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一次函数图像应用题(路程类)

二．解答题（共18小题）
1.小聪在学习时看到一则材料：甲、乙两人去某风景区游玩，约好在飞瀑见面，早上，甲乘景区巴士从古刹出发，沿景区公路（如图1）去飞瀑；同时，乙骑电动自行车从塔林出发，沿景区公路去飞瀑．设两人行驶的时间为t（小时），两人之间相距的路程为s（千米），s与t之间的函数关系如图2所示，小聪观察、思考后发现了图2的部分正确信息：①两人出发1小时后第一次相遇；②线段CD表示甲到达飞瀑后，乙正在赶往飞瀑途中时s随t的变化情况，…，请你应用相关知识，与小聪一起解决下列问题
（1）求乙骑电动自行车的速度；
（2）当甲、乙两人第一次相遇时，他们离飞瀑还有多少千米？
（3）在行驶途中，当甲、乙两人之间相距的路程不超过1千米时，求t的取值范围．
【解答】解：（1）由CD段可知，乙骑电动自行车的速度==20千米/小时．

（2）第一次相遇在B点，离飞瀑的距离为20×0.75=15千米．

（3）设甲的速度为x千米/小时，由BC段可知，0.5（x﹣20）=5，
∴x=30，
∴A（0，30），B（1，0），C（1.5，5），D（1.75，0），
∴直线AB的解析式为y=﹣30x+30，直线BC的解析式为y=10x﹣10，直线CD的解析式为y=﹣20x+35，
当y=1时，x的值分别为h，h，h，
∴当甲、乙两人之间相距的路程不超过1千米时，t的取值范围为≤t≤或≤t≤1.75．

2．甲、乙两人分别开汽车和摩托车从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，乙出发半小时后甲出发，设乙行驶的时间t（h），甲、乙两人之间的距离为y（km），y与t之间关系的图象如图所示．
（1）分别指出点E，F所表示的实际意义；
（2）分别求出线段DE，FG所在直线的函数表达式；
（3）分别求甲、乙两人行驶的速度．

【解答】解：（1）点E表示的实际意义是甲、乙两人在乙出发2小时时相遇，此时两人之间的距离为0，F所表示的实际意义乙出发5小时时甲到达B地，此时两人之间的距离为60km；
（2）设直线DE的函数表达式为y=kx+b，
把（0.5，30），（2，0）代入得，
解得：，
则直线DE的函数表达式为y=﹣20x+40，
设直线FG的函数表达式为y1=k1x+b1，把（5，60），（6，0）代入得，
解得，∴直线FG的函数表达式为y1=﹣60x+360；
（3）设甲的速度为v甲km/h，甲的速度为v乙km/h，
根据图象得，解得：，
答：甲行驶的速度是80km/h，乙行驶的速度是60km/h．

3．小王骑车从甲地到乙地，小季骑车从乙地到甲地，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进，小王的速度小于小李的速度，在出发2h时，两人相距36km，在出发4h时，两人又相距36km，设小王骑行的时间为x（h），两人之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．
（1）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式；
（2）求甲、乙两地之间的距离．

【解答】解：（1）∵出发2h时，两人相距36km，在出发4h时，两人又相距36km，
∴B（3，0），
设线段AB所表示的y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，
根据题意，得：，
解得：．
所以解析式为：y=﹣36x+108；
（2）把x=0代入解析式，可得y=108，
所以甲、乙两地的距离为108千米．

4．甲从M地骑摩托车匀速前往N地，同时乙从N地沿同一条公路骑自行车匀速前往M地，甲到达N地后，原路原速返回，追上乙后返回到M地．设甲、乙与N地的距离分别为y1、y2千米，甲与乙之间的距离为s千米，设乙行走的时间为x小时．y1、y2与x之间的函数图象如图1．
（1）分别求出y1、y2与x的函数表达式；
（2）求s与x的函数表达式，并在图2中画出函数图象；
（3）当两人之间的距离不超过5千米时，能够用无线对讲机保持联系．并且规定：持续联系时间不少于15分钟为有效联系时间．求当两人用无线对讲机保持有效联系时，x的取值范围．

【解答】解：（1）由图1知摩托车的速度为：=45（千米/小时），自行车的速度 =15（千米/小时），
∴点B的坐标为（2，0），点D 的坐标为（4，90），
当0≤x≤2时，y1=90﹣45x，
当2≤x≤4时，y1=45x﹣90，
y2=15x，
（2）甲和乙在A点第一次相遇，时间t1==1.5小时，
甲和乙在C点第二次相遇，时间t2==3小时，．
当0≤x≤1.5时，s=y1﹣y2=﹣45x+90﹣15x=﹣60x+90，
∴x=1.5时，s=0，
当1.5≤x≤2时，s=y2﹣y1=15x﹣（﹣45x+90）=60x﹣90，
∴x=2时，s=30，
当2≤x≤3时，s=y2﹣y1=15x﹣（45x﹣90）=﹣30x+90，
∴x=3时，s=0，
当3时，s=y1﹣y2=45x﹣90﹣15x=30x﹣90，
∴x=4时，s=30，
当4≤x≤6时，s=90﹣y2=90﹣15x，
∴x=6时，s=0，
故描出相应的点就可以补全图象． 如图所示，

