专题复习：平行四边形与一次函数.doc

(完整版)专题复习：平行四边形与一次函数专题复习：平行四边形与一次函数3. (2010年兰州市）如图,直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD = 2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90至DE,连接AE、CE,ADE的面积为3，则BC的长为 【关键词】旋转【答案】51、(2010年杭州市）如图,AB = 3AC，BD = 3AE,又BDAC，点B，A，E在同一条直线上. （1） 求证：ABDCAE;（2） 如果AC =BD，AD =BD，设BD = a,求BC的长. 答案：（1） BDAC,点B，A，E在同一条直线上， DBA = CAE,又 , ABDCAE。 (2) AB = 3AC = 3BD，AD =2BD ,(第22题） AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2, D =90， 由（1）得 E =D = 90, AE=BD ， EC =AD = BD ， AB = 3BD ,在RtBCE中，BC2 = (AB + AE ）2 + EC2 = （3BD +BD ）2 + （BD）2 = BD2 = 12a2 , BC =a 。 （2010哈尔滨）已知：在ABC中ABAC,点D为BC边的中点，点F是AB边上一点,点E在线段DF的延长线上，BAEBDF，点M在线段DF上，ABEDBM （1）如图1，当ABC45时，求证：AEMD； （2)如图2，当ABC60时，则线段AE、MD之间的数量关系为： 。(3)在（2）的条件下延长BM到P，使MPBM，连接CP,若AB7，AE,求tanACP的值(2010年眉山）25如图，RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F（1）证明：ACEFBE；（2）设ABC=，CAC =，试探索、满足什么关系时，ACE与FBE是全等三角形，并说明理由答案：25（1）证明：RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的， AC=AC ，AB=AB ,CAB=C AB （1分） CAC =BAB ACC =ABB （3分）又AEC=FEBACEFBE （4分） (2)解：当时,ACEFBE （5分） 在ACC中，AC=AC , （6分) 在RtABC中， ACC+BCE=90,即， BCE= ABC=， ABC=BCE (8分） CE=BE 由（1)知:ACEFBE， ACEFBE（9分）(2010珠海）如图，在平行四边形ABCD中,过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFEB.(1) 求证:ADFDEC(2) 若AB4，AD3,AE3,求AF的长.（1）证明：四边形ABCD是平行四边形 ADBC ABCD ADF=CED B+C=180 AFE+AFD=180 AFE=B AFD=C ADFDEC(2)解：四边形ABCD是平行四边形ADBC CD=AB=4 又AEBC AEAD 在RtADE中,DE= ADFDEC AF=(2010河南）19(9分)如图，在梯形ABCD中，AD/BC,E是BC的中点，AD=5，BC=12,CD=，C=45，点P是BC边上一动点，设PB的长为x（1）当x的值为_时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x的值为_时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形;；(3）点P在BC边上运动的过程中,以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由（1)3或8(2） 1或11（3)由(2）可知,当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形EP=AD=5 过D作DFBC于F,则DF=FC=4，FP=3 DP=5EP=DP 故此时PDAE是菱形即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形25（2010年门头沟区）已知，正方形ABCD中，MAN=45， MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AHMN于点H(1）如图，当MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系： ； （2）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由如果成立请证明；（3）如图,已知MAN=45，AHMN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长（可利用（2）得到的结论） 图【关键词】正方形与旋转【答案】解：（1）如图AH=AB.1分（2）数量关系成立.如图，延长CB至E,使BE=DNABCD是正方形AB=AD，D=ABE=90RtAEBRtAND3分AE=AN，EAB=NADEAM=NAM=45AM=AM AEMANM.4分AB、AH是AEM和ANM对应边上的高,AB=AH. .5分（3）如图分别沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和ANDBM=2，DN=3，B=D=BAD=90分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCE由（2)可知，AH=AB=BC=CD=AD。 设AH=x，则MC=,NC= 图在RtMCN中,由勾股定理，得 6分解得.（不符合题意，舍去）AH=6.7分来源:Zxxk。Com图25（2010广东广州，25,14分）如图所示，四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为（3，0)，（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合)，过点D作直线交折线OAB于点E（1)记ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2)当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。CDBAEO【分析】（1)要表示出ODE的面积，要分两种情况讨论,如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高(D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；如果点E在AB边上，这时ODE的面积可用长方形OABC的面积减去OCD、OAE、BDE的面积; （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化【答案】（1）由题意得B（3，1）若直线经过点A（3，0）时,则b若直线经过点B（3，1）时，则b若直线经过点C(0,1）时，则b1若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1b，如图25a，图1 此时E（2b,0)SOECO2b1b若直线与折线OAB的交点在BA上时，即b,如图2图2此时E（3，），D（2b2，1)SS矩（SOCDSOAE SDBE ） 3（2b1）1（52b)（)3（)（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！