高中数学知识点总结及公式大全.pdf

高中数学知识点总结 文档文档贡贡献：献：smysl 1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。中元素各表示什么？注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。3.注意下列性质：（3）德摩根定律：4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。6.命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。7.对映射的概念了解吗？映射 f：AB，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。）8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9.求函数的定义域有哪些常见类型？10.如何求复合函数的定义域？义域是_。11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？12.反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）13.反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线 yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；14.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？）15.如何利用导数判断函数的单调性？值是（）A.0B.1C.2D.3 a 的最大值为 3）16.函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。17.你熟悉周期函数的定义吗？函数，T 是一个周期。）如：18.你掌握常用的图象变换了吗？注意如下“翻折”变换：19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？的双曲线。应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程 求闭区间m，n上的最值。求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。由图象记性质！（注意底数的限定！）利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？20.你在基本运算上常出现错误吗？21.如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）22.掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）如求下列函数的最值：23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？（x，y）作图象。27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：图象？30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？“奇”、“偶”指 k 取奇、偶数。A.正值或负值B.负值C.非负值D.正值 31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式降幂公式及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法：（2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式 （4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。34.不等式的性质有哪些？答案：C 35.利用均值不等式：值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为 1，穿轴法解得结果。）38.用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 40.对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）证明：证明：（按不等号方向放缩）42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题）43.等差数列的定义与性质 0 的二次函数）项，即：44.等比数列的定义与性质 46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（1）求差（商）法 解：解：练习 （2）叠乘法 解：解：（3）等差型递推公式 练习 （4）等比型递推公式 练习 （5）倒数法 47.你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗？例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。解：解：练习 （2）错位相减法：（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。练习 48.你知道储蓄、贷款问题吗？零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金 p 元，每期利率为 r，n 期后，本利和为：若按复利，如贷款问题按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款分期等额归还本息的借款种类）若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第 n 次还清。如果每期利率为 r（按复利），那么每期应还 x 元，满足 p贷款数，r利率，n还款期数 49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。（2）排列：从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素，按照一定的顺序顺序排成一 （3）组合：从 n 个不同元素中任取 m（mn）个元素并组成一组，叫做从 n 个不 50.解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。