资源描述
课时作业(二十六)
1．假设ξ～N(1，)，η＝6ξ，那么E(η)等于( )
A．1 B.
C．6 D．36
答案 C
解析 ∵ξ～N(1，)，∴E(ξ)＝1，∴E(η)＝6E(ξ)＝6.
2．随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，那么P(ξ≤0)＝( )
A．0.16 B．0.32
C．0.68 D．0.84
答案 A
解析 利用正态分布图像的对称性，P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.
3．随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，那么P(X>4)＝( )
A．0.158 8 B．0.158 7
C．0.158 6 D．0.158 5
答案 B
解析 由正态密度函数的对称性知
P(X>4)＝＝＝0.158 7，应选B.
4．假设随机变量ξ～N(0，1)，那么P(|ξ|>3)等于( )
A．0.997 4 B．0.498 7
C．0.974 4 D．0.002 6
答案 D
5．假设随机变量ξ～N(－2，4)，那么ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在以下哪个区间上取值的概率( )
A．(2，4] B．(0，2]
C．(－2，0] D．(－4，4]
答案 C
6．ξ～N(0，62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，那么P(ξ>2)等于( )
A．0.1 B．0.2
C．0.6 D．0.8
答案 A
7．一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在以下哪个区间内？( )
A．(90，110] B．(95，125]
C．(100，120] D．(105，115]
答案 C
解析 由于X～N(110，52)，所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间(105，115]，(100，120]，(95，125]上的概率分别应是0.682 6，0.954 4，0.997 4，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.682 6＝41人，60×0.954 4＝57人，60×0.997 4＝60人．
8．设离散型随机变量ξ～N(0，1)，那么P(ξ≤0)＝________；P(－2<ξ<2)＝________．
答案 ，0.954 4
解析 因为标准正态曲线的对称轴为x＝0，所以P(ξ≤0)＝P(ξ>0)＝.而P(－2<ξ<2)＝P(－2σ<ξ<2σ)＝0.954 4.
9．某种零件的尺寸X(cm)服从正态分布N(3，1)，那么不属于区间(1，5)这个尺寸范围的零件约占总数的________．
答案 4.56%
解析 属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)即区间(1，5)的取值概率约为95.44%，故不属于区间(1，5)这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.44%＝4.56%.
10．某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X～N(50，102)，那么他在时间段(30，70]内赶到火车站的概率为________．
答案 0.954 4
解析 ∵X～N(50，102)，∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30<X≤70)＝P(50－20<X≤50＋20)＝0.954 4.
11．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，假设ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，那么ξ在(0，2)内取值的概率为________．
答案 0.8
12．设随机变量ξ～N(3，4)，假设P(ξ>c＋2)＝P(ξ<c－2)，求c的值．
解析 由ξ～N(3，4)可知，密度函数关于直线x＝3对称(如以下图所示)，
又P(ξ>c＋2)＝P(ξ<c－2)，故有
3－(c－2)＝(c＋2)－3，∴c＝3.
13．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，假设X在(0，2)内取值的概率为0.2，
求(1)X在(0，4)内取值的概率；
(2)P(X>4)．
解析 (1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图，
∵P(0<X<2)＝P(2<X<4)，
∴P(0<X<4)＝2P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4.
(2)P(X>4)＝[1－P(0<X<4)]
＝(1－0.4)＝0.3.
14．假设在一次数学考试中，某班学生的分数为X，且X～N(110，202)，总分值为150分，这个班的学生共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数．
解析 ∵X～N(110，202)，∴μ＝110，σ＝20.
∴P(110－20<X≤110＋20)＝0.682 6.
∴X>130的概率为×(1－0.682 6)＝0.158 7.
∴X≥90的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3.
∴及格的人数为54×0.841 3≈45(人)，
130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人)．
15．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路较长但不拥挤，X服从正态分布N(6，0.16)．有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？假设离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
解析 还有7分钟时，
假设选第一条路线，X服从N(5，1)，能及时到达的概率
P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7) .
＝＋P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，
假设选第二条路线，X服从N(6，0.16)，能及时到达的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)
＝＋P(μ－2.5σ<X≤μ＋2.5σ)．
所以P1<P2，选第二条路线．
同理，还有6.5分钟时，选第一条路线．
►重点班选做题
16．(2022·沧州七校联考)2022年中国汽车销售量到达1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．
思路 首先根据题意确定正态分布的对称轴，利用正态曲线的对称性即可求得ξ>9的概率，利用概率来估计样本中满足条件的汽车数量
解析 由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(ξ>9)＝[1－p(7≤ξ≤9)]＝(1－0.7)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．
17．设随机变量X服从正态分布X～N(8，1)，求P(5<X≤6)．
解析 由得μ＝8，σ＝1，
∵P(6<X≤10)＝0.954 4，P(5<X≤11)＝0.997 4，
∴P(5<X≤6)＋P(10<X≤11)＝0.997 4－0.954 4＝0.043.