图3由题意知，DMNE，DNME，四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，MEDNED又MDENED,MEDMDE，MDME，平行四边形DNEM为菱形过点D作DHOA，垂足为H，由题易知，tanDEN，DH1，HE2，设菱形DNEM 的边长为a，则在RtDHM中，由勾股定理知:，S四边形DNEMNEDH矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为 【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题,看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化,本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大,具有明显的区分度26、(宁波市)如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点,ABCD的顶点A的坐标为（2，0）,点D的坐标为(0，），点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点,过点E的直线与轴交于点F，与射线DC交于点G。(1）求的度数；（2)连结OE，以OE所在直线为对称轴，OEF经轴对称变换后得到，记直线与射线DC的交点为H。如图2，当点G在点H的左侧时，求证：DEGDHE；yxCDAOBEGF（图1）xCDAOBEGHFy（图2）xCDAOBEy（图3）若EHG的面积为，请直接写出点F的坐标。解：（1） （2）（2,） (3）略 过点E作EM直线CD于点MCDABxCDAOBEy（图3）DHEDEG即当点H在点G的右侧时，设,解:点F的坐标为(，0）当点H在点的左侧时，设,解:，(舍)点的坐标为（,0）综上可知，点的坐标有两个，分别是（，0），（,0)28（大兴安岭地区 本小题满分10分) 如图，在平面直角坐标系中，函数y2x12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点ABPAOB（1）求直线AM的解析式；（2)试在直线AM上找一点P，使得SABPSAOB ,请直接写出点P的坐标；（3)若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由解:(1)函数的解析式为y2x12 A(6,0)，B（0,12） 1分点M为线段OB的中点 M(0，6） 1分设直线AM的解析式为：ykxb 2分k1 b6 1分直线AM的解析式为：yx6 1分（2)P1(18,12），P2(6,12) 2分（3)H1（6,18),H2(12，0），H3(，）3分25(福建省泉州市12分）我们容易发现:反比例函数的图象是一个中心对称图形。你 可以利用这一结论解决问题。如图,在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点、。(1)直接判断并填写：不论取何值，四边形的形状一定是 ; （2）当点为时,四边形是矩形,试求、和有值；观察猜想:对中的值，能使四边形为矩形的点共有几个?(不必说理)（3）试探究：四边形能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标， 若不能， 说明理由。解：(1）平行四边形（3分）(2）点在的图象上，（4分）过作，则在中，=30(5分）又点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点,点B、D关于原点O成中心对称 （6分）OB=OD=四边形为矩形，且（7分）; （8分）能使四边形为矩形的点B共有2个；（9分）（3)四边形不能是菱形。（10分）法一:点、的坐标分别为、四边形的对角线在轴上.又点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.对角线与不可能垂直。四边形不能是菱形法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线ACBD，且AC与BD互相平分，因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m,0）所以点A、C关于原点O对称,且AC在x轴上。 （11分）所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限矛盾，所以四边形ABCD不可能为菱形。 （12分）25、（天津市 本小题10分） 在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上,，D为边OB的中点.（）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；第（25）题yBODCAxEyBODCAx（）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时,求点、的坐标25、（天津市 本小题10分） 在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，D为边OB的中点.（)若为边上的一个动点，当的周长最小时,求点的坐标；第（25）题yBODCAxEyBODCAx。解:(）如图,作点D关于轴的对称点,连接与轴交于点E,连接。若在边上任取点（与点E不重合)，连接、.yBODCAxE由，可知的周长最小。 在矩形中,，,为的中点， ，,。 OEBC， RtRt，有. . 点的坐标为（1,0）. 6分（）如图，作点关于轴的对称点,在边上截取，连接与轴交于点,在上截取。 GCEF，,yBODCAxEGF 四边形为平行四边形，有。又 、的长为定值， 此时得到的点、使四边形的周长最小。 OEBC, RtRt， 有 。 . . 点的坐标为(，0），点的坐标为（，0)。 10分（2010浙江温州）24（本题l4分)如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3,BC=4，过点B作射线BBlAC动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动过点D作DHAB于H,过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG设点D运动的时间为t秒（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；(2)当DEG与ACB相似时,求t的值；(3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为AC 当t时,连结CC，设四边形ACCA 的面积为S,求S关于t的函数关系式;当线段A C 与射线BB，有公共点时,求t的取值范围（写出答案即可）1（2010，浙江义乌）如图1，已知ABC90，ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60得到线段AQ,连结QE并延长交射线BC于点F。（1）如图2，当BPBA时，EBF，猜想QFC ；（2）如图1,当点P为射线BC上任意一点时，猜想QFC的度数,并加以证明；（3）已知线段AB，设BP，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式图1ACBEQFP图2ABEQPFC 图3【答案】（1) 30. 