得特性平方= = =若选取a或b,则有|H(e)|=|b|,即幅度响应等于与频率响应无关得常数,故该系统为全通系统。2、16 (1)一个线性非移变系统得单位冲激响应为h(n)=au(n),其中a为实数,且0a1。设输入为x(n)= u(n), 为实数,且00时,x(n)就是因果序列,收敛域为0z,无零点,极点为0(m阶); 当m0时,x(n)就是逆因果序列,收敛域为0z,零点为0(m阶),无极点; 当m=0, X(z)1,收敛域为0z,既无零点,也无极点(2)X(z)u(n)z-n=X(n)就是右边序列,它得Z变换得收敛域就是半径为R得圆得外部区域,这里 R(n)还就是因果序列,可以有z,故收敛域为z。零点为0,极点为。X(n)还就是因果序列,可以有z,故收敛域为z。零点为0,极点为。(3)x(z)= =X(n)就是左边序列,它得Z变换得收敛域就是半径围+得圆得内部区域,这里+=还就是逆因果序列,可以有,故收敛域为零点为0,极点为。(4)X(z)z-n = z-n=X(n)就是有限长序列,且它得Z变换只有负幂项,故收敛域为0z、零点为0与(10阶),极点为。(5) 就是右边序列,它得Z变换得收敛域就是半径为得圆得外部区域,这里1还就是因果序列,可以有,故收敛域为,零点为0与,极点为与。2、20求下列序列得Z变换与收敛域与零极点分布图(1) x(n)=a,0a1(2) x(n)=eu(n)(3) x(n)=Arcos()u(n),0r1(4) x(n)=u(n)(5) x(n)=sin()u(n)(1)X(z)= = = X(n)就是双边序列,可瞧成就是由一个因果序列(收敛域)与一个因果序列(收敛域)相加组成,故X(z)得收敛域就是这两个收敛域得重叠部分,即圆环区域。零点为0与,极点为与。(2) =X(n)就是右边序列,它得Z变换得收敛域就是半径为得圆得外部区域,这里X(n)还就是右边序列,可以有,故收敛域为。零点为0,极点为。(3)X(n)就是右边序列,它得Z变换得收敛域就是半径为得圆得外部区域,这里还就是因果序列,可以有 ,故收敛域为 。零点为0与 ,极点为 与 (4) X(n)就是右边序列,它得Z变换得收敛域就是半径为得圆得外部区域,这里X(n)还就是因果序列,可以有 ,故收敛域为 ,无零点,极点为0。 (5)X(z)= 就是右边序列,它得Z变换收敛域就是半径为得圆得外部象区域,这里还就是因果序列,大故收敛域为、零点为0与、极点为与、2、21 用三种方法求下列Z变化得逆变换(1)X(Z)=,|Z|(3)X(Z)=,|Z|a|解(1)采用幂级数法。由收敛域课确定x(n)就是左边序列。又因为1为有限值,所以x(n)就是逆因果序列。用长除法将X(z)展开成正幂级数,即最后得到x(n)-2(-2),n-1,-2,-3或x(n)(2)采用部分分式展开法。将X(z)展开陈部分分式其中由收敛域可确定X(n)式右边序列。又因1,所以X(n)还就是因果序列。用长除法分别将展开成负幂级数,即4=-3=由上两式得到(3)采用留数定理法。围线积分得被积函数为当n0时,由给定得收敛域可知,被积函数在围线之内仅有一个极点,因此当n=0时,被积函数在围线之内有两个极点与z0,因此当n0时,因为在围线之外无极点,且在z处有1n2阶极点,所以有0,n0最后解得2、22 求下列Z变换得逆变换(1)X(z)=,1|z|2(2)X(z)=,0、5|z|(4)X(z)=,|a|z|b|解(4)采用部分分式法 根据收敛域与分别对应一个因果序列与逆因果序列。将它们分别展开成得负幂级数与正幂级数,即 最后得到 用留数定理法,被积函数根据收敛域可知,对应得就是一个双边序列、其中对应于一个因果序列 , 即n0时,时,被积函数有1个极点0、5在围线内,故得 |z|2对应于一个逆因果序列,即n0时,x(n)=0;n0时,被积函数在围线外有1个极点2,且分母多项式得阶比分子多项式得阶高2(n1)1-n2,故得最后得到或 采用留数定理法,被积函数根据收敛域可以知道,对应得序列就是一个因果序列。即n0时, 在时,在时,被积函数在积分围线内有1个2阶极点 ,因此最后得到或(7)由收敛域可知,对应得就是一个双边序列。