（3）∵0≤x≤1.5，s=﹣60x+90，s=5时，x=，
1.5≤x≤2，s=﹣60x﹣90，s=5时，x=，
2≤x≤3，s=﹣30x+90，s=5时，x=，
3≤x≤4，s=30x﹣90，s=5时，x=，
4≤x≤6，s=﹣1.5x+90，s=5时，x=，
∴由图象知当两人距离不超过5千米时x的取值范围为：
≤x≤，≤x≤，≤x≤6，
60×（﹣）=10分钟，60×（﹣）=20分钟，60×（6﹣）=20分钟．
∴当两人能够用无线对讲机保持有效联系时x的取值范围为：
≤x≤，≤x≤6．

5．在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）写出A、B两地之间的距离；
（2）请问甲乙两人何时相遇；
（3）求出在9﹣18小时之间甲乙两人相距s与时间x的函数表达式．

【解答】解：（1）由题意的AB两地相距360米；

（2）由图得，V甲=360÷18=20km/h，V乙=360÷9=40km/h，
则t=360÷（20+40）=6h；

（3）在9﹣18小时之间，甲乙两人分别与A的距离为S甲=20x，S乙=40（x﹣9）=40x﹣360，
则s=S甲﹣S乙=360﹣20x．

6．某森林公园从正门到侧门有一条公路供游客运动，甲徒步从正门出发匀速走向侧门，出发一段时间开始休息，休息了0.6小时后仍按原速继续行走．乙与甲同时出发，骑自行车从侧门匀速前往正门，到达正门后休息0.2小时，然后按原路原速匀速返回侧门．图中折线分别表示甲、乙到侧门的路程y（km）与甲出发时间x（h）之间的函数关系图象．根据图象信息解答下列问题．
（1）求甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式．
（2）求甲、乙第一次相遇的时间．
（3）直接写出乙回到侧门时，甲到侧门的路程．

【解答】解：（1）设甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式为：y=kx+b，
∵点（0，15）和点（1，10）在此函数的图象上，
∴，
解得k=﹣5，b=15．
∴y=﹣5x+15．
即甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式为：y=﹣5x+15．
（2）设乙骑自行车从侧门匀速前往正门对应的函数关系式y=kx，
将（1，15）代入可得k=15，
∴乙骑自行车从侧门匀速前往正门对应的函数关系式y=15x，
∴
解得x=0.75．
即第一次相遇时间为0.75h．
（3）乙回到侧门时，甲到侧门的路程是7km．
设甲休息了0.6小时后仍按原速继续行走对应的函数解析式为：y=kx+b．
将x=1.2代入y=﹣5x+15得，y=9．
∵点（1.8，9），（3.6，0）在y=kx+b上，
∴，
解得k=﹣5，b=18．
∴y=﹣5x+18．
将x=2.2代入y=﹣5x+18，得y=7．
即乙回到侧门时，甲到侧门的路程是7km．

7．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设一辆车先出发xh后，另一辆车也开始行驶，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题：
（1）慢车的速度为　　km/h，快车的速度为　　km/h；
（2）求线段CD的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求当x为多少时，两车之间的距离为300km．

【解答】解：（1）（480﹣440）÷0.5=80km/h，
440÷（2.7﹣0.5）﹣80=120km/h，
所以，慢车速度为80km/h，
快车速度为120km/h；
故答案为：80，120；
（2）快车到达乙地（出发了4小时快车慢车相距360KM时甲车到达乙地）；
∵快车走完全程所需时间为480÷120=4（h），
∴点D的横坐标为4.5，
纵坐标为（80+120）×（4.5﹣2.7）=360，
即点D（4.5，360）；
设CD的直线的解析式为：y=kx+b，
可得：，
解得：，
解析式为y=200x﹣540（2.7≤x≤4.5）；
（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为300km．
即相遇前：（80+120）×（x﹣0.5）=440﹣300，
解得x=1.2（h），
相遇后：（80+120）×（x﹣2.7）=300，
解得x=4.2（h），
故x=1.2 h或4.2 h，两车之间的距离为300km．

8．已知A、B两地相距40km，甲、乙两人沿同一公路从A地出发到B地，甲骑摩托车，乙骑自行车，图中CD、OE分别表示甲、乙离开A地的路程y（km）与时间x（h）的函数关系的图象，结合图象解答下列问题．
（1）甲比乙晚出发　　小时，乙的速度是　　km/h；
（2）在甲出发后几小时，两人相遇？
（3）甲到达B地后，原地休息0.5小时，从B地以原来的速度和路线返回A地，求甲在返回过程中与乙相距10km时，对应x的值．

