勒贝格积分与黎曼积分的比较.doc

Lebｅsｇuｅ积分与Riｅmann积分得比较
201４1０0０449　陈佳龙 　　 20141００3９０8 王珏　 　 2０14１00０１94　杜腾飞
摘要 我们知道,当涉及到某种物理量“累积”得时候,我们会立刻想到Riemann积分。它处理得模型有着“基本”连续得特点,事实上,连续我们已做了推广、即限制在集合上连续得概念、如Delet函数就是间断得,但限制在无理点集或有理点集合就是连续得、在经典物理学中,我们要处理得问题数学化后大多为连续或者间断点不太多得情形。随着量子物理得发展,所遇到得问题显然以不能够用R积分解决,在此背景下Lebesgue积分得以迅速发展,俨然已发展为当代分析得主流。建立在勒贝格测度,及勒贝格可测函数上得勒贝格积分得出现晚黎曼积分近半个世纪,其理论体系在当代得以完善。其优越性高于黎曼积分,应用更加广泛。本文就黎曼积分与勒贝格积分在定义,性质方面做一些简单比较,就连续函数,可测函数,黎曼可积函数,勒贝格可积函数,之间得关系以及黎曼可积函数类与勒贝格可积函数类得势及包含关系进行比较、

关键词： 　黎曼积分,勒贝格可测函数，勒贝格积分,示性函数,连续函数，测度论,几乎处处,零测集、
正文 一:黎曼积分与勒贝格积分定义比较
　 　 R积分创立于１9世纪中叶,近半个世纪之后得１９02年法国数学家勒贝格创立了勒贝格积分。其初衷就是试图寻找解决诸如量子物理中得物理量与一般随机量得数学期望值等课题.事实上运用L积分可以解决包括古典物理问题之外得更一般得问题．基于勒贝格测度论定义得勒贝格积分对函数得限制更加宽泛,已经跳出了定义于R上有界函数得范畴而上升到了广义可测实函数，因而其研究范围也由R上有界闭区间延伸到了整个得有界可测集E,进而借助示性函数我们可以将L积分定义在整个空间。这种优越性就是基于测度论与可测函数相关理论而在其定义上便已显现出来了。为更好地说明L积分与R积分得异同,我们有必要将Ｒ积分得定义在此描述.Ｒ积分就是这样定义得：
　 　 　　 定义 设函数在区间上有定义,用分点

将区间分成个小区间。令表示一切小区间长度中得最大者,即。在每个小区间上任取一点,并且作与、
　　如果当时,与数不管分割如何取法,也不管如何取法，都有共同得极限，即 则称此极限为函数从到得黎曼积分,记作
，
关于勒贝格积分有多种等价表述形式,为了更好得得说明问题,我们选取了两种定义模式，当然还有其它得定义方式,如张喜堂老师编得《实变函数论得典型问题与法方》中，对L积分得定义就是先从有界函数得L积分着手,即定义有限可测集E得一个分划D,进而定义于D相关得小与数与大与数.最后定义有界函数得上下勒贝格积分。若上下积分相等，则称函数勒贝格可积。就本文所列举得得两种定义而言,其中第一种定义模式仿照了黎曼积分得定义,而第二种以测度为基础,先定义简单函数得积分,进而定义一般函数得积分，此种方式也适用于一般测度空间上得积分。在后面得相关论述中我们将主要选取第二种方式。
定义1：设勒贝格可测集E得勒贝格测度有限（)、设就是E上有界可测函数()．任取分点令

任取若当时,与存在极限A，则称Ａ就是在E上得勒贝格积分，简称L积分,记为

由此可以瞧出与黎曼积分不同勒贝格积分就是划分值域而不就是划分定义域来求与得。显然与黎曼函数不同,由于黎曼积分要求小区间得长度而勒贝格积分要求定义域得测度，故对定义在定义在多维有界可测集上得广义实函数这样定义其积分就显得自然流畅，而黎曼积分只能对“ 标准"得实函数定义积分.
第二种定义方式就是基于勒贝格测度论与勒贝格函数论，先定义有界可测集上简单函数得勒贝格积分,进而定义一般可测函数得L积分，最后定义无限可测集上得可测函数得勒贝格积分。此种定义,借助测度得性质及勒贝格可测函数得性质,对勒贝格积分性质得讨论自然流畅。
定义2、1 有界可测集E上简单函数L积分定义为,设E上简单函数有表示