如图，由正态曲线分布的对称性，得P(5<X≤6)＝P(10<X≤11)＝＝0.021 5.
1．(2022·辽宁)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数〞，事件B＝“取到的2个数均为偶数〞，那么P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝.
2．(2022·湖北)随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，那么P(0<ξ<2)等于( )
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
答案 C
解析 根据题意，随机变量ξ的正态分布，密度曲线关于x＝2对称，故P(0<ξ<2)＝P(2<ξ<4)＝P(ξ<4)－P(ξ<2)＝0.8－0.5＝0.3.
3．(2022·新课标全国Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，那么该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
答案 A
解析 由题意得所求概率P＝C32×0.62×(1－0.6)＋C33×0.63＝0.648.
4．(2022·山东)某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )
(附：假设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，那么P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
答案 B
解析 由μ＝0，σ＝3.所以P(3<ξ<6)＝[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]＝(95.44%－68.26%)＝×27.18%＝13.59%.应选B.
5．(2022·湖南)在如下图的正方形中随机投掷10 000个点，那么落入阴影局部(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
A．2 386 B．2 718
C．3 413 D．4 772
答案 C
解析 由题意可得，P(0<x≤1)＝P(－1<x≤1)＝0.341 3，设落入阴影局部的点的个数为n，那么P＝＝＝，那么n＝3 413，选C.
6．(2022·湖北)设X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如以下图所示．以下结论中正确的选项是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(Y≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
答案 C
解析 由正态分布密度曲线的性质可知，X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合题中所给图像可得，μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错误．又X～N(μ1，σ12)的密度曲线较Y～N(μ2，σ22)的密度曲线“瘦高〞，所以σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，B错误．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C正确，D错误．
7．(2022·广东)随机变量X服从二项分布B(n，p)．假设E(X)＝30，D(X)＝20，那么p＝________．
答案
解析 由得p＝.
8．(2022·广东)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．
(1)求图中x的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
解析 (1)由题设可知(3×0.006＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018.
(2)由题设可知，成绩在区间[80，90)内的人数为0.018×10×50＝9，成绩在区间[90，100]内的人数为0.006×10×50＝3，
所以不低于80分的学生人数为9＋3＝12，ξ的所有可能取值为0，1，2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
9．(2022·浙江)箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的时机均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．
(1)求X的分布列；
(2)求X的数学期望E(X)．
解析 (1)由题意得X取3，4，5，6，且
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
所以X的分布列为
X
3
4
5
6
P
(2)由(1)知E(X)＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝.
10．(2022·江苏)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.
(1)求概率P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．
解析 (1)假设两条棱相交，那么交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C32对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.
(2)假设两条棱平行，那么它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝.
于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
P(ξ)
因此E(ξ)＝0×＋1×＋×＝.
11．(2022·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
解析 (1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，那么，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有：DE，DF，EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
(2)由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3.
又由(1)知 F、E、D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，
因此P(ξ＝0)＝P( )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P( F)＋P(E)＋P(D )
＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，
P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.
由对立事件的概率公式，得
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.35
0.4
0.15
因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.
12．(2022·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，假设4杯都选对，那么月工资定为3 500元，假设4杯选对3杯，那么月工资定为2 800元，否那么月工资定为2 100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X的分布列；
(2)求此员工月工资的期望．
解析 (1)X的所有可能取值为：0，1，2，3，4，
P(X＝i)＝(i＝0，1，2，3，4)，
即X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
(2)令Y表示此员工的月工资，那么Y的所有可能取值为2 100，2 800，3 500.
那么P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝，P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝，
P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝.
E(Y)＝3 500×＋2 800×＋2 100×＝2 280，
所以此员工月工资的期望为2 280元．
13．(2022·广东)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如下图．
(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；
(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．
解析 (1)重量超过505克的产品数量为：
40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12件．
(2)Y的分布列为
Y
0
1
2
P
(3)利用样本估计总体：该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3.令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，那么ξ～B(5，0.3)，故所求概率为P(ξ＝2)＝C52(0.3)2(0.7)3＝0.308 7.
14．(2022·重庆)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
(1)求乙获胜的概率；
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．
解析 设Ak、Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，那么P(Ak)＝，P(Bk)＝(k＝1，2，3)．
(1)记“乙获胜〞为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知
＝×＋()2()2＋()3()3＝.
(2)“投篮结束时乙只投了2个球〞为事件D，那么由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知
＝()2()2＋()2()2()＝.
15．(2022·大纲全国)根据以往统计资料，某地车主购置甲种保险的概率为0.5，购置乙种保险但不购置甲种保险的概率为0.3.设各车主购置保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购置甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购置的车主数．求X的期望．
解析 记A表示事件：该地的1位车主购置甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购置乙种保险但不购置甲种保险；
C表示事件：该地的1位车主至少购置甲、乙两种保险的1种；
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购置．
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
X～B(100，0.2)，即X服从二项分布，
所以期望E(X)＝100×0.2＝20.