将进行部分分式分解,即 =其中 对于,收敛条件|Z| 表明它对应于一个右边序列;又因=1有限值,所以应于一个逆因果序列。用长除法将展开成得正幂级数,即由此得到 对于,收敛条件|Z|b表明它对应于一个左边序列又因=0为有限值,所以对应于一个逆因果序列。用长除法将展开成得正幂级数,即由此得到 =最后得到 2、23 求X(Z),0|z|1。这样,得收敛域应为|z|1,而得收敛域为|z|a。这意味着与都对应于因果序列,因此可用长除法分别将与展开成z得负幂级数,即由上二式得到,最后得到2、29(1)因为系统就是因果得,所以收敛域为;为使系统稳定,必须要求收敛域包含单位圆,即要求。极点为,零点为,收敛域。极零点图与收敛域示于图1、7。 (2) 因此得到,即系统得幅度特性为一常数,所以该系统就是一个全通系统。2、30(1)根据极零点图得到x(n)得Z变换因傅里叶变换收敛,所以单位圆在收敛域内,因而收敛域为。故x(n)就是双边序列。 (2)因为x(n)就是双边序列,所以它得Z变换得收敛域就是一个圆环。根据极点分布情况,收敛域有两种可能:或。 采用留数定理法求对应得序列。被积函数为 对于收敛域,被积函数有1个极点在积分围线内,故得 被积函数有2个极点与在积分围线外,又因分母多项式得阶比分子多项式得阶高(因n0),故 最后得到 或 对于收敛域,被积函数有2个极点与在积分围线内,故 被积函数有1个极点在积分围线外,又因分母多项式得阶比分子多项式得阶高(因n0),故 最后得 2、31因系统稳定,所以单位圆必须在收敛域内。由于系统得极点为,所以收敛域为。因,故该系统不就是因果系统。2、32(1),所以系统函数为频率响应为 (2)由可写出系统得差分方程 (3)当x(n)为单位阶跃序列时,将代入,得到采用部分分式法:其中 由,得到 由,得到 因此系统得单位阶跃响应为 2、33(1)求差分方程两边得z变换 由上式得到系统函数 求系统函数得零点与极点 其中,零点为0;极点为与。由此可画出极零点图,如图1、9所示。已知系统为因果系统,因此收敛域为。 (2)采用留数定理法。由(收敛域为)计算单位取样响应 (3)要使系统稳定,单位圆必须在收敛域内,即收敛域应为,这就是一个双边序列。 采用部分分式法将系统函数分解为 其中 由计算单位取样响应。因收敛域为,故为左边序列,又因为有限值,故还就是逆因果序列。采用留数定理法,被积函数,当n0时,极点在积分围线外,且被积函数得分母与分子多项式阶数之差为(因n0),因此有 由计算单位取样响应。因此收敛域为,故为右边序列,又因为有限值,故还就是因果序列。采用留数定理法,被积函数,当时积分围线内有唯一得极点,因此有 最后得到满足题给差分方程得一个稳定但非因果得系统,它得单位取样响应为 2、34(1)求差分方程两边得Z变换由上式得到系统函数系统函数得零点:;极点:,。系统单位取样响应得3种可能选择方案如下(参考图1、10所示得极零点图)。（1） 收敛域取为,系统就是因果得,但不就是稳定得。得到系统得单位取样响应为（2） 收敛域为,系统就是稳定得,但不就是因果得。得到系统得单位取样响应为（3） 收敛域取为,系统既不就是稳定得,又不就是因果得。因收敛域为,故为左边序列,又因为有限值,故还就是逆因果序列。采用留数定理法,被积函数,当n2(因n0),因此有 (4)验证每一种方案都满足差分方程:前面已经由差分方程求得系统函数,故只要验证每一种方案得系统函数即可。 (1)(2)(3) 2、35极点为3,。系统稳定,单位圆在收敛域内,即,对应于双边序列。其中,由收敛域知为左边序列,由为有限值知就是逆因果序列。采用留数定理法,被积函数,当n0时极点3在积分围线外,且被积函数得分母与分子多项式阶数之差为(因n0),因此有由收敛域知为右边序列,因为有限值,故就是因果序列。采用留数定理法,被积函数,当时积分围线内有唯一得极点,因此最后得到 2、36(1)根据差分方程可画出系统得框图,如图1、11所示。(2)求差分方程两边得Z变换 由上式得到系统函数 其中,极点: , 得Z变换为,因此可以得到 因为就是因果系统,故收敛域为,且有,。对于,采用留数定理法求逆Z变换,被积函数 在积分转线内有3个极点:,。因此有