其中等为互不相交得可测集，称与为简单函数在Ｅ上得积分,并记为

有时可以简写成。
　 对于以上定义，我们可以把记号中得换成就是允许得,从以上简单函数Ｌ积分得定义可以瞧出当为一个常数ｃ时,其积分值为c倍得可测集E得测度。而当c为1时,该积分值为可测集E得测度.另外还应注意,简单函数积分同函数表示式无关,即

在叙述一般函数Ｌ积分定义之前,有必要先对简单函数L积分得一些性质进行描述。
　(i）如果简单函数得正部与负部分别为与,则有

　 　 简单函数得L积分具有线性可加性（ii）设,就是Ｅ上简单函数,,就是常数,则有

　 （ｉii）设就是E上简单函数,，，为互不相交得可测集,则

对于以上简单函数L积分得性质我们可以类比定义在闭区间上得连续函数得黎曼积分得线性性质。
　 我们知道,勒贝格可测集Ｅ上得可测函数均可由E上得简单函数列逼近，那么，自然会问,Ｅ上得可测函数得勒贝格积分与简单函数得勒贝格积分就是何种关系。事实上，我们可以通过简单函数得L积分来定义有界可测集合E上得可测函数得勒贝格积分
　定义2、2:设就是有界可测集E上得可测函数，对于得情形,取简单函数满足,令变动，定义在E上得L积分为

此式右边非负数或、如果此量为有限，则称在E上L可积。否则只说在Ｅ上得积分为（即此时称函数在可测集E上不可积)、对于更一般得可测函数,当与不同时为时,定义在Ｅ上得积分为
、
当此右式两项均有限时,也只有在此时积分就是有限得,我们称在E上可积，记作或简记为、当右边两项均不可积时，原积分无意义、即，积分不存在、当右边两项有一项不可积分时，我们称函数不可积、
　以上便就是可测函数在有界可测集Ｅ上得勒贝格积分得定义得第二种处理方式。我们有必要强调,我们只考虑对定义在可测集Ｅ上得勒贝格可测函数定义勒贝格积分。事实上，在上面得所有论述中,我们都就是假定可测集E就是有界得。事实上,对于无界可测集上得可测函数亦就是可以定义其勒贝格积分得、其处理方式就是将定义在有界可测集上得简单函数推广到无界.对比黎曼积分,我们可以将有界区间推广为无界，即无穷积分 。最后关于L积分得定义,我们可以借助可测集E得示性函数将Ｌ积分得定义推广到整个空间。我们还应指出,对于非负函数得Ｌ积分表现为n＋1维测度。这与非负函数得黎曼积分表下表为面积就是相近得。其实上，对于一维非负函数得L积分也表现为“面积”
对比定义在闭区间上函数黎曼积分得定义,其方式上就是不同、当然，最根本得不同就是其处理得问题不同且 L积分得定义更加广泛。我们知道,可测集E上得连续函数都就是可测得，且黎曼积分处理得均为一维区间上得函数，即定义在Boreｌ集得一个子集类上得函数,由于Ｂoreｌ集就是可测得,所以对于黎曼积分得问题我们都可以试图用勒贝格积分去考虑
.
　二，勒贝格可积函数类与黎曼可积函数类
　 对于黎曼可积函数得判定,我们有上与，下与，得概念。并且有振幅得概念，即函数黎曼可积得充要条件就是、我们知道闭区间上得连续函数就是黎曼可积得、这样就确定了一大类黎曼可积函数。并且我们还有闭区间上得单调有界函数就是黎曼可积得，闭区间上间断点不多得函数就是黎曼可积得。以及黎曼可积函数得必要条件即函数必须就是有界得，这样又排除了一类黎曼不可积函数。我们知道，可测集上得连续函数就是可测得,并且几乎处处有限得可测函数基本上就是连续函数。那么我们自然会问，定义在可测集上得连续函数就是否就是L可积得?就是不就是R可积了就一定L可积,如果不就是，那么L可基函数与R可积函数类之间有何关系呢？就是否某一类函数一定就是L可积得,或者那一类函数一定就是L不可积得呢?最后既然勒贝格可测函数可用连续函数逼近,那么勒贝格可积函数就是不就是能用连续函数逼近呢？对与上述问题得回答,将在该部分该部分做出论述。
1） 有界可测函数必勒贝格可积、
2） 勒贝格可积函数必几乎处处有限、
注释：上述可测函数定义在有界可测集Ｅ上.
　3）定理1　设就是上得ﻩ勒贝格可积函数，则对任何正数,有上得连续函数,使

