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课时24 统计与概率的应用
知识点一 统计在实际中的应用Error! No bookmark name given.
1.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．
答案 50 1015
解析 第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.
2．甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由．
解 派甲参赛比较合适．理由如下：
甲＝×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，
乙＝×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，
s＝×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，
s＝×[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.
因为甲＝乙，s<s，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
(或派乙参赛比较合适．理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上(含85分)的频率为f1＝，乙获得85分以上(含85分)的频率为f2＝＝.因为f2>f1，所以派乙参赛比较合适．)
知识点二 概率在实际中的应用Error! No bookmark name given.
3.某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一名学生摸球，另一名学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是________；
(2)请你估计袋中红球接近________个．
答案 (1) (2)15
解析 (1)∵20×400＝8000，
∴摸到红球的频率为＝，
∵试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，
∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是.
(2)设袋中红球有x个，根据题意得＝，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．
∴估计袋中红球接近15个．
4．已知某音响设备由A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道五个部件组成，其中每个部件工作的概率如图所示，当且仅当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作时能听到声音；且若D和E同时工作则有立体声效果．
(1)求能听到立体声效果的概率；
(2)求听不到声音的概率．
解 (1)能听到立体声效果的概率P1＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×0.94×0.94＝0.8352229.
(2)能听到声音的概率P2＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×[1－(1－0.94)2]＝0.9418471，
从而所求概率为1－P2＝1－0.9418471＝0.0581529.
5．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成三份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成四份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜；否则乙获胜．你认为这个游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方都公平？
解 列表如下：
BA
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
3
6
7
8
9
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．
因为P(和为6)＝＝，即甲、乙获胜的概率不相等，
所以这个游戏规则不公平．
规则改为：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和小于等于6，那么甲获胜；否则乙获胜．此时游戏对双方都公平．
知识点三 统计与概率的综合应用Error! No bookmark name given.
6.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)求该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．
解 (1)样本中男生人数为2＋5＋14＋13＋4＋2＝40，由分层抽样比例为10%知全校男生人数为＝400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，
所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝＝0.5.
故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率是0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④；样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图如图所示．
故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，且每种可能性相等，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此所求的概率是＝.
易错点 不能将实际问题转化为统计与概率问题求解致误Error! No bookmark name given.
7.在调查运动员服用兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面向上，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．
如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，试估计这群人中服用过兴奋剂的百分率．
易错分析 本题的易错之处是不能准确地将“80个‘是’”“一分为二”，得不出“5个回答‘是’的人服用过兴奋剂”这一结论，从而无法求解．
正解 因为掷硬币出现正面向上的概率为，我们期望大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的．在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，其中5个回答“是”的人服用过兴奋剂，因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂．
一、选择题
1．某校高二(1)班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是和，且两人是否进球相互没有影响．现甲、乙各投篮一次，恰有一人进球的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 有甲进球乙不进球、甲不进球乙进球两种情况，概率为P＝×＋×＝.
2．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( )
A．36人 B．30人 C．24人 D．18人
答案 A
解析 设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x，x,3x，由题意得3x－x＝12，x＝6，所以持“喜欢”态度的有6x＝36人．
3．在如图所示的一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与25%分位数之和为56，则被污染的数字为( )
A.2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 由图可知，该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的25%分位数为56－28＝28，该组数据有12个，12×25%＝3，设被污染的数字为x，则＝28，得x＝5.故选D.
4．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 假设有甲、乙、丙、丁、戊五个人按顺序围成一桌，五个人同时抛出自己的硬币，基本事件总数为2×2×2×2×2＝32.若五个人都坐着，有1种情况；若四个人坐着，一个人站着，有5种情况；若三个人坐着，不相邻的两个人站着，有甲丙、甲丁、乙丁、乙戊、丙戊5种情况，故没有相邻的两个人站起来所包含的基本事件共有1＋5＋5＝11个，故所求的概率为.选C.
5．某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是( )
A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25
B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24
C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80
D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8
答案 C
解析 第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋x，则x×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴x＝1.25，∴中位数为26.25，故A错误；第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5.∴众数为27.5，故B错误；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，∴超过30次的人数为400×0.2＝80，故C正确；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×0.1＝40，故D错误．故选C.
6．有三个游戏规则如下，袋子中分别装有形状、大小相同的球，从袋中无放回地取球．
游戏1
游戏2
游戏3
袋中装有3个黑球和2个白球
袋中装有2个黑球和2个白球
袋中装有3个黑球和1个白球
从袋中取出2个球
从袋中取出2个球
从袋中取出2个球
若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球不同色，则乙胜
若取出的两个球不同色，则乙胜
若取出的两个球不同色，则乙胜
其中不公平的游戏是( )
A．游戏2 B．游戏3
C．游戏1和游戏2 D．游戏1和游戏3
答案 C
解析 对于游戏1，取出两球同色的概率为，取出两球不同色的概率为，不公平；
对于游戏2，取出两球同色的概率为，取出两球不同色的概率为，不公平；
对于游戏3，取出两球同色即全是黑球，概率为，取出两球不同色的概率为，公平．故选C.
二、填空题
7．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.
答案 0.97 0.03
解析 断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.
8．一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议(“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．
答案 6912
解析 在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－＝，所以可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9600×＝6912(人)．
9．如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下，从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，则他们在同一分数段的概率是________．
答案
解析 记“选出的2人在同一分数段”为事件E,80～90分之间有40×0.1＝4人，设为a，b，c，d；90～100分之间有40×0.05＝2人，设为A，B.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15个基本事件，且这15个基本事件发生的可能性是相等的，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7个基本事件，则P(E)＝.
三、解答题
10．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
解 设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，
从保护区中任捕一只，设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P(A)＝，①
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)＝，②
由①②两式，得＝，解得n＝1500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500只．
11．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，请讨论A与B的独立性．
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
解 (1)有两个小孩的家庭，小孩性别的所有可能情况为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，样本点个数为4，由等可能性知每个样本点发生的概率均为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
显然P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩性别的所有可能情况为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，样本点个数为8，由等可能性知每个样本点发生的概率均为.
这时A中含有6个样本点，B中含有4个样本点，AB中含有3个样本点．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.
显然P(AB)＝P(A)P(B)成立，
所以事件A与B是相互独立的．
12．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示．
(1)请填写下表(写出计算过程)：
平均数
方差
命中9环及9环以上的次数
甲
乙
(2)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；
③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．
解 由题图，知
甲射击10次中靶环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
将它们由小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.
乙射击10次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
将它们由小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.
(1)甲＝×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7，
乙＝×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7，
s＝×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，
s＝×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]
＝×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.
填表如下：
平均数
方差
命中9环及9环以上的次数
甲
7
1.2
1
乙
7
5.4
3
(2)①∵平均数相同，s<s，
∴甲成绩比乙稳定．
②∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，
∴乙成绩比甲好些．
③∵甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，
∴乙更有潜力．
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