如：学号为 1，2，3，4 的四名学生的考试成绩 则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）A.24B.15C.12D.10 解析：可分成两类：（2）中间两个分数相等 相同两数分别取 90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有 3，4，3 种，有 10 种。共有 51015（种）情况 51.二项式定理 性质：（3）最值：n 为偶数时，n1 为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第 表示）52.你对随机事件之间的关系熟悉吗？A B 的和（并）。（5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。（6）对立事件（互逆事件）：（7）独立事件：A 发生与否对 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。53.对某一事件概率的求法：分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即 （5）如果在一次试验中 A 发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生 如：设 10 件产品中有 4 件次品，6 件正品，求下列事件的概率。（1）从中任取 2 件都是次品；（2）从中任取 5 件恰有 2 件次品；（3）从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品；解析：解析：有放回地抽取 3 次（每次抽 1 件），n103 而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”（4）从中依次取 5 件恰有 2 件次品。解析：解析：一件一件抽取（有顺序）分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。54.抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。55.对总体分布的估计用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。要熟悉样本频率直方图的作法：（2）决定组距和组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图。如：从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为_。56.你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量既有大小又有方向的量。在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。（6）并线向量（平行向量）方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。（7）向量的加、减法如图：（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）的一组基底。（9）向量的坐标表示 表示。57.平面向量的数量积 数量积的几何意义：（2）数量积的运算法则 练习 答案：答案：2 答案：58.线段的定比分点 .你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线面平行的判定：a b 线面平行的性质：三垂线定理（及逆定理）：线面垂直：面面垂直：60.三类角的定义及求法 （1）异面直线所成的角，090 （2）直线与平面所成的角，090 （三垂线定理法：A 作或证 AB 于 B，作 BO棱于 O，连 AO，则 AO棱l，AOB 为所求。）三类角的求法：找出或作出有关的角。证明其符合定义，并指出所求作的角。计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。练习 （1）如图，OA 为 的斜线 OB 为其在 内射影，OC 为 内过 O 点任一直线。（2）如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中对角线 BD18，BD1与侧面 B1BCC1所成的为 30。求 BD1和底面 ABCD 所成的角；求异面直线 BD1和 AD 所成的角；求二面角 C1BD1B1的大小。（3）如图 ABCD 为菱形，DAB60，PD面 ABCD，且 PDAD，求面 PAB 与面 PCD 所成的锐二面角的大小。（ABDC，P 为面 PAB 与面 PCD 的公共点，作 PFAB，则 PF 为面 PCD 与面 PAB 的交线）61.空间有几种距离？如何求距离？点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。如：正方形 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 a，则：（1）点 C 到面 AB1C1的距离为_；（2）点 B 到面 ACB1的距离为_；（3）直线 A1D1到面 AB1C1的距离为_；（4）面 AB1C 与面 A1DC1的距离为_；（5）点 B 到直线 A1C1的距离为_。62.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？正棱柱底面为正多边形的直棱柱 正棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：它们各包含哪些元素？63.球有哪些性质？（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！（3）如图，为纬度角，它是线面成角；为经度角，它是面面成角。（），球球444323SRVR （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比为R：r3：1。如：一正四面体的棱长均为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面2积为（）ABCD.343 36 答案：A 64.熟记下列公式了吗？（）直线的倾斜角，102212112lkyyxxxxtan P xyP xyak1112221，是 上两点，直线 的方向向量，ll （2）直线方程：点斜式：（存在）yyk xxk00 斜截式：ykxb 一般式：（、不同时为零）AxByCAB 0 （）点，到直线：的距离30000022P xyAxByCdAxByCABl （）到 的到角公式：41122112lltan kkk k ll1221121与 的夹角公式：tan kkk k 65.