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课时素养评价 二十七
零点的存在性及其近似值的求法
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点即为(x2-1)(x+1)=0的根，显然方程的根有-1，1，因此函数f(x)有两个零点.
2.若函数f(x)在区间(0，2)内有零点，则 ( )
A.f(0)>0，f(2)<0
B.f(0)·f(2)<0
C.在区间(0，2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)<0
D.以上说法都不正确
【解析】选D.函数y=f(x)在区间(a，b)内存在零点，我们并不一定能找到x1，x2∈(a，b)，满足f(x1)·f(x2)<0，故A，B，C都是错误的.
3.已知f(x)的一个零点x0∈(2，3)，用二分法求精度为0.01的x0的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选A.函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过6次分割后区间的长度变为<0.02.
4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260
f(1.437 5)=0.162
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精度为0.05)可以是 ( )
A.1.375 B.1.25
C.1.437 5 D.1.406 25
【解析】选D.由表格可得，函数f(x)=x3+x2-2x-2的零点在(1.375，1.437 5)之间；结合选项可知，方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精度为0.05)可以是1.40625.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.函数f(x)=x2-2x+a有两个不同零点，则实数a的取值范围是________.
【解析】由题意可知，方程x2-2x+a=0有两个不同的解，故Δ=4-4a>0，即a<1.
答案：(-∞，1)
6.求方程x3-3x-1=0在区间(1，2)内的实根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是________.
【解析】设函数f(x)=x3-3x-1，
则因为f(1)=-3<0，f(2)=1>0，f(1.5)=-<0，所以下一个有根区间是(1.5，2).
答案：(1.5，2)
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数f(x)=x2-x-2a.
(1)若a=1，求函数f(x)的零点.
(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时，f(x)=x2-x-2.
令f(x)=x2-x-2=0得x=-1或x=2.
即函数f(x)的零点为-1与2.
(2)要使f(x)有零点，则Δ=1+8a≥0，
解得a≥-.所以a的取值范围是a≥-.
8.(14分)已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1.
(1)求证：f(x)在区间(1，2)上存在零点.
(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精度0.1).
f(1)=-1
f(1.5)=1
f(1.25)
=-0.406 25
f(1.375)
=0.183 59
f(1.312 5)
=-0.138 18
f(1.343 75)
=0.015 81
【解析】(1)因为f(x)=2x3-x2-3x+1，
所以f(1)=-1<0，f(2)=7>0，
所以f(1)·f(2)=-7<0，
因此∃x0∈(1，2)，f(x0)=0，
且f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)内连续，
所以f(x)在区间(1，2)上存在零点.
(2)由(1)知，f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)内存在零点，
由表知，f(1)=-1，f(1.5)=1，
所以f(1)·f(1.5)<0，所以f(x)的零点在(1，1.5)上，
因为f(1.25)=-0.406 25，
所以f(1.25)·f(1.5)<0，
所以f(x)的零点在(1.25，1.5)上，
因为f(1.375)=0.183 59，
所以f(1.25)·f(1.375)<0，
所以f(x)的零点在(1.25，1.375)上，
因为1.375-1.25=0.125<0.2，故f(x)=0的一个近似解为=1.3125.
(15分钟·30分)
1.(4分)(多选题)若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法错误的是 ( )
A.若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0
B.若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)=0
C.若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0
D.若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0
【解析】选A，B，D.根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则∃c∈(a，b)，f(c)=0，但c的个数不确定，故B、D错.若f(a)·f(b)>0，有可能∃c∈(a，b)，f(c)=0，如f(x)=x2-1，f(-2)·f(2)>0，但f(x)=x2-1在(-2，2)内有两个零点，故A错，C正确.
2.(4分)“a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的 ( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.非充分必要条件
【解析】选B.a=-1⇒a=-1或a=0⇔f(x)=ax2+2x-1只有一个零点.
3.(4分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，-2是它的一个零点，且在(0，+∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________.
【解析】因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)=0，
又因为f(x)在(0，+∞)上是增函数，
由奇函数的对称性可知，f(x)在(-∞，0)上也单调递增，
由f(2)=-f(-2)=0.因此在(0，+∞)，(-∞，0)上都只有一个零点，
综上，f(x)在R上共有3个零点，其和为-2+0+2=0.
答案：3 0
4.(4分)一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图所示)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次.
【解析】第1次取中点把焊接点数减半为=32(个)，第2次取中点把焊接点数减半为=16(个)，
第3次取中点把焊接点数减半为=8(个)，
第4次取中点把焊接点数减半为=4(个)，
第5次取中点把焊接点数减半为=2(个)，
第6次取中点把焊接点数减半为=1(个)，所以至多需要检测的次数是6.
答案：6
【加练·固】
函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________，函数的零点是________.(用a表示)
【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)=x2+ax+b的图像与x轴相切，
所以Δ=a2-4b=0，所以a2=4b；
则令f(x)=x2+ax+=0，
解得x=-.
答案：a2=4b -
5.(14分)已知函数f(x)=x2-2x-3，x∈[-1，4].
(1)画出函数y=f(x)的图像，并写出其值域.
(2)当m为何值时，函数g(x)=f(x)+m在[-1，4]上有两个零点？
【解析】(1)依题意：f(x)=(x-1)2-4，x∈[-1，4]，其图像如图所示.
由图可知，函数f(x)的值域为[-4，5].
(2)因为函数g(x)=f(x)+m在[-1，4]上有两个零点.所以方程f(x)=-m在x∈[-1，4]上有两个相异的实数根，即函数y=f(x)与y=-m的图像有两个交点.由(1)所作图像可知-4<-m≤0，所以0≤m<4.所以当0≤m<4时，函数y=f(x)与y=-m的图像有两个交点，故当0≤m<4时函数g(x)=f(x)+m在[-1，4]上有两个零点.
1.已知函数f(x)是奇函数，且满足f(2-x)=f(x)(x∈R)，当0<x≤1时，f(x)=-，则函数f(x)在(-2，2]上零点的个数是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选B.方法一：由-=0，
解得x=，
所以f=0.因为f(2-x)=f(x)，
所以f=f=f=0.
因为f(x)是奇函数，所以f=-f=0，f=-f=0，f(0)=0，f(2)=f(0)=0，所以f(x)在(-2，2]上的零点为-，-，0，，，2，共6个.
方法二：依题意，作出函数f(x)的图像，如图所示.
由图像可知，f(x)的图像在(-2，2]内与x轴的交点有6个.
所以f(x)在(-2，2]上的零点有6个.
2.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，+∞)时，f(x)=x2-2x.
(1)写出函数y=f(x)的解析式.
(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求a的取值范围.
【解析】(1)当x∈(-∞，0)时，-x∈(0，+∞)，
因为y=f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x，
所以f(x)=
(2)当x∈[0，+∞)时，f(x)=x2-2x=(x-1)2-1，最小值为-1；所以当x∈
(-∞，0)时，f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2，最大值为1.
所以据此可作出函数y=f(x)的图像，如图所示，
根据图像得，若方程f(x)=a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(-1，1).
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