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课时素养评价 二十六
直线与直线平行
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列结论不正确的是 ( )
A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
【解析】选ACD.对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；
对于B，因为l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，
又因为l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥l3，B对；
对于C，例如三棱柱中的三条侧棱平行，但不共面，故C错；
对于D，例如三棱锥的三条侧棱共点，但不共面，故D错.
2.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条 ( )
A.相交 B.异面
C.相交或异面 D.平行
【解析】选C.举例说明：给出正方体模型，如图，
①直线AB与直线A1B1平行，且直线BC与直线A1B1异面，此时，直线BC与直线AB相交；
②直线AB与直线A1B1平行，且直线CC1与直线A1B1异面，此时，直线CC1与直线AB异面；
综上所述，一条直线与两条平行线中的一条异面，则它与另一条可能相交，也可能异面.
3.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC=∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是 ( )
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
【解析】选D.如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况.
4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则下列结论正确的是 ( )
A.直线GH和MN平行，GH和EF相交
B.直线GH和MN平行，MN和EF相交
C.直线GH和MN相交，MN和EF异面
D.直线GH和EF异面，MN和EF异面
【解析】选B.易知GH∥MN，又因为E，F，M，N分别为中点，由平面基本性质可知EF，DC，MN交于一点.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD=2，AC=4，则四边形EFGH的周长为________.
同理EF=GH=AC=2，所以四边形EFGH的周长为6.
答案：6
6.如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为________.
【解析】将正方体的表面展开图还原构造成正方体如图所示：
分别取AB，AA1的中点Q，P，
连接EP，FQ，PQ，A1B，
由正方体的结构特征可得EF∥PQ.
又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，
故PQ∥A1B，HG∥A1B，
故PQ∥HG.所以EF∥GH.
答案：平行
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点，且AE=C1F，求证：四边形EBFD1是平行四边形.
【证明】在DD1上取DM=AE=C1F，
连接CM，EM，
因为CF=D1M=CC1-C1F，CF∥D1M，
所以四边形CMD1F为平行四边形，
所以CM∥FD1，CM=FD1，
同理可证四边形ADME为平行四边形，
所以EM∥BC，EM=BC，
所以BCME为平行四边形，
所以BE∥CM，CM=BE，
所以BE∥FD1，BE=FD1，
所以四边形EBFD1是平行四边形.
8.(14分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)如图(1)所示，若E，F分别为BC，CC1的中点，求证：EF∥AD1.
(2)如图(2)所示，若F，H分别为CC1，A1A的中点，求证：BF∥HD1.
【证明】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图(1)所示，连接BC1，因为AB∥CD，AB=CD，
且CD∥C1D1，CD=C1D1，
所以AB∥C1D1，且AB=C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以AD1∥BC1；
又E，F分别为BC，CC1的中点，
所以EF∥BC1，所以EF∥AD1.
(2)如图(2)所示，
取BB1的中点E，连接HE，EC1，则HE∥A1B1，HE=A1B1，A1B1∥D1C1，A1B1=D1C1，
所以HE∥D1C1，HE=D1C1，
所以四边形HEC1D1是平行四边形，
所以HD1∥EC1；
又BE∥FC1，且BE=FC1=CC1，
所以四边形EBFC1是平行四边形，
所以BF∥EC1，所以BF∥HD1.
(15分钟·30分)
1.(4分)过直线l外两点可以作l的平行线条数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.0或1
【解析】选D.以如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1为例.令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A，B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B，C不能作直线与l平行.
2.(4分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1∩D1B1=O，E，F分别是B1O和C1O的中点，则在长方体各棱中与EF平行的有______条.
( )
A.0 B.1 C.2 D.4
【解析】选D.因为E，F分别是B1O与C1O的中点，所以EF∥B1C1，
又因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C1∥A1D1∥BC∥AD，
所以EF∥A1D1，EF∥BC，EF∥AD.
故在长方体的各棱中与EF平行的有4条.
3.(4分)如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是_______.
【解析】连接A1C1，因为AC∥A1C1，
所以AC∥平面A1B1C1D1，又因为AC⊂平面AB1C，平面AB1C∩平面A1B1C1D1=l，所以AC∥l.
答案：平行
4.(4分)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为________.
【解析】把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，
AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确.
答案：①③
5.(14分)如图，正方形ABED，直角梯形EFGD，直角梯形ADGC，AC∥DG∥EF.且DA=DE=DG，AC=EF，EF=DG.求证：BF∥CG.
【证明】取DG的中点M，连接AM，FM，
因为EF∥DG，EF=DG，
所以EF∥DM，EF=DM.
所以四边形EFMD为平行四边形，
所以FM∥ED，FM=ED.
因为四边形ABED为正方形，
所以AB∥FM，AB=FM.
所以四边形ABFM为平行四边形，
所以AM∥BF.
因为AC=EF=DG，MG=DG，AC∥DG，
所以四边形ACGM为平行四边形，
所以AM∥CG.
所以BF∥CG.
【加练·固】
如图所示，P是△ABC所在平面外一点，点D，E分别是△PAB，△PBC的重心.
求证：DE∥AC，DE=AC.
【证明】连接PD，PE并延长，分别交AB于点G，交BC于点H，则G，H分别是AB与BC的中点，
连接GH，则GH∥AC，且GH=AC.
在△PHG中，==，
所以DE∥GH，且DE=GH.
所以DE∥AC，DE=AC.
1.如图所示，已知三棱锥A-BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是 ( )
A.MN≥(AC+BD)
B.MN≤(AC+BD)
C.MN=(AC+BD)
D.MN<(AC+BD)
【解析】选D.如图所示，取BC的中点E，连接ME，NE，
则ME=AC，NE=BD，
所以ME+NE=(AC+BD).
在△MNE中，有ME+NE>MN，
所以MN<(AC+BD).
2.在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.
【证明】因为在梯形ABCD中，AB∥CD，
E，F分别为BC，AD的中点，
所以EF∥AB且EF=(AB+CD)，
又C′D′∥EF，EF∥AB，
所以C′D′∥AB.
因为G，H分别为AD′，BC′的中点，
所以GH∥AB且GH=(AB+C′D′)=(AB+CD)，所以GHEF，所以四边形EFGH为平行四边形.
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