一次函数与平行四边形综合.docx

一次函数与平行四边形综合

一．解答题（共3小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求线段AB的长；
（2）求直线CE的解析式；
（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．
（1）求直线BD的解析式；
（2）求△OFH的面积；
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．

参考答案与试题解析

一．解答题（共3小题）
1．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求线段AB的长；
（2）求直线CE的解析式；
（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，
∴OA=8，OB=6，
在直角△AOB中，AB===10；
（2）∵BC平分∠ABO，
∴OC=CD，
设OC=x，则AC=8﹣x，CD=x．
∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°，
∴△ACD∽△AOB，
∴，即，
解得：x=3．
即OC=3，则C的坐标是（﹣3，0）．
设AB的解析式是y=kx+b，根据题意得
解得：
则直线AB的解析式是y=x+6，
设CD的解析式是y=﹣x+m，则4+m=0，则m=﹣4．
则直线CE的解析式是y=﹣x﹣4；
（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，易知BC的直线方程为y=2x+6，
设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM12=（m+8）2+（2m+6）2，=5m2+40m+100，BM12=m2+（2m+6﹣6）2=5m2，
AB=10，
根据AB2+AM12=BM12得100+5m2+40m+100=5m2，m=﹣5，
∴M1（﹣5，﹣4），BM1中点坐标为（﹣，1），
BM1中点同时也是AP1中点，则有，解得P1（3，2）
②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2=AM22+BM22，即100=5m2+40m+100+5m2，m=﹣4或m=0（舍去），
∴M2（﹣4，﹣2），AB中点坐标为（﹣4，3），
AB中点同时也是P2M2中点，则有，解得P2（﹣4，8）
综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）．

2．（2015•黑龙江）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．
（1）求直线BD的解析式；
（2）求△OFH的面积；
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：
（1）解方程x2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，
∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC，
∴BC=2，OC=4，
∴B（﹣2，4），
∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，
∴OD=OC=4，DE=BC=2，
∴D（4，0），
设直线BD解析式为y=kx+b，
把B、D坐标代入可得，解得，
∴直线BD的解析式为y=﹣x+；
（2）由（1）可知E（4，2），
设直线OE解析式为y=mx，
把E点坐标代入可求得m=，
∴直线OE解析式为y=x，
令﹣x+=x，解得x=，
∴H点到y轴的距离为，
又由（1）可得F（0，），
∴OF=，
∴S△OFH=××=；
（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，
∴△DFM为直角三角形，
①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，

由（2）可知OF=，OD=4，
则有△MOF∽△FOD，
∴=，即=，解得OM=，
∴M（﹣，0），且D（4，0），
∴G（，0），
设N点坐标为（x，y），则=，=0，
解得x=，y=﹣，此时N点坐标为（，﹣）；
②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，

则有△FOD∽△DOM，
∴=，即=，解得OM=6，
∴M（0，﹣6），且F（0，），
∴MG=MF=，则OG=OM﹣MG=6﹣=，
∴G（0，﹣），
设N点坐标为（x，y），则=0，=﹣，
解得x=﹣4，y=﹣，此时N（﹣4，﹣）；
③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如图3，

∵四边形MFND为矩形，
∴NF=OD=4，ND=OF=，
可求得N（4，）；
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）．

3．（2015•龙沙区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，
∴点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，8），
∵点C为线段AB的中点，
∴点C的坐标是（4，4），
由，
解得x=5，
∴CD=5，
设点D的坐标是（m，0）（m＞0），
则，
解得m=1或m=7，
∴点D的坐标是（1，0）或（7，0）．

（2）①当点D的坐标是（1，0）时，
设直线CD的解析式是y=ax+b，
则
解得
∴直线CD的解析式是y=x﹣．
②当点D的坐标是（7，0）时，
设直线CD的解析式是y=cx+d，
则
解得
∴直线CD的解析式是y=﹣x．

（3）存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形．
①当直线CD的解析式是y=x﹣时，
设AF所在的直线的解析式是y=+m，
∵点A的坐标是（8，0），
∴，
解得m=﹣，
∴AF所在的直线的解析式是y=﹣．
Ⅰ、如图1，，
设点F的坐标是（p，），
则DF的中点E的坐标是（），
∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（4，4），
∴AC的中点E的坐标是（6，2），
∴=6，
解得p=11，
∴点F的坐标是（11，4）．
Ⅱ、如图2，，
设点F的坐标是（p，），
则CF的中点G的坐标是（），
∵点A的坐标是（8，0），点D的坐标是（1，0），
∴AD的中点G的坐标是（4.5，0），
∴，
解得p=5，
∴点F的坐标是（5，﹣4）．
Ⅲ、如图3，当CF∥AD时，，
设点F的坐标是（p，4），
则AF的中点E的坐标是（，2），
∵点D的坐标是（1，0），点C的坐标是（4，4），
∴CD的中点E的坐标是（2.5，2），
∴=2.5，
解得p=﹣3，
∴点F的坐标是（﹣3，4）．

②当直线CD的解析式是y=﹣x+时，
设AF所在的直线的解析式是y=﹣+n，
∵点A的坐标是（8，0），
∴，
解得n=，
∴AF所在的直线的解析式是y=﹣+．
Ⅰ、如图4，，
设点F的坐标是（p，﹣），
则DF的中点M的坐标是（），
∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（4，4），
∴AC的中点M的坐标是（6，2），
∴=6，
解得p=5，
∴点F的坐标是（5，4）．
Ⅱ、如图5，，
设点F的坐标是（p，﹣），
则CF的中点N的坐标是（，），
∵点A的坐标是（8，0），点D的坐标是（7，0），
∴AD的中点N的坐标是（7.5，0），
∴，
解得p=11，
∴点F的坐标是（11，﹣4）．
Ⅲ、如图6，当CF∥AD时，，
设点F的坐标是（p，4），
则AF的中点E的坐标是（，2），
∵点D的坐标是（7，0），点C的坐标是（4，4），
∴CD的中点E的坐标是（5.5，2），
∴=5.5，
解得p=3，
∴点F的坐标是（3，4）．
综上，可得
点F的坐标是（11，4），（5，﹣4），（﹣3，4），（5，4），（11，﹣4）或（3，4）．

第15页（共15页）