60 （2）60不妨设BP, 如图1所示BAPBAE+EAP60+EAP EAQQAP+EAP60+EAPBAPEAQ 在ABP和AEQ中 ABAE,BAPEAQ， APAQABPAEQ(SAS）AEQABP90BEFEBF +BEF 30+3060 (事实上当BP时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）（3） 在图1中，过点F作FGBE于点GABE是等边三角形BEAB，由（1)得30在RtBGF中， BF EF2ABPAEQ QEBP QFQEEF过点Q作QHBC,垂足为H在RtQHF中,（x0）即y关于x的函数关系式是：（2010年陕西省) (1)请你在图中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分; （2)如图点M是矩形ABCD内一点，请你在图中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。 问题解决（1） 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DCOB，OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计）设在点P(4,2）处.为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由(2010年山东东营)如图，在锐角三角形ABC中，ABC的面积为48，D,E分别是边AB,AC上的两个动点（D不与，重合），且保持DEBC，以DE为边，在点的异侧作正方形DEFG.（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长;B（第24题图）ADEFGCB（备用图（1）ACB（备用图（2）AC（2）设DE = x，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式,写出x的取值范围，并求出y的最大值.（2010年辽宁鞍山）（本题满分12分，任选一题作答）如图，矩形中，厘米,厘米（)动点同时从点出发,分别沿，运动，速度是厘米秒过作直线垂直于，分别交,于当点到达终点时，点也随之停止运动设运动时间为秒（1）若厘米，秒，则_厘米；（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；(3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形,梯形，梯形的面积都相等?若存在，求的值；若不存在，请说明理由DQCPNBMADQCPNBMA如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5,AD=4,BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上. (1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在,请说明理由;（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成12的两部分?若存在，求出此时BE的长;若不存在，请说明理由。如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90,BC16，DC12,AD21。动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D,C同时出发，当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t（秒)ABQCPD(1）设BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AOOB时，求t的值（4）是否存在时刻t,使得PQBD？若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由 （2010年江苏南京)如图,正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止,连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。(1)设AE=时，EGF的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。（2010年江苏常州）如图，在矩形ABCD中,AB=8，AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D运动，且保持APCQ。设AP=（1）当PQAD时,求的值；(2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E,连接EP、EQ,设EPQ的面积为S，求S关于的函数关系式，并写出S的取值范围.(2010年吉林省试题）如图，在等腰梯形ABCD中,ADBC，AEBC于点E,DFBC于点FAD2cm,BC6cm，AE4cm点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接B、P、Q、C,线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M若点P在线段AE上运动时，点Q也随之在线段DF上运动，使图形M的形状发生改变，但面积始终为10cm2设EPxcm，FQycm，解答下列问题：(1）直接写出当x3时y的值；(2）求y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围；(3)当x取何值时,图形M成为等腰梯形？图形M成为三角形?ADBEFCPQADBEFC（备用图）(4)直接写出线段PQ在运动过程中成能扫过的区域的面积 （2010年湖南常德)如图10,若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AGCE.（1） 当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时,AG=CE是否成立?若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由。（2） 当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.求证：AGCH；ABCDEF图110GAD图11FEBCGADBCEFHM图12当AD=4，DG=时，求CH的长。（2010年湖北咸宁)如图，直角梯形ABCD中，ABDC，,，动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-DA向点A运动当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线lAD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q点M运动的时间为t(秒）(1）当时，求线段的长;（2)当0t2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值；（3)当t2时，连接PQ交线段AC于点R请探究是否为定值,若是,试求这个定值；若不是，请说明理由ABCD（备用图1）ABCD（备用图2）QABCDlMP（第24题）E（2010年湖北荆州）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OABC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3,OAB=45，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持DEF=45（1）直接写出D点的坐标；（2）设OE=x，AF=y,试确定y与x之间的函数关系；（3)当AEF是等腰三角形时,将AEF沿EF折叠,得到，求与五边形OEFBC重叠部分的面积 18