【解答】解：（1）由图象可得，
甲比乙晚出发1小时，乙的速度是：20÷2=10km/h，
故答案为：1，10；
（2）设甲出发x小时，两人相遇，
[40÷（2﹣1）]x=10（x+1），
解得，x=，
即在甲出发小时后，两人相遇；
（3）设OE所在直线的解析式为y=kx，
20=2k，得k=10，
∴OE所在直线的解析式为y=10x；
设甲车在返回时对应的函数解析式为y=ax+b，
则，得，
即甲车在返回时对应的函数解析式为y=﹣40x+140，
∴|﹣40x+140﹣10x|=10，
解得，，x2=3，
即甲在返回过程中与乙相距10km时，对应x的值是或3．

9．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途经C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是　　千米/时，t=　　小时；
（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．

【解答】解：（1）根据图示，可得
乙车的速度是60千米/时，
甲车的速度是：
（360×2）÷（480÷60﹣1﹣1）
=720÷6
=120（千米/小时）
∴t=360÷120=3（小时）．

（2）①当0≤x≤3时，设y=k1x，
把（3，360）代入，可得
3k1=360，
解得k1=120，
∴y=120x（0≤x≤3）．
②当3＜x≤4时，y=360．
③4＜x≤7时，设y=k2x+b，
把（4，360）和（7，0）代入，可得

解得
∴y=﹣120x+840（4＜x≤7）．

（3）①（480﹣60﹣120）÷（120+60）+1
=300÷180+1
=
=（小时）
②当甲车停留在C地时，
（480﹣360+120）÷60
=240÷60
=4（小时）
③两车都朝A地行驶时，
设乙车出发x小时后两车相距120千米，
则60x﹣[120（x﹣1）﹣360]=120，
所以480﹣60x=120，
所以60x=360，
解得x=6．
综上，可得
乙车出发后两车相距120千米．
故答案为：60、3．

10．甲船从A港出发顺流匀速驶向B港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B港．乙船从B港出发逆流匀速驶向A港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A港的距离y1、y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）写出乙船在逆流中行驶的速度；
（2）求甲船在逆流中行驶的路程；
（3）求甲船到A港的距离y1与行驶时间x之间的函数关系式；
（4）求救生圈落入水中时，甲船到A港的距离．

【解答】解：（1）乙船在逆流中行驶的速度为6km/h．（2分）

（2）甲船在逆流中行驶的路程为6×（2.5﹣2）=3（km）．（4分）

（3）方法一：
设甲船顺流的速度为akm/h，
由图象得2a﹣3+（3.5﹣2.5）a=24，
解得a=9．（5分）
当0≤x≤2时，y1=9x，
当2≤x≤2.5时，设y1=﹣6x+b1，
把x=2，y1=18代入，得b1=30，
∴y1=﹣6x+30，
当2.5≤x≤3.5时，设y1=9x+b2，
把x=3.5，y1=24代入，得b2=﹣7.5，
∴y1=9x﹣7.5．（8分）
方法二：
设甲船顺流的速度为akm/h，
由图象得2a﹣3+（3.5﹣2.5）a=24，
解得a=9，（5分）
当0≤x≤2时，y1=9x，
令x=2，则y1=18，
当2≤x≤2.5时，y1=18﹣6（x﹣2），
即y1=﹣6x+30，
令x=2.5，则y1=15，
当2.5≤x≤3.5时，y1=15+9（x﹣2.5），
y1=9x﹣7.5．（8分）

（4）水流速度为（9﹣6）÷2=1.5（km/h），
设甲船从A港航行x小时救生圈掉落水中．
根据题意，得9（2﹣x）=1.5（2.5﹣x）+3，
解得x=1.5，
1.5×9=13.5，
即救生圈落水时甲船到A港的距离为13.5km．（10分）
参考公式：
船顺流航行的速度=船在静水中航行的速度+水流速度，船逆流航行的速度=船在静水中航行的速度﹣水流速度．

10.一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲、乙两车同时从B地出发，匀速驶往C地．乙车直接驶往C地，甲车先到A地取一物件后立即调转方向追赶乙车（甲车取物件的时间忽略不计）．已知两车间距离y（km）与甲车行驶时间x（h）的关系图象如图1所示．
（1）求两车的速度分别是多少？
（2）填空：A、C两地的距离是：　　，图中的t=　　
（3）在图2中，画出两车离B地距离y（km）与各自行驶时间x（h）的关系图象，并求两车与B地距离相等时行驶的时间．

【解答】解：（1）由直线1可得，出v甲+v乙=150①；由直线2得，v甲﹣v乙=30②，
结合①②可得：v甲=90km/小时，v乙=60km/小时；

（2）由直线1、2得，乙运用3.5小时候到达C地，
故B、C之间的距离为：v乙t=3.5×60=210km．
由图也可得：甲用1小时从B到达A，故A、B之间的距离为v甲t=90×1=90km，
综上可得A、C之间的距离为：AB+BC=300km；
甲需要先花1小时从B到达A，然后再花=小时从A到达C，
从而可得t=+1=；

（3）甲：当0≤t≤1时，y=90x；
②当1＜t≤2时，y=180﹣90x；
③当2＜x≤，y=90x﹣180；
乙：y乙=60x．

由题意可得，当甲从A到B行驶的过程中会出现题意所述情况，
故可得：90﹣90（t﹣1）=60t，
解得：t=小时．
答：两车与B地距离相等时行驶的时间为1.2小时或小时．