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课时跟踪检测（七） 幂函数
A级——学考水平达标练
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x
C．y＝22x D．y＝x－1
解析：选C 显然C中y＝22x＝4x，不是y＝xα的形式，所以不是幂函数，而A、B、D中的α分别为，，－1，符合幂函数的结构特征，故选C.
2.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图像，则下列结论正确的是( )
A．n<m<0
B．m<n<0
C．n>m>0
D．m>n>0
解析：选A 由图像可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.当x＝2时，2m＞2n，所以n＜m＜0.
3．设a＝，b＝，c＝，则( )
A．a<b<c B．c<a<b
C．b<c<a D．b<a<c
解析：选D 构造幂函数y＝x (x∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a>b；构造指数函数y＝x，由该函数在定义域内单调递减，所以a<c，故c>a>b.
4．函数y＝x－1的图像关于x轴对称的图像大致是( )
解析：选B y＝x的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y＝x－1的图像可看作由y＝x的图像向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图像关于x轴对称后即为选项B.
5．下列不等式在a＜b＜0的条件下不能成立的是( )
A．a－1＞b－1 B．a＜b
C．b2＜a2 D．a－＞b－
解析：选D 分别构造函数y＝x－1，y＝x，y＝x2，y＝x，其中函数y＝x－1，y＝x2在(－∞，0)上为减函数，故A、C成立．而y＝x，y＝x为(－∞，0)上的增函数，从而B成立，D不成立．
6．函数y＝x在区间[4,64]上的最大值为________．
解析：因为y＝x在[4,64]上是减函数，所以y＝x在区间[4,64]上的最大值为.
答案：
7．若y＝axa2是幂函数，则该函数的值域是________．
解析：由已知y＝axa2是幂函数，得a＝1，所以y＝x，所以y≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
8．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图像不过原点，则m的取值是____________．
解析：由题意知，m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，故m＝1或m＝2.经检验m＝1或m＝2均符合题意，即m＝1或2.
答案：1或2
9．已知点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点在幂函数g(x)的图像上．问当x为何值时：
(1)f(x)＞g(x)?
(2)f(x)＝g(x)?
(3)f(x)＜g(x)?
解：设f(x)＝xα，由题意，得()α＝2⇒α＝2.
∴f(x)＝x2.
同理可求，g(x)＝x－2.在同一坐标系内作出y＝f(x)与y＝g(x)的图像，如图．
由图像可知，
(1)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1＜x＜0或0＜x＜1时，f(x)＜g(x)．
10．比较下列各组数的大小．
(1)3和3.2；
(2)和；
(3)4.1和3.8.
解：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3＞3.2.
(2)＝，＝，
函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而＞，
所以＞.
(3)4.1＞1＝1,0＜3.8－＜1＝1，
所以4.1＞3.8.
B级——高考水平高分练
1．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5＜0，即m＜.又m∈N，∴m＝0,1.∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数；当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数．∴m＝1.
2．若(a＋1) ＜(3－2a) ，则a的取值范围是________．
解析：函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，
所以解得－1＜a＜.
答案：
3．为了保证信息的安全传输须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是什么？
解：由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝，则y＝x.由x＝3，得x＝9.
即解密后得到的明文是9.
4．已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．
解：(1)依题意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝x2.
当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)单调递增，
∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]．
∵A∪B＝A，∴B⊆A，
∴⇒0≤k≤1.
∴实数k的取值范围是[0,1]．
5．已知幂函数f(x)＝x2－k(k∈N*)，满足f(2)＜f(3)．
(1)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．
(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0,1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)对于幂函数f(x)＝x2－k(k∈N*)，满足f(2)＜f(3)，
因此2－k＞0，解得k＜2.
因为k∈N*，所以k＝1，f(x)＝x.
(2)g(x)＝1＋(m－1)x，
当m＞1时，函数g(x)为增函数，
故最大值为g(1)＝m＝5.
当0＜m＜1时，函数g(x)为减函数，
故最大值为g(0)＝1≠5，不成立．
当m＝1时，g(x)＝1，不合题意．
综上所述，m＝5.
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