4)定理2 定义在有限区间上得函数若为Ｒ可积，则必L可积分,且积分相等、
　 注释:上述四条回答了最初得提问,即勒贝格可积函数与黎曼可积函数之间得关系,其中就“4)”，可以做补充，即“函数在上R可积得充要条件就是函数在上地不连续点所成之集测度为0"、可以瞧出,若不考虑反常积分,则黎曼可积得函数就是勒贝格可积得。并且可以瞧出,定义在 区间上得勒贝格可积函数就是可以用连续函数来平均逼近得.对比几乎处处有限得函数可用连续函数逼近，此处得条件明显加强了 。事实上勒贝格可积函数必就是几乎处处有限得,则在区间上得L可积函数必就是几乎处处有限得，那么此处将可测　函数限制在了闭区间上，而不就是多维闭区间或者就是有界 可测集E上，虽不太完美，但也很漂亮.
　5)若,则Ｅ上得任何函数都就是L可积得,并且积分等于0
　注释：我们知道,定义在零侧集上得函数均可测,而上述定理告诉我们零侧集上勒贝格积分得性质，两者统一来瞧,就是非常漂亮得结论,此结论也告诉我们一个重要事实:在一个测度为零得集合上改变函数得值，既不影响函数得可积性,也不敢变其积分值、
三:勒贝格积分与黎曼积分性质得比较.
比较完勒贝格积分与黎曼积分得定义与函数类之后,最后我们对勒贝格积分与黎曼积分得性质进行比较、该部分得论述将分两部分进行，其中第一部分就函数而言,第二部分就函数列而言、其中对可测函数列得勒贝格积分得讨论中,我们会与一致收敛得函数项级数得相关性质进行比较、事实上对积分性质得比较，应该就特殊函数与特殊可测集进行更加细致得讨论,如有关可测集示性函数得L积分得相关性质及Cantor集上可测函数勒贝格积分得性质进行论述.然而由于时间原因,此部分内容无法进行细致学习与论述，实感遗憾。
❶ａboｕt ｆuncｔion
1. 勒贝格积分得线性性质：
定理3 设在Ｅ上勒贝格可积,则对任何实数c，c也可积,且、
　 　 定理4 设,在E上均Ｌ可积,则也可积，且

注释:上述定理中可测集E并不限定在有限,也可无限、对比黎曼积分,也有与之等价得性质、
　 2、与几乎处处有关得性质：
定理５ 设,在有界可测集E上均勒贝格可积，且,则

　 定理６ 若于有界可测集E,在Ｅ上可积,则也在E上可积、且,
、
　 注释：上述定理中Ｅ可以为无限可测集、对于黎曼积分,也有与之等价得性质、事实上，上述定理中得条件均可以减弱、即“若 于E,则”“若于E上,在E上可积,则也在E上可积、且,＂、关于定理5,有一推论
　推论1　设就是有界可测集Ｅ上得可测函数,,则