16．(2022·福建)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1)假设袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个适宜的设计，并说明理由．
思路 (1)先利用排列组合知识求出P(X＝60)的值，结合此值接着求出P(X＝20)的值后，再由分布列求期望；
(2)先根据题意寻找期望为60元的可能的两种方案，然后逐一分析，求出方差，比拟优劣．
解析 (1)设顾客所获的奖励额为X.
①依题意，得P(X＝60)＝＝，
即顾客所获的奖励额为60元的概率为.
②依题意，得X的所有可能取值为20，60.
P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝，
即X的分布列为
X
20
60
P
所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×＋60×＝40(元)．
(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，那么X1的分布列为
X1
20
60
100
P
X1的期望为E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，
X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.
对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，那么X2的分布列为
X2
40
60
80
P
X2的期望为E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，
X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.
由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.
17．(2022·辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如下图．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．
思路 (1)结合频率分布直方图先求解概率，再利用独立事件的概率公式求解；
(2)先写出分布列，再利用二项分布求解期望和方差．
解析 (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个〞，A2表示事件“日销售量低于50个〞，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个〞．
因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为
P(X＝0)＝C30(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C31·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C32·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216.
∴X分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
18．(2022·安徽)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，假设赛完5局仍未出现连胜，那么判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．
思路 (1)利用分类讨论的思想及相互独立事件、互斥事件的概率公式求解；(2)根据X的取值，利用概率公式求出其相应的概率，列出分布列，利用期望公式求解．
解析 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛〞，Ak表示“第k局甲获胜〞，Bk表示“第k局乙获胜〞．
那么P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1，2，3，4，5.
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)
＝＋×＋××＝.
(2)X的可能取值为2，3，4，5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)
＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4 )＋P(B1A2B3B4)
＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.
故X的分布列为
X
2
3
4
5
P
E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
19．(2022·新课标全国Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)
(yi－)
(wi－)
(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi＝，＝wi.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)这种产品的年利率z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果答复以下问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β ∧＝，α ∧＝－β ∧ .
解析 (1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，
由于d ∧＝＝＝68，
∴c ∧＝－d ∧ ＝563－68×6.8＝100.6.
∴y关于w的线性回归方程为y ∧＝100.6＋68w.
因此y关于x的回归方程为y ∧＝100.6＋68.
(3)①由(2)知x＝49时，
年销售量y的预报值为y ∧＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值z ∧＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知年利润z的预报值为
z ∧＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
当＝＝6.8，即x＝46.24时，z ∧取得最大值．
∴年宣传费为46.24千元时，年利率的预报值最大．
20．(2022·新课标全国Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比拟两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级〞．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
解析 (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下．
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比拟集中，B地区用户满意度评分比拟分散．
(2)记CA1为事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意〞；
CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意〞；
CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意〞；
CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意〞，
那么CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2.
P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)
＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)
＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)．
由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为，，，，故P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝.
∴P(C)＝×＋×＝0.48.
21．(2022·北京)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16；
B组：12，13，15，16，17，14，a.
假设所有病人的康复时间相互独立．从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)
解析 设事件Ai为“甲是A组的第i个人〞，
事件Bi为“乙是B组的第i个人〞，i＝1，2，…，7.
由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1，2，…，7.
(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天〞等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人〞，所以甲的康复时间不少于14天的概率是
P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝.
(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长〞．由题意知，
C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.
因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.
(3)a＝11或a＝18.
22．(2022·安徽)2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．
解析 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品〞为事件A，
P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200，300，400.
P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
故X的分布列为
X
200
300
400
P
E(X)＝200×＋300×＋400×＝350.
23．(2022·四川)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛．设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
解析 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．
代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
(2)根据题意，X的可能取值为1，2，3.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
因此，X的数学期望为
E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)
＝1×＋2×＋3×＝2.
24．(2022·湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球，6个白球的甲箱和装有5个红球，5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，假设都是红球，那么获一等奖；假设只有1个红球，那么获二等奖；假设没有红球，那么不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
解析 (1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，
A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，
B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，
B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，
C＝{顾客抽奖1次能获奖}．
由题意，A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A1A2，C＝B1＋B2.
因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以
P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
P(B2)＝P(A1A2＋A1A2)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)＝×(1－)＋(1－)×＝.
故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B(3，)．
于是P(X＝0)＝C30()0()3＝，P(X＝1)＝C31()1()2＝，
P(X＝2)＝C32()2()1＝，P(X＝3)＝C33()3()0＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望为E(X)＝3×＝.
25．(2022·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
T(分钟)
25
30
35
40
频数(次)
20
30
40
10
(1)求T的分布列与数学期望E(T)；
(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
解析 (1)由统计结果可得T的频率分布为
T(分钟)
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得T的分布列为
T
25
30
35
40
P
0.2
0.3
0.4
0.1
从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．
(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟〞，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟〞．
方法一：P
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