如何判断两直线平行、垂直？A BA BA CA C1221122112 ll kkl1212 l （反之不一定成立）A AB B1212120 ll 66.怎样判断直线l与圆 C 的位置关系？圆心到直线的距离与圆的半径比较。直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。67.怎样判断直线与圆锥曲线的位置？联立方程组关于（或）的一元二次方程“”相交；相切；相离xy000 68.分清圆锥曲线的定义 第二定义：ePFPKca 0111eee椭圆；双曲线；抛物线 691022222222.与双曲线有相同焦点的双曲线系为xaybxayb 70.在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？0 的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在0 下进行。）71.会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？如：通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。72.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。答案：73.如何求解“对称”问题？（1）证明曲线 C：F（x，y）0 关于点 M（a，b）成中心对称，设 A（x，y）为曲线 C 上任意一点，设 A（x，y）为 A 关于点 M 的对称点。74222.cossin圆的参数方程为（为参数）xyrxryr 椭圆的参数方程为（为参数）xaybxayb22221cossin 75.求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。（直接法、定义法、转移法、参数法）76.对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论1.元素与集合的关系,.UxAxC AUxC AxA2.德摩根公式.();()UUUUUUCABC AC B CABC AC BIUUI3.包含关系ABAABBIUUUABC BC AUAC B IUC ABRU4.容斥原理()()card ABcardAcardBcard ABUI()()card ABCcardAcardBcardCcard ABUUI.()()()()card ABcard BCcard CAcard ABCIIIII 5集合的子集个数共有 个；真子集有1 个；非空子集有 12,na aaL2n2n2n1 个；非空的真子集有2 个.2n6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式;2()(0)f xaxbxc a(2)顶点式;2()()(0)f xa xhk a(3)零点式.12()()()(0)f xa xxxxa7.解连不等式常有以下转化形式()Nf xM()Nf xM()()0f xMf xN|()|22MNMNf x()0()f xNMf x.11()f xNMN8.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后0)(xf),(21kk0)()(21kfkf者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程有且只有一个实根在)0(02acbxax内,等价于,或且,或且),(21kk0)()(21kfkf0)(1kf22211kkabk0)(2kf.22122kabkk9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区)0()(2acbxaxxfqp,abx2间的两端点处取得，具体如下：(1)当 a0 时，若，则qpabx,2；minmaxmax()(),()(),()2bf xff xf pf qa，.qpabx,2maxmax()(),()f xf pf qminmin()(),()f xf pf q(2)当 a0)（1），则的周期 T=a；)()(axfxf)(xf（2），0)()(axfxf或，)0)()(1)(xfxfaxf或,1()()f xaf x()0)f x 或,则的周期 T=2a；21()()(),()0,1)2f xfxf xaf x)(xf(3)，则的周期 T=3a；)0)()(11)(xfaxfxf)(xf(4)且，则)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf1212()1()()1,0|2)f af xf xxxa的周期 T=4a；)(xf(5)()()(2)(3)(4)f xf xaf xa f xaf xa,则的周期 T=5a；()()(2)(3)(4)f x f xa f xa f xa f xa)(xf(6)，则的周期 T=6a.)()()(axfxfaxf)(xf30.分数指数幂(1)（，且）.1mnnmaa0,am nN1n(2)（，且）.1mnmnaa0,am nN1n 31根式的性质（1）.()nnaa（2）当为奇数时，；nnnaa当为偶数时，.n,0|,0nna aaaa a32有理指数幂的运算性质(1).(0,)rsr saaaar sQ(2).()(0,)rsrsaaar sQ(3).()(0,0,)rrraba b abrQ注：若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式.logbaNbaN(0,1,0)aaN34.对数的换底公式 (,且,且,).logloglogmamNNa0a 1a 0m 1m 0N 推论(,且,且,).loglogmnaanbbm0a 1a,0m n 1m 1n 0N 35对数的四则运算法则若 a0，a1，M0，N0，则(1);log()loglogaaaMNMN(2);logloglogaaaMMNN(3).loglog()naaMnM nR36.设函数,记.若的定义域为)0)(log)(2acbxaxxfmacb42)(xf,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要R0a0)(xfR0a00a单独检验.37.对数换底不等式及其推广 若,则函数0a 0b 0 x 1xalog()axybx (1)当时,在和上为增函数.ab1(0,)a1(,)alog()axybx，(2)当时,在和上为减函数.ab1(0,)a1(,)alog()axybx推论:设，且，则1nm0p 0a 1a（1）.log()logmpmnpn（2）.2logloglog2aaamnmn38.