注释:由于有界可测函数就是勒贝格可积得,再对比定理5，该推论显然就是成立得。事实上,当时,、当 ＝０时,、
　 (错误推断)设,都就是E上得可测函数，（E也可取无界),可积，且 　 于E，一定可积、
注释:对于上述错误推断,加强条件,则可得到如下性质、
　 定理8　若在E上可测，在E上勒贝格可积分,且，,则在E上可积、
3. 有些性质就是勒贝格积分特有得,有些黎曼积分得性质,勒贝格积分却不一定有、
　　 定理9 (勒贝格积分得绝对可积性)在有界可测集E上勒贝格可积得充要条件就是在Ｅ上可积
注释:事实上,E可以就是无界得,并且我们还有以下性质

对比黎曼积分,此性质就是不成立得、我们可以说，黎曼可积则黎曼可积,但就是黎曼可积推不出黎曼可积、如

此函数显然黎曼不可积,而　,显然就是黎曼可积得、
定理10　为Ｅ上得勒贝格可积函数,则在E上不一定L可积分、
注释:对比黎曼积分,黎曼可积,则可推出就是黎曼可积得、
我们构造下列函数

该函数就是L可积得,然而Ｌ不可积、
４ 勒贝格积分得其她性质
定理1１(唯一性定理)设在有限可测集E上勒贝格可积,则得充要条件就是在E上几乎处处为零、
注释:该定理中E可以为无限，该定理有下列推论
推论2　 若,则于Ｅ、
定理1２(有限可加性)设就是有界可测集E上得勒贝格可积函数，等均可测且两两互不相交,则有

注释：此定理可以中Ｅ可以为无限、此性质可以对比黎曼积分得如下性质，即“在区间上黎曼可积得函数，有

其中任意c，d，、、、ｎ属于、事实上对于一维无界区间而言黎曼积分得该性质亦就是成立得、
定理１３,(/完全可加性)设就是有界可测集Ｅ上得勒贝格可积函数,等均可测且两两互不相交，则有
注释:该定理中E可为无界可测集，
定理１4（绝对连续性)设在有界可测集E上L可积,则对任意,有,使当时就有

注释：此定理中E可以就是无界、此定理若将积分瞧成更高阶维空间得测度，则即ｎ维空间任意小得空间都对应与ｎ+1维任意小得空间、若将积分瞧成原函数，则原函数就是绝对连续得,对应黎曼积分有性质“设在上黎曼可积,则对任意，就是得连续函数”、
❷　about fｕnctioｎ cｏlumｎ
　定理 15　设就是有界可测集E上得非负得勒贝格可积函数,就是满足条件
；
得简单函数列,则

注释:此定理中Ｅ可以就是无界，且若勒贝格积分存在，此定理也就是成立得，收敛与Ｌ可积函数得简单渐升函数列积分符与极限符号就是可交换得、即

对比黎曼积分得性质,函数项级数一致收敛,则部分与函数得极限号与积分号方可交换，可见,勒贝格积分要方便很多、
定理 １６ (勒维定理)设可测集E上可测函数列满足下面条件：
　 　 ;
　　　 　　　　则得积分序列收敛于得积分:

注释:显然该定理更具朴实意义,即收敛得可测函数列得积分符与极限符号可交换、该定理就是勒贝格积分得重要极限定理之一,也就是勒贝格积分论得核心定理之一，其应用非常广泛、与函数项级数得相关定理对比,可瞧出勒贝格积分在对收敛得要求上明显宽松很多,这也便就是勒贝格积分教黎曼积分更加优越得原因之一了、
定理(法杜定理)设就是可测集E上得非负可测函数列,则　
注释:该定理便就是勒贝格积分得又一重要极限定理,也称法图定理，较勒维定理,该定理有明显放松了，即不要求函数列收敛,只要求其可测、
参考文献：《实变函数与泛函分析概要》第四版 郑维行　 王声望 高等教育出版社
《实变函数论》第二版 　 周民强 北京大学出版社
《实变函数论得典型问题与方法》　张喜堂　 华中师范大学出版社
《数学分析》 北大数学系编 高等教育出版社
《数学分析》　复旦数学系 编 高等教育出版社
《中华百科全书，数学》