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课时素养评价 三
指数函数的性质与图像的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)关于函数f=的说法中,正确的是 ( )
A.偶函数
B.奇函数
C.在上是增函数
D.在上是减函数
【解析】选B、C.f==-=-f,
所以函数f为奇函数;当x增大时,ex-e-x增大,故f增大,故函数f为增函数.
2.若a>1,则函数y=ax与y=(1-a)x2的图像可能是下列四个选项中的 ( )
【解析】选C.因为a>1,所以函数y=ax在R上单调递增,可排除选项B与D.y=(1-a)x2是开口向下的二次函数,可排除选项A.
【加练·固】
已知函数f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),则函数y=f(x)的图像是 ( )
【解析】选A.因为f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),
所以f(x)在(0,2)内单调递减.所以0<a<1.
3.函数y=的单调递增区间是 ( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[1,2] D.[1,3]
【解析】选A.令u=-3+4x-x2,y=3u为增函数,所以y=的增区间就是u=-3+4x-x2的增区间(-∞,2].
4.若函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是
( )
A.f(-4)>f(1) B.f(-4)=f(1)
C.f(-4)<f(1) D.不能确定
【解析】选A.因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),所以a>1.
由函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图像关于直线x=-1对称,可得函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数.再由f(1)=f(-3),可得f(-4)>f(1).
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.(2019·马鞍山高一检测)若函数y=ax-m+n-3(a>0且a≠1)的图像恒过定点(3,2),则m+n=________.
【解析】因为对于函数y=ax-m+n-3(a>0且a≠1)的图像恒过定点,令x-m=0,可得x=m,y=n-2,可得函数的图像经过定点(m,n-2).再根据函数的图像恒过定点(3,2),所以m=3,n-2=2,解得m=3,n=4,则m+n=7.
答案:7
6.若函数y=在区间(-∞,3)上单调递增,则实数a的取值范围是________. 若在区间上不单调,则实数a的取值范围是________.
【解析】y=在(-∞,3)上递增,即二次函数y=-x2+ax-1在(-∞,3)上递增,因此需要对称轴x=≥3,解得a≥6.
若函数在上不单调,则-1≤≤1,
解得-2≤a≤2.
答案:a≥6 -2≤a≤2
三、解答题(共26分)
7.(12分)函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调增区间.
(2)x∈[-1,2]时,求f(x)的值域.
【解析】(1)令t=x2-2x,则f(x)=h(t)=,
因为h(t)=在定义域内单调递减,
t=x2-2x在(-∞,1]单调递减,在[1,+∞)单调递增,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1].
(2)由t=x2-2x,则f(x)=h(t)=
因为-1≤x≤2,所以t∈[-1,3],
所以f(x)∈.
8.(14分)设函数f(x)=,a是不为零的常数.
(1)若f(3)=,求使f(x)≥4的x值的取值范围.
(2)当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值是16,求a的值.
【解析】(1)由f(3)=,即=,
所以10-3a=1,解得a=3.由f(x)=≥4=,即10-3x≤-2,解得x≥4.
(2)当a>0时,函数f(x)=在x∈[-1,2]时为增函数,则x=2时,函数取最大值=16,
即10-2a=-4,解得a=7,
当a<0时,函数f(x)=在x∈[-1,2]时为减函数,
则x=-1时,函数取最大值=16,
即10+a=-4,解得a=-14,
综上可得:a=7或a=-14.
(15分钟·30分)
1.(4分)(2019·醴陵高一检测)当a>0且a≠1时,函数f (x)=a x-2-3必过定点
( )
A.(0,-3) B.(2,-2)
C.(2,-3) D.(0,1)
【解析】选B.因为a0=1,故f(2)=-2,
所以函数f (x)=ax-2-3必过定点(2,-2).
2.(4分)(2019·昆明高一检测)已知函数f(x)=若f(a-1)≥f(-a),则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.当x≤0时,f(x)=e-x是减函数,且f(x)≥1,当x>0时,f(x)=-x2-2x+1的对称轴为x=-1,抛物线开口向下,
此时f(x)在(0,+∞)上是减函数且f(x)<1,
综上f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,
若f(a-1)≥f(-a),则a-1≤-a,即a≤,
则实数a的取值范围是.
3.(4分)(2019·惠州高一检测)设函数f(x)=则f=________,若f(x0)>1,则x0的取值范围是________.
【解析】f=24-1=15;
由题意得或
由
得x0<0,由得x0>1,
综上所述,x0的范围是(-∞,0)∪(1,+∞).
答案:15 (-∞,0)∪(1,+∞)
4.(4分)若函数y=0.5|1-x|+m的图像与x轴有公共点,则m的取值范围是________.
【解析】因为函数y=0.5|1-x|+m的图像与x轴有公共点,所以就是求函数m=-0.5|1-x|的值域问题.
所以m=-0.5|1-x|的值域为[-1,0).
故实数m的取值范围是[-1,0).
答案:[-1,0)
5.(14分)已知函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,记f(x)=.
(1)求a的值.
(2)证明f(x)+f(1-x)=1.
【解析】(1)因为函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,
而函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上单调递增或单调递减,所以a+a2=20,得a=4,或a=-5(舍去),所以a=4.
(2)因为f(x)=,
所以f(x)+f(1-x)=+
=+=+=+=1.
1.(2019·济南高一检测)若ea+πb≥e-b+π-a,则有 ( )
A.a+b≤0 B.a-b≥0
C.a-b≤0 D.a+b≥0
【解析】选D.方法一:取特殊值排除,当a=0,b=1时,1+π≥+1,成立,排除A,B.当a=1,b=0,e+1≥1+成立,排除C.
方法二:构造函数利用单调性:令f(x)=ex-π-x,则f(x)是增函数,因为ea-π-a ≥e-b-πb,所以f(a)≥f(-b),即a+b≥0.
2.定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a+.
(1)当a=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由.
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的最大值.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=1++.令t=,由x<0 可得t>1,
f(x)=h(t)=t2+t+1=+,
因为h(t)在(1,+∞)上单调递增,故f(t)>f(1)=3,故不存在常数M>0,使|f(x)|≤M恒成立,
故函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数.
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,则当x≥0时,|f(x)|≤3恒成立.
故有-3≤f(x)≤3,
即-4-≤a≤2-,
所以≤a≤.
所以a的最大值为函数y=2·2x-的最小值,
因为函数y=2·2x-在[0,+∞)上是增函数,
所以ymin=2×20-=2-1=1,故a的最大值为1.
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