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有pxy.(1)xyNp39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系(数列的前 n 项的和为).11,1,2nnnsnassnna12nnsaaaL40.等差数列的通项公式；*11(1)()naanddnad nN其前 n 项和公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad.211()22dnad n41.等比数列的通项公式；1*11()nnnaaa qqnNq其前 n 项的和公式为11(1),11,1nnaqqsqna q或.11,11,1nnaa qqqsna q42.等比差数列:的通项公式为 na11,(0)nnaqad ab q；1(1),1(),11nnnbnd qabqdb qdqq其前 n 项和公式为.(1),(1)1(),(1)111nnnbn ndqsdqdbn qqqq43.分期付款(按揭贷款)每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).(1)(1)1nnabbxbanb44常见三角不等式（1）若，则.(0,)2xsintanxxx(2)若，则.(0,)2x1sincos2xx(3).|sin|cos|1xx45.同角三角函数的基本关系式，=，.22sincos1tancossintan1cot46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin,sin()2(1)s,nnnco 212(1)s,s()2(1)sin,nnconco47.和角与差角公式 ;sin()sincoscossin;cos()coscossinsinm.tantantan()1tantanm(平方正弦公式);22sin()sin()sinsin.22cos()cos()cossin=(辅助角所在象限由点的象限决定,sincosab22sin()ab(,)a b).tanba48.二倍角公式 .sin2sincos.2222cos2cossin2cos11 2sin .22tantan21tan49.三倍角公式.3sin33sin4sin4sinsin()sin()33(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数).3cos34cos3cos4coscos()cos()33.323tantantan3tantan()tan()1 3tan3350.三角函数的周期公式 函数，xR 及函数，xR(A,为常数，且sin()yxcos()yxA0，0)的周期；函数，(A,为常数，2Ttan()yx,2xkkZ且 A0，0)的周期.T51.正弦定理.2sinsinsinabcRABC52.余弦定理;2222cosabcbcA;2222cosbcacaB.2222coscababC53.面积定理（1）（分别表示 a、b、c 边上的高）.111222abcSahbhchabchhh、（2）.111sinsinsin222SabCbcAcaB(3).221(|)()2OABSOAOBOA OBuu u ruuu ruu u r uuu r54.三角形内角和定理 在ABC 中，有()ABCCAB.222CAB222()CAB55.简单的三角方程的通解 .sin(1)arcsin(,|1)kxaxka kZa .s2arccos(,|1)co xaxka kZa.tanarctan(,)xaxka kZ aR特别地,有.sinsin(1)()kkkZ .scos2()cokkZ.tantan()kkZ56.最简单的三角不等式及其解集 .sin(|1)(2arcsin,2arcsin),xa axkaka kZ.sin(|1)(2arcsin,2arcsin),xa axkaka kZ .cos(|1)(2arccos,2arccos),xa axkaka kZ .cos(|1)(2arccos,22arccos),xa axkaka kZ .tan()(arctan,),2xa aRxka kkZ.tan()(,arctan),2xa aRxkka kZ57.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1)结合律：(a a)=()a a;(2)第一分配律：(+)a a=a a+a;a;(3)第二分配律：(a a+b b)=a a+b b.58.向量的数量积的运算律：(1)a ab=b=b ba a （交换律）;(2)（a a）b=b=（a ab b）=a ab b=a a（b b）;(3)（a a+b+b）c=c=a a c c +b+bc.c.59.平面向量基本定理 如果 e e1 1、e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、2，使得 a=a=1e e1+2e e2不共线的向量 e e1、e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底60向量平行的坐标表示 设 a a=,b b=，且 b b0 0，则 a a b(bb(b0)0).11(,)x y22(,)xyP12210 x yx y53.a a与 b b 的数量积(或内积)a ab b=|a a|b b|cos 61.ab 的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积62.平面向量的坐标运算(1)设 a a=,b b=，则 a+b=a+b=.11(,)x y22(,)xy1212(,)xxyy(2)设 a a=,b b=，则 a-b=a-b=.11(,)x y22(,)xy1212(,)xxyy (3)设 A，B,则.11(,)x y22(,)xy2121(,)ABOBOAxx yyuuu ruuu ruu u r(4)设 a a=，则a=a=.(,),x yR(,)xy(5)设 a a=,b b=，则 a ab=b=.11(,)x y22(,)xy1212()x xy y63.两向量的夹角公式公式(a a=,b b=).121222221122cosx xy yxyxy11(,)x y22(,)xy64.平面两点间的距离公式=,A Bd|ABAB ABuuu ruuu r uuu r(A，B).222121()()xxyy11(,)x y22(,)xy65.向量的平行与垂直 设 a a=,b b=，且 b b0 0，则11(,)x y22(,)xyA A|b bb b=a a .12210 x yx ya ab(ab(a0)0)a ab=b=0.12120 x xy y66.线段的定比分公式 设，是线段的分点,是实数，且，111(,)P x y222(,)P xy(,)P x y12PP12PPPPuuu ruuu r则121211xxxyyy121OPOPOPuuu ruuu ruuu r（）.12(1)OPtOPt OPuuu ruuu ruuu r11t67.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为、,则ABC 的重心的坐11A(x,y)22B(x,y)33C(x,y)标是.123123(,)33xxxyyyG68.点的平移公式 .xxhxxhyykyykOPOPPPuuu ruuu ruuu r注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的F(,)P x yPPuuu r坐标为.(,)h k69.“按向量平移”的几个结论（1）点按向量 a a=平移后得到点.(,)P x y(,)h k(,)P xh yk(2)函数的图象按向量 a a=平移后得到图象,则的函数解析式()yf xC(,)h kCC为.()yf xhk(3)图象按向量 a a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数C(,)h kCC()yf xC解析式为.()yf xhk(4)曲线:按向量 a a=平移后得到图象,则的方程为C(,)0f x y(,)h kCC.(,)0f xh yk(5)向量 m m=按向量 a a=平移后得到的向量仍然为 m m=.(,)x y(,)h k(,)x y70.三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则OABC,A B C,a b c（1）为的外心.OABC222OAOBOCuu u ruuu ruuu r（2）为的重心.OABC0OAOBOCuu u ruuu ruuu rr（3）为的垂心.OABCOA OBOB OCOC OAuu u r uuu ruuu r uuu ruuu r uu u r（4）为的内心.OABC0aOAbOBcOCuu u ruuu ruuu rr（5）为的的旁心.OABCAaOAbOBcOCuu u ruuu ruuu r71.常用不等式：（1）(当且仅当 ab 时取“=”号),a bR222abab（2）(当且仅当 ab 时取“=”号),a bR2abab（3）3333(0,0,0).abcabc abc（4）柯西不等式22222()()(),.abcdacbda b c dR（5）.bababa72.极值定理已知都是正数，则有yx,（1）若积是定值，则当时和有最小值；xypyx yx p2（2）若和是定值，则当时积有最大值.yx syx xy241s推广 已知，则有Ryx,xyyxyx2)()(22（1）若积是定值,则当最大时,最大；xy|yx|yx 当最小时,最小.|yx|yx（2）若和是定值,则当最大时,最小；|yx|yx|xy当最小时,最大.|yx|xy73.一元二次不等式，如果与20(0)axbxc或2(0,40)abac a同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之2axbxca2axbxc间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.；121212()()0()xxxxxxxxx.121212,()()0()xxxxxxxxxx或74.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有.22xaxaaxa 或.22xaxaxaxa 75.无理不等式（1）.()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x（2）.2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或（3）.2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x76.指数不等式与对数不等式(1)当时,1a;()()()()f xg xaaf xg x.()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x(2)当时,01a;()()()()f xg xaaf xg x()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x77.斜率公式（、）.2121yykxx111(,)P x y222(,)P xy78.直线的五种方程（1）点斜式 (直线 过点，且斜率为)11()yyk xxl111(,)P x yk（2）斜截式(b 为直线 在 y 轴上的截距).ykxbl（3）两点式()(、().112121yyxxyyxx12yy111(,)P x y222(,)P xy12xx(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)1xyabab、0ab、（5）一般式(其中 A、B 不同时为 0).0AxByC79.两条直线的平行和垂直(1)若，111:lyk xb222:lyk xb;121212|,llkk bb.12121llk k(2)若,且 A1、A2、B1、B2都不为零,1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC；11112222|ABCllABC；1212120llA AB B80.夹角公式(1).212 1tan|1kkk k(，,)111:lyk xb222:lyk xb121k k (2).12211212tan|ABA BA AB B(,).1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC12120A AB B直线时，直线 l1与 l2的夹角是.12ll281.到的角公式 1l2l(1).212 1tan1kkk k(，,)111:lyk xb222:lyk xb121k k (2).12211212tanABA BA AB B(,).1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC12120A AB B直线时，直线 l1到 l2的角是.12ll282四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线000(,)P xy00()yyk xx),其中是待定的系数;经过定点的直线系方程为0 xxk000(,)P xy,其中是待定的系数00()()0A xxB yy,A B(2)共点直线系方程：经过两直线,的交1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC点的直线系方程为(除)，其中 是待定的系111222()()0AxB yCA xB yC2l数(3)平行直线系方程：直线中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线ykxb系方程与直线平行的直线系方程是()，0AxByC0AxBy0是参变量(4)垂直直线系方程：与直线(A0，B0)垂直的直线系方程0AxByC是,是参变量0BxAy83.点到直线的距离(点,直线：).0022|AxByCdAB00(,)P xyl0AxByC84.或所表示的平面区域0AxByC0设直线，则或所表示的平面区域是：:0l AxByC0AxByC0若，当与同号时，表示直线 的上方的区域；当与0B BAxByClB异号时，表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.AxByCl若，当与同号时，表示直线 的右方的区域；当与0B AAxByClA异号时，表示直线 的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.AxByCl85.或所表示的平面区域111222()()0AxB yCA xB yC0设曲线（），则111222:()()0CAxB yCA xB yC12120A A B B 或所表示的平面区域是：111222()()0AxB yCA xB yC0所表示的平面区域上下两部分；111222()()0AxB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分.111222()()0AxB yCA xB yC 86.圆的四种方程（1）圆的标准方程 .222()()xaybr（2）圆的一般方程 (0).220 xyDxEyF224DEF（3）圆的参数方程.cossinxarybr（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是1212()()()()0 xxxxyyyy、).11(,)A x y22(,)B xy87.圆系方程(1)过点,的圆系方程是11(,)A x y22(,)B xy1212112112()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx,其中是直线1212()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc0axbyc的方程,是待定的系数AB(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程l0AxByCC220 xyDxEyF是,是待定的系数22()0 xyDxEyFAxByC(3)过圆:与圆:的交1C221110 xyD xE yF2C222220 xyD xE yF点的圆系方程是,是待定的2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF系数88.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种00(,)P xy222)()(rbyax若，则2200()()daxby点在圆外;点在圆上;点在圆内.drPdrPdrP89.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:0CByAx222)()(rbyax;0交交rd;0交交rd.0交交rd其中.22BACBbAad90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21;交交交交交交421rrd;交交交交交交321rrd;交交交交交交22121rrdrr;交交交交交交121rrd.交交交交交交210rrd91.圆的切线方程(1)已知圆220 xyDxEyF若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是00(,)xy.0000()()022D xxE yyx xy yF当圆外时,表示过两个切点00(,)xy0000()()022D xxE yyx xy yF的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求 k，这时00()yyk xx必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为，再利用相切条件求 b，必有两条切线ykxb(2)已知圆222xyr过圆上的点的切线方程为;000(,)P xy200 x xy yr斜率为的圆的切线方程为.k21ykxrk92.椭圆的参数方程是.22221(0)xyababcossinxayb93.椭圆焦半径公式 22221(0)xyabab，.)(21caxePF)(22xcaePF94椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.00(,)P xy22221(0)xyabab2200221xyab（2）点在椭圆的外部.00(,)P xy22221(0)xyabab2200221xyab95.椭圆的切线方程(1)椭圆上一点处的切线方程是.22221(0)xyabab00(,)P xy00221x xy yab （2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是22221(0)xyabab00(,)P xy.00221x xy yab （3）椭圆与直线相切的条件是22221(0)xyabab0AxByC.22222A aB bc96.双曲线的焦半径公式22221(0,0)xyabab，.21|()|aPFe xc22|()|aPFexc97.双曲线的内外部(1)点在双曲线的内部.00(,)P xy22221(0,0)xyabab2200221xyab(2)点在双曲线的外部.00(,)P xy22221(0,0)xyabab2200221xyab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.12222byax22220 xyabxaby (2)若渐近线方程为双曲线可设为.xaby0byax2222byax